河南省洛阳市2022-2023学年高二下学期期末数学文科试题（含答案解析）

洛阳市2022—2023学年高二质量检测数学试卷（文）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若，则（）A.2 B.1 C. D.-1【答案】C【解析】【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】由，所以，所以，故选：C2.已知随机变量，若，则（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.7【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可求解.【详解】由可知正态分布曲线的对称轴为,故由对称性可知，因此,故选：B3.已知两条直线：，：，若，则（）A.-1或0或3 B.-1或3 C.0或3 D.-1或0【答案】D【解析】【分析】由可得解得或或，代入检验即可得出答案.【详解】：，：，若，则，即，解得：或或，当时，：，：，则；当时，：，：，则；当时，：，：，则与重合，舍去；故选：D.4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】可知每一层灯数形成以2为公比的等比数列，根据即可求出.【详解】解：设顶层的灯数是，则每一层灯数形成以2为公比的等比数列，所以，由题可得，解得，所以，塔的顶层的灯数是3.故选：A.5.已知随机变量X的分布列为：X1234P0.10.20.30.4则（）A.1 B.3 C.4 D.9【答案】C【解析】【分析】由均值和方差的公式求出，再由方差的性质求解即可.【详解】，，所以.故选：C.6.已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据点差法以及两点斜率公式可得，即可求解.【详解】设,则，相减得，由于,所以，所以,将其代入中可得，所以,故,故选：C7.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函数的导函数，参变分离，可将原问题转化为在上恒成立，再由配方法，即可得解．【详解】因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，而，当且仅当时，等号成立，所以，所以实数的取值范围为．故选：A．8.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.5；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.9．请问王同学第2天去A餐厅用餐的概率是（）A.0.8 B.0.7 C.0.6 D.0.45【答案】B【解析】【分析】根据题意结合全概率公式可求得结果.【详解】记事件表示“第1天去餐厅用餐”，事件表示“第1天去餐厅用餐”，事件表示“第2天去餐厅用餐”，由题意得，,所以由全概率公式得王同学第2天去A餐厅用餐的概率为,故选：B9.已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（）A.5 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】分别求得圆的圆心坐标和半径，求得，结合图象，得，即可求解.【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为，圆，可得圆心，半径为，可得圆心距，如图，，所以，当共线时，取得最小值，故的最小值为.故选：B10.平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，这两组平行线相交，由这些平行线可以构成平行四边形的个数为（）A.14 B.48 C.91 D.420【答案】D【解析】【分析】根据题中条件，从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，由分步乘法计数原理，即可得出结果.【详解】因为平面内有两组平行线，一组有6条，另一组有8条，且这两组平行线相交，因此从这两组直线中各选两条直线，即可构成平行四边形，所以构成不同的平行四边形个数为.故选：D.11.设是定义在上的函数的导函数，且．若（e为自然对数的底数），则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，解不等式.【详解】设，，所以函数在上单调递减，若，则，即，所以，得.故选：A12.已知双曲线（，）的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用离心率求出之间的关系，设出坐标代入双曲线方程，结合的范围即可求出的取值范围.【详解】由题意，在双曲线（，）中，离心率，∵，解得：，∴，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，设，∴，解得：，∵直线的斜率分别为，，且，∴，∴故选：B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.将5名大学生分配到4个乡镇去当村干部，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有__________种（用数字作答）．【答案】【解析】【分析】先将5名大学生分成4组，再将4组分派到4个乡镇，结合分步计数原理，即可求解.【详解】根据题意，先将5名大学生分成4组，共有种不同的分法，再将4组分派到4个乡镇当村干部，有种分派方式，结合分步计数原理，共有不同的分配方案.故答案为：.14.投掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，记在30次试验中成功的次数为X，则______．【答案】10【解析】【分析】由随机变量X服从于二项分布，利用期望公式求解.【详解】由题意,成功概率，，所以.故答案为：10.15.已知数列的首项，且满足．若，则n的最大值为______．【答案】15【解析】【分析】应用等差数列定义得出等差数列,根据差数列通项公式及求和公式求解计算即得.【详解】因为，所以，即，且，所以数列是首项为，公差为的等差数列.可求得，所以，即且单调递增,.则n的最大值为15.故答案为:15.16.已知正方体的棱长为，（），现有如下四个命题：①，都有；②，都存在使得；③，使得；④的最小值为．其中所有真命题的序号是______．【答案】①②③【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可判断①③；利用空间向量的坐标运算可判断②；将侧面与面延展至同一平面，分析可知当点、、共线时，取最小值，求出的最小值，可判断④.【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为，（），则、、、、、、、、.对于①，，，，，①对；对于②，，，，都存在，使得，则，由可得，可得，合乎题意，②对；对于③，，，若，使得，则，解得，合乎题意，③对；对于④，在正方体中，平面，因为平面，则，又因为且，故四边形为矩形，且，易知四边形为正方形，将侧面与面延展至同一平面，如下图所示：当点、、共线时，取最小值，且，当且仅当点、、共线时，等号成立，故的最小值为，④错.故答案为：①②③.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.在（）的展开式中，第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列．（1）求n的值；（2）求展开式中的第7项．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意得到，再解方程即可；（2）根据二项式的通项求解即可.【小问1详解】第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，即构成等差数列.所以，即，且，.整理，得，解得或（舍去）.【小问2详解】，令，则，故展开式中的第7项为.18.已知是等比数列，前n项和为，且.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）若对任意的是和的等差中项，求数列的前2n项和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由，解得，分别代入，得，；（Ⅱ）先根据等差中项得，再利用分组求和法求和：.试题解析：（Ⅰ）解：设数列的公比为，由已知，有，解得.又由，知，所以，得，所以.（Ⅱ）解：由题意，得，即是首项为，公差为的等差数列.设数列的前项和为，则.【考点】等差数列、等比数列及其前项和公式【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：（1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}前n项和．（2）通项公式为的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．19.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，且直线PB与CD所成角的大小为．（1）求BC的长；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系．由已知求得，，，的坐标，再由直线与所成角大小为列式求得值，则的坐标可求，即可求得的长；（2）分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．【小问1详解】由于平面ABCD，，所以两两垂直，故分别以,,所在直线为,,轴建立如图所示的空间直角坐标系．，,0,，,0,，,1,，,0,．设,,，则,0,，,,．直线与所成角大小为，，即，解得或（舍，,2,，则的长为2；【小问2详解】设平面的一个法向量为,,．,0,，,1,，,，令，则，，,1,．平面的一个法向量为，，令，则，，，由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为．20.已知圆，点是圆上的动点，是抛物线的焦点，为的中点，过作交于，记点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）过的直线交曲线于点、，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．【答案】（1）（2）或或【解析】【分析】（1）分析可知曲线是以点、为焦点的椭圆，确定、、的值，结合椭圆焦点的位置可得出曲线的轨迹方程；（2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定理以及三角形的面积公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出直线的方程.【小问1详解】解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，由题意可得，且为线段的垂直平分线，所以，，因为，所以，点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，设椭圆的标准方程为，则，，则，因此，曲线的轨迹方程为.【小问2详解】解：若直线与轴重合，则、、三点共线，不合乎题意.设直线方程为，联立可得，则，设点、，则，，则，所以，，解得或，故直线的方程为或或.21.第40届中国洛阳牡丹文化节以“花开洛阳、青春登场”为主题，紧扣“颠覆性创意、沉浸式体验、年轻化消费、移动端传播”，组织开展众多文旅项目，取得了喜人的成绩，使洛阳成为最热门的全国“网红打卡城市”之一．其中“穿汉服免费游园”项目火爆“出圈”，倍受广大游客喜爱，带火了以“梦里隋唐尽在洛邑”为主的汉服体验活动为了解汉服体验店广告支出和销售额之间的关系，在洛阳洛邑古城附近抽取7家汉服体验店，得到了广告支出与销售额数据如下：体验店ABCDEFG广告支出/万元3468111516销售额/万元6101517233845对进入G体验店的400名游客进行统计得知，其中女性游客有280人，女性游客中体验汉服的有180人，男性游客中没有体验汉服的有80人．（1）请将下列2×2列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验，能否认为体验汉服与性别有关联；性别是否体验汉服合计体验汉服没有体验汉服女180280男80合计400（2）设广告支出为变量x（万元），销售额为变量y（万元），根据统计数据计算相关系数r，并据此说明可用线性回归模型拟合y与x的关系（若，则线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合）；（3）建立y关于x的经验回归方程，并预测广告支出为18万元时的销售额（精确到0.1）．附：参考数据及公式：，，，，，，相关系数，在线性回归方程中中，，．，．0.050.010.0013.8416.63510828【答案】（1）见解析（2）与有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合，说明答案见解析；（3），并预测广告支出为18万元时的销售额为万元．【解析】【分析】（1）根据题设条件可得列联表，根据公式计算可认为体验汉服与性别之间有关联，此推断犯错误的概率不超过.（2）由题中数据及公式计算相关系数，即可作出判断；（3）由题中数据及（1）中结果计算出，即可得出关于的回归方程，再把代入即可求解．【小问1详解】根据题意，列联表完成如下：性别是否体验汉服合计体验汉服没有体验汉服女180100280男4080120合计220180400假设为：性别与体验汉服之间无关联.根据列联表数据，经计算得到，根据小概率值的独立性检验，推断不成立.即认为体验汉服与性别之间有关联，此推断犯错误的概率不超过.【小问2详解】由数据可知，因为，，，因为，所以线性相关程度很强，可用线性回归模型拟合y与x的关系.【小问3详解】由