人教版高中数学选修242抛物线的简单几何性质课件

2.3.2抛物线的简单几何性质xyOKＨFMl（一）一、复习1.抛物线的定义

我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.xyOKＨFMl2.抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程xyOＨFMxyOＨFMy2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)xyOＨFMx2=2py(p>0)yxOＨFMx2=-2py(p>0)3.抛物线，标准型:焦点紧随一次项，数量只有四分一.焦点:焦点:二、性质探讨1.范围以y2=2px(p>0)为例xyOKＨFMl利用y2≥0可得：x≥0这条抛物线在y轴右侧；开口与x轴的正向相同；x的值增大时，∣y∣也增大,抛物线向右上方和右下方无限延伸.2.对称性以－y代y，方程y2＝2px不变，这条抛物线关于x轴对称，x轴称为这条抛物线的对称轴.对称轴过焦点，且与准线垂直.xyOKＨF

l3.顶点抛物线和它的轴的交点叫顶点.标准形式的抛物线的顶点就是原点.4.离心率抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示.由定义知，e＝11、斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,求AB的长.解法一：根据已知条件写出直线方程，与抛物线方程联立方程组，求出A、B坐标，利用两点间的距离公式求出|AB|.解法二(数形结合)：由右图,利用抛物线的定义可知：xyOA’FAB’B即只要求出x1+x2即可求出|AB|三、性质运用解：∵p=2，∴焦点F(1,0)，准线l：x=-1则直线l的方程为：y=x-1，代入y2=4x化简得：x2-6x+1=0所以|AB|=|AA′|+|BB′|=x1+x2+2=8∴

线段|AB|的长为8.∴x1+x2=61、斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,求AB的长.xyOA’FAB’B设AB是过抛物线y2＝2px焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有

|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2pxyOA’FAB’B焦点弦长公式：练习：以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物线的准线的关系是（）A.相交；B.相切；C.相离；D.不确定.提示：利用焦点弦的特点，结合梯形中位线的性质.B作业P73A组5、62.3.2抛物线的简单几何性质xyOKＨFMl（二）（需两课时）一、复习抛物线的几何性质1.范围以y2=2px(p>0)为例x≥0xyOKＨFMl这条抛物线在y轴右侧；开口与x轴的正向相同；x的值增大时，∣y∣也增大,抛物线向右上方和右下方无限延伸.2.对称性这条抛物线关于x轴对称，x轴称为这条抛物线的对称轴.对称轴过焦点，且与准线垂直.xyOKＨF

l3.顶点抛物线和它的轴的交点叫顶点.标准形式的抛物线的顶点就是原点.4.离心率e＝1设AB是过抛物线y2＝2px焦点的一条弦(焦点弦)，若A(x1，y1)、B(x2，y2)则有

|AB|=x1+x2+p．特别地：当AB⊥x轴，抛物线的通径|AB|=2pxyOA’FAB’B焦点弦长公式：若抛物线为y2＝－2px，焦点弦AB，则有

|AB|=p－（x1+x2）．练习：以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物线的准线的关系是（）A.相交；B.相切；C.相离；D.不确定.提示：利用焦点弦的特点，结合梯形中位线的性质.B三、性质运用xyOFAB代入y2=2px化简得：3.直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点,求证：1)2)y1y2=－p2.也可联立直线方程与抛物线方程后消去x斜率不存在呢？过抛物线焦点的直线与抛物线相交于A、B两点,过点A和抛物线的顶点的直线交抛物线的准线于D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.分析：根据已知条件写出AB所在的直线方程，与抛物线方程联立方程组，求出A、B坐标，进而写出AO的直线方程，求出它与准线的交点D，观察B、D坐标，判断结果。变式训练AxyOFDB点评：相交问题要活用方程组思想.P72练习3、4能力提升例1.已知抛物线方程为y2=4x,直线l过定点P(－2，1)斜率为k.k为何值时，直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？分析：直线与圆锥曲线的关系问题就是运用方程思想，讨论方程组的解的个数.关键：列方程组：消去x：ky2－4y+4(2k+1)=0①抓住k是否为零进行讨论，注：能力提升2、过定点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点的直线方程.提示：先作图探讨，分类讨论是关键！当直线有斜率时设其方程为：y=kx+1与抛物线方程联立，消去x得：ky2－2y＋2＝0k＝0或k＝0.5所求直线有三条：x＝0，y=1或y=0.5x+13、过抛物线y2=2x的顶点做互相垂直的两条弦OA、OB.（1）求AB中点的轨迹方程；（2）证明：AB与x轴的交点为定点.提示：使用参数法，以A、B的坐标为参数，但对每个点只需设横坐标或纵坐标利用垂直关系和中点坐标公式可消去参数.这里设纵坐标较好所求为：y2=x－2(2)设AB与x轴交于M(m,0)利用三点共线可得：m＝2参数法的三个关键：（1）选择适当的参数；（2）列出方程组(比参数多一个);（3）消去参数.变式练习：抛物线y2=8x上有一点P(2,4),以P作为一个顶点，作抛物线的内接△PQR，使得△PQR的重心恰好是