高中数学-微积分基本定理教学设计学情分析教材分析课后反思

PAGE2PAGE微积分基本定理限时训练（45m）一、选择题（每题5分）1．(2014·山东高考)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A．2eq\r(2)B．4eq\r(2)C．2D．42.eq\i\in(0,1,)eq\r(1－x2)dx的值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(π,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(π,2)3．若∫eq\f(π,2)0(sinx－acosx)dx＝2，则实数a的值为()A．－1B．1C．－eq\r(3)D.eq\r(3)4．(2016·南昌模拟)若eq\i\in(1,a,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))dx＝3＋ln2(a>1)，则a的值是()A．2B．3C．4D．65．物体A以v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A．3B．4C．5D．66．(2016·太原模拟)已知(xlnx)′＝lnx＋1，则eq\i\in(,e,)1lnxdx＝()A．1B．eC．e－1D．e＋1二、（每题5分）7．(2015·湖南高考)eq\i\in(0,2,)(x－1)dx＝________.8．(2015·北京模拟)∫eq\f(π,2)0eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))dx＝________.9．函数y＝x－x2的图象与x轴所围成的封闭图形的面积等于________．10．(2014·辽宁高考)正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1,1)，D(－1,1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图2­14­4所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是________．三、解答题（20分）11．如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3,0)处的切线所围成的图形的面积．学情分析高二12班学生属于理科实验班，整体基础不平均，理解能力、运算能力差别较大，缺乏学习数学的积极性，学习方法不够灵活，另外本节知识理解掌握不到位，导致学生学习数学的兴趣低。这些原因导致了课堂上师生的配合不够融洽，一些启发性的内容出现启而不发的情况。但学生对课堂中设置的学习难易度及学生的参与性较好，在同组同学的配合及教师的帮助下可以取得良好的效果。因此，将知识直观呈现，从易入手，使学生感觉到容易理解容易掌握，调动学生的学习兴趣和积极性成为教师要攻克的主要难关。借助多媒体辅助手段，让学生感受真实情境，使他们从本节内容的兴趣提升到数学学习的兴趣。教学设计考纲要求：1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义二、知识梳理：知识点1定积分的概念、几何意义与性质1．定积分的定义及相关概念一般地，如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))f(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作eq\i\in(a,b,)f(x)dx.在eq\i\in(a,b,)f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．2．定积分的几何意义f(x)eq\i\in(a,b,)f(x)dx的几何意义f(x)≥0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积f(x)<0表示由直线x＝a，x＝b，y＝0及曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数f(x)在[a，b]上有正有负表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积3．定积分的性质(1)eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝keq\i\in(a,b,)f(x)dx(k为常数)．(2)eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dx..(3)eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx(其中a<c<b)．知识点2微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿­莱布尼茨公式．知识点3定积分的应用(1)定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S.①S＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx；②S＝－eq\i\in(a,b,)f(x)dx；③S＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx－eq\i\in(c,b,)f(x)dx；④S＝eq\i\in(a,b,)f(x)dx－eq\i\in(a,b,)g(x)dx＝eq\i\in(a,b,)[f(x)－g(x)]dx.(2)定积分与变速直线运动的路程及变力做功间的关系，s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt，W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx.注：1．必会结论设函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)是偶函数，则eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝2eq\i\in(0,a,)f(x)dx；(2)若f(x)是奇函数，则eq\i\in(－a,a,)f(x)dx＝0.2．必知联系(1)被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分．(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负。三、攻考向考向一：定积分的计算1.若f(x)＝x2＋2eq\i\in(0,1,)f(x)dx，则eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝()A．－1B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,3)D．12．若eq\i\in(0,1,)(2x＋λ)dx＝2(λ∈R)，则λ等于()A．0B．1C．2D．－13．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x∈[0，1]，,2－x，x∈1，2]，))则eq\i\in(0,2,)f(x)dx等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6)D.eq\f(6,7)小结：计算定积分的步骤1．把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．2．把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分．3．分别用求导公式找到一个相应的原函数．4．利用微积分基本定理求出各个定积分的值．5．计算原始定积分的值．考向二：定积分在物理中的应用(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋eq\f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A．1＋25ln5 B．8＋25lneq\f(11,3)C．4＋25ln5 D．4＋50ln2(2)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1且和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J.小结：定积分在物理中的应用1求变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝eq\i\in(a,b,)v(t)dt.2变力做功：一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝eq\i\in(a,b,)F(x)dx.当力的方向与位移方向不一致时，应求出和位移方向同向的分力，再求其所做的功．[变式训练]1．一物体作变速直线运动，速度和时间关系为v(t)＝(4－t2)m/s，则物体从0秒到4秒运动经过的路程为()A.eq\f(16,3)mB．－eq\f(16,3)mC．16mD．－16m2．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)做的功为()A.eq\r(3)JB.eq\f(2\r(3),3)JC.eq\f(4\r(3),3)JD．2eq\r(3)J考向三：利用定积分计算平面图形的面积●命题角度1求平面图形的面积1．由曲线xy＝1，直线y＝x，y＝3所围成的封闭平面图形的面积为________．2．如图2­14­2，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为________．图2­14­2●命题角度2根据面积求参数3．由曲线f(x)＝eq\r(x)与y轴及直线y＝m(m>0)围成的图形的面积为eq\f(8,3)，则m的值为()A．2B．3C．1D．84．设a>0，若曲线y＝eq\r(x)与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，求a的值．●命题角度3与概率的综合应用5．如图2­14­3，矩形OABC的四个顶点坐标依次为O(0,0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，C(0,1)，记线段OC，CB以及y＝sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0≤x≤\f(π,2)))的图象围成的区域(图中阴影部分)为Ω，若向矩形OABC内任意投一点M，求点M落在区域Ω内的概率．小结：1．利用定积分求平面图形面积的步骤图2­14­3(1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和．(4)计算定积分，写出答案．2．根据平面图形的面积求参数的求解策略先利用定积分求出平面图形的面积，再据条件构建方程(不等式)求解．3．与概率综合应用的求解策略先利用定积分求出平面图形的面积，再根据几何概型求解．当堂检测：1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,b,)f(t)dt.()(2)定积分一定是曲边梯形的面积．()(3)若eq\i\in(a,b,)f(x)dx<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．()(4)微积分基本定理中F(x)是唯一的．()2．汽车以θ＝(3t＋2)m/s作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是()A.eq\f(13,2)mB．6mC.eq\f(15,2)mD．7m3．eq\i\in(0,1,)(ex＋2x)dx等于()A．1B．e－1C．eD．e＋14．若eq\i\in(0,T,)x2dx＝9，则常数T的值为________．小结课下作业强化训练A组（必做）B（选做）七、学生自我反思：失误原因2、学习所得效果分析：学生学习积极性高，课堂效率较好。我认为本节课能激发学生的学习兴趣，能够满足了不同层次学生的需求，充分体现了因材施教的教育原则，真正体现了面向全体学生，教为主导，学为主体的原则。因此，学生的学习方法更加灵活多样，学生对掌握学习方法的兴趣越来越浓，师生间、学生间的交流大幅度提高，创设了一个民主和谐的课堂氛围，从而有效地提高了课堂教学效率。另一个方面，通过本节课的学习提高了学生的数形结合的能力、运算能力、逻辑思维能力，加强了学生对转化思想的理解，倡导学以致用的思想。教材分析：微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．导数、定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广泛的应用.教科书在对两类典型问题求曲边梯形的面积和求变速直线运动的位移进行详细讨论的基础上，抽象概括出它们的共同本质特征，进而引入定积分的概念及几何意义，最后给出定积分的基本性质微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段．导数、定积分都是微积分的核心概念，它们有极其丰富的实际背景和广泛的应用.教科书在对两类典型问题——求曲边梯形的面积和求变速直线运动的位移进行详细讨论的基础上，抽象概括出它们的共同本质特征，进而引入定积分的概念及几何意义，最后给出定积分的基本性质。课后反思：通过本课教学，我有如下几点反思：H