湖北省武汉西藏中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

武汉西藏中学2022-2023学年第二学年期末考试高二数学试卷一、选择题（共12题，共60分）（5分）实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是   A．x2−y24 C．x2−y24=1或y2（5分）已知双曲线x24−y22=1右焦点为F， A．41+2 B．4+2 C．2（5分）已知圆M：x2+y2−2ay=0（a>0）截直线x+y=0所得线段的长度是22，则圆M与圆 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离（5分）数列an中，a1=−2，an+1− A．21 B．22 C．23 D．24（5分）计算机将信息转换成二进制数进行处理时，二进制即“逢二进一”，如11012表示二进制的数，将它转换成十进制的形式是11012=1×23 A．217−2 B．216−2 C．215（5分）在等差数列an中，a2=4，a6=1 A．5 B．10 C．15 D．20（5分）有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有   A．21种 B．315种 C．143种 D．153种（5分）在2x2−1x A．10 B．−10 C．40 D．−40（5分）若x+1xnn∈N A．10 B．20 C．30 D．120（5分）在x−1x5的展开式中，x A．−5 B．5 C．−10 D．10（5分）设函数fx=sinωx+φω>0，已知集合A=x0,fx0x0为 A．233π,53 C．334,53（5分）已知函数fx=lnx−14x+34x−1，gx A．2,178 B．1,+∞ C．178,+∞二、填空题（共4题，共20分）（5分）已知点列Anxn,0n=1,2,⋯，其中x1=0，x2=1．A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，⋯（5分）等差数列an的前n项和为Sn，a4=1，则（5分）已知组合数Cn4=Cn（5分）某一大型购物广场有“喜茶”和“沪上阿姨”两家奶茶店，某人第一天随机地选择一家奶茶店购买奶茶，如果第一天去“喜茶”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.7；如果第一天去“沪上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.6．则某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率．三、解答题（共6题，共70分）（10分）在二项式x−1(1)展开式的第四项；(2)展开式的常数项；(3)展开式的各项系数的和．（12分）有4名学生参加体育达标测验，4个各自合格的概率分别是13，14，15(1)4人中至少有2人合格的概率；(2)4人中恰好只有2人合格的概率．（12分）已知函数fx(1)求fx(2)求fx在区间−2,0（12分）已知函数fx(1)求曲线y=fx在点1,f(2)证明：fx（12分）已知抛物线C经过点1,−2，且其对称轴为x轴．(1)求抛物线C的标准方程；(2)已知直线x−ay−1=0a∈R与抛物线C交于A，B两点，判断以AB为直径的圆与抛物线的准线（12分）已知椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的方程；(2)过点B0,2作斜率为k的直线交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线y=2于点P，Q．求证：B为PQ

答案一、选择题（共12题，共60分）1.【答案】C【解析】由题知2a=2，2b=4，则a=1，b=2，c=a若焦点在x轴上，标准方程为：x2若焦点在y轴上，标准方程为：y22.【答案】A【解析】易得点F6△APF的周长l=∣AF∣+∣AP∣+∣PF∣=∣AF∣+2a+∣PFʹ∣+∣AP∣，要△APF的周长最小，只需∣AP∣+∣PFʹ∣最小，如图，当A，P，Fʹ三点共线时取到，故l=2∣AF∣+2a=41+3.【答案】B【解析】由x2+y2−2ay=0（a>0所以圆M的圆心为0,a，半径为r1因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度是22所以a12+圆N的圆心为1,1，半径为r2所以MN=r1+r因为r1所以圆M与圆N相交．4.【答案】B【解析】由题知an为首项为−2，公差为1an=−25.【答案】D【解析】11⋯1⏟6.【答案】A【解析】等差数列中，a37.【答案】C【解析】可分三类：一类：语文、数字各1本，共有9×7=63（种）；二类：语文、英语各1本，共有9×5=45（种）；三类：数字、英语各1本，共有7×5=35（种），所以共有63+45+35=143（种）不同选法．8.【答案】D【解析】Tr+1由10−3r=1，得r=3，所以x的系数为−40．9.【答案】B【解析】因为Cn所以n=6，所以该式为x+1x6令6−2r=0，得r=3，所以常数项为T410.【答案】A11.【答案】A12.【答案】C【解析】因为函数fx所以fʹx若fʹx>0，1<x<3，若fʹx<0，x>3或0<x<1，fx在x∈0,2上有极值，fxfx因为gx=x当b<1时，gx在x=1处取最小值g当1<b<2时，gx在x=b处取最小值，g当b>2时，gx在1,2上是减函数，g因为对任意x1∈0,2，存在x所以只要fx的最小值大于等于g当b<1时，−12≥5−2b，解得b≥当1<b<2时，−1当b>2时，−12≥8−4b综上b≥17二、填空题（共4题，共20分）13.【答案】14；214.【答案】715.【答案】1016.【答案】0.65三、解答题（共6题，共70分）17.【答案】(1)第四项T4(2)二项展开式的通项为Tr+1令8−2r=0，得r=4,所以展开式的常数项为−1(3)令x=1，得展开式的各项系数的和为1−118.【答案】(1)4人中至少有2人合格：所有基本事件中排除没有合格,1．没有合格的概率为，232．只有1人合格的概率为13所以4人中至少有2人合格的概率为1−1(2)4人中恰好只有2人合格，则其概率为：1319.【答案】(1)fʹx令fʹx=0，得x1fx与fʹx的变化情况如下：x−∞,−1−1−1,222,+∞fʹx(2)由（Ⅰ）知，fx在区间−2,−1上单调递增，在区间−1,0所以fx在区间−2,0上的最大值为ffx在区间−2,0上的最小值为min因为f−2=11e2所以fx在区间−2,0上的最小值为f20.【答案】(1)函数fx的定义域为0,+∞且fx=e因为f1=e故所求的切线方程为y−e+1=(2)由（1）可知fʹx=e因为fʹ1=e所以存在唯一的x0∈1从而有ex0=因为x∈0,x0时，fʹx<0所以fx在区间0,x0所以fx所以fx21.【答案】(1)因为抛物线顶点在原点，对称轴为x轴，且经过第四象限，设抛物线C的方程为y2又抛物线经过点1,−2，所以−22=2p×1，解得于是抛物线C的方程为y2(2)以AB为直径的圆与抛物线C的准线l相切．证明如下：证法1：由y2=4x,x−ay−1=0,由于Δ>0，设Ax1,则y1+y由于AB=x1=ay所以AB=即AB=4设以AB为直径的圆的圆心为Mx则x0=x于是x0由于抛物线C的准线l的方程为x=−1，所以圆心M到准线l的距离等于x0又以AB为直径的圆的半径为AB2所以，以AB为直径的圆与抛物线C的准线l相切．证法2：由于直线x=ay+1恒过抛物线的焦点F1,0过点A，B分别作抛物线y2=4x的准线x=−1的垂线，垂足分别为D，由抛物线的定义，得AD=AF，所以AB=设AB中点为M，过点M作抛物线y2=4x准线x=−1的垂线，垂足为显然MN∥x轴，所以MN是直角梯形于是MN=因此，点N在以AB为直径的圆上，又MN⊥l，所以以AB为直径的圆与抛物线C的准线l相切．22.【答案】(1)由题设，得a2解得a2=8，所以椭圆C的方程为x2(2)由题意，设直线MN的方程为y=kx+2．由y=kx+2,x28由Δ