2017名师一号文科第10章1节

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第一节 随机事件的概率查清·基础知识探究·命题热点最新考纲

1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别。2.了解两个互斥事件的概率加法公式。C

查清·基础知识知

识

梳

理1．事件的概念(1)在条件S下，

的事件，叫做相对于条件S的必然事一定会发生件。在条件S下，

一定不会发生

的事件，叫做相对于条件S的不可能事件。在条件S下，

可能发生也可能不发生

的事件，叫做相对于条件S的随机事件。2．概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次实验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)nA＝

n

为事件A出现的频率。(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率

fn(A)

来估计概率P(A)。3．事件的关系与运算定义符号表示包含关系若事件A发生，则事件B

一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)

B⊇A(或A⊆B)

相等关系若B⊇A，且

A⊇B，则称事件A与事件B相等

A＝B定义符号表示并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件如果A∩B为

事件，那么称事件A与事件B不可能互斥A∩B＝∅对立事件如果A∩B为

事件，A∪B为

，不可能 必然事件那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝U4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：

。0≤P(A)≤1(2)必然事件的概率P(E)＝

1

。(3)不可能事件的概率P(F)＝

0

。(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。(5)对立事件的概率：若事件A

与事件B

互为对立事件，则A∪B

为必然事件，P(A∪B)＝

1

，P(A)＝

1－P(B)

。基

础

自

测[想一想]判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件。(

√

)(2)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件。(√

)(3)“下周六会下雨”是随机事件。(

√

)[练一练]1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，)事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(A．是互斥事件，不是对立事件

B．是对立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是对立事件

D．既不是互斥事件也不是对立事件解析

“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故互为对立事件，故选C。答案

C1

12．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是2，乙获胜的概率是3，则乙不输的概率是(

)A.562B．31C．21D．3解析

乙不输包含两种情况：一是两人和棋，二是乙获胜，故所求1

1

5概率为2＋3＝6。答案

A3．在5

张电话卡中，有3

张移动卡和2

张联通卡，从中任取2

张，若事件“2

张全是移动卡”的概率是

3

，那么概率是

7

的事件是(

)10

10A．至多有一张移动卡

B．恰有一张移动卡

C．都不是移动卡

D．至少有一张移动卡解析

至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A。答案

A4．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示：射击次数n102050100200500击中10

环次数m8194493178453击中

10

环频

m率n0.80.950.880.930.890.906计算表中击中10

环的各个频率(填表)；这位射击运动员射击一次，击中

10

环的概率是

0.90

。解析

(1)击中

10

环的频率依次为

0.8,0.95，0.88，0.93，0.89，0.906。(2)这位射击运动员射击一次，击中

10

环的概率约为

0.90。3是7；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率。5．给出下列三个命题，其中正确的命题有

0

个。①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100

件，必有10

件是次品；②做7

次抛硬币的试验，结果3

次出现正面，因此正面出现的概率3解析

①错，不一定是

10

件次品；②错，7是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念。T

探究·命题热点【例1】

判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由。从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张。“抽出红桃”与“抽出黑桃”；“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”。【解】

(1)是互斥事件，不是对立事件。原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件。随机事件的关系考点一既是互斥事件，又是对立事件。原因是：从40张扑克牌中，任意抽取1张。“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件。不是互斥事件，也不是对立事件。原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张。“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9” 这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件。【规律·方法】对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系。对应训练1

一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6，将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则(

)A．A与B是互斥而非对立事件

B．A与B是对立事件C．B与C是互斥而非对立事件

D．B与C是对立事件解析

根据互斥事件与对立事件的意义，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝U，故事件B，C是对立事件。答案

D随机事件的频率与概率考点二【例

2】

(2015·陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年

4

月份的天气情况进行统计，结果如下：日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨在4

月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；西安市某学校拟从4

月份的一个晴天开始举行连续2

天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率。【解】

(1)在容量为

30

的样本中，不下雨的天数是

26，以频率估计概13率，4

月份任选一天，西安市不下雨的概率为15。(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1

日与2

日，2

日与3

日等)。这样，在4

月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16

个，其中后一天7不下雨的有

14

个，所以晴天的次日不下雨的频率为8。以频率估计概率，7运动会期间不下雨的概率为8。【规律·方法】

利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率。对应训练

2

某小型超市发现每天营业额

Y(单位：万元)与当天进超市顾客人数

X

有关。据统计，当

X＝700

时，Y＝4.6；当

X

每增加

10，Y

增加0.05.已知近20

天X

的值为：1

400，1

100,1

900,1

600，1

400，1

600,2

200,1100,1

600，1

600，1

900，1

400，1

100，1

600,2

200,1400,1

600,1

600，1

900，700。(1)完成如下的频率分布表：近20

天每天进超市顾客人数频率分布表人数7001

1001

4001

6001

9002

200频率

120

420(2)假定今天进超市顾客人数与近

20

天进超市顾客人数的分布规律相同，并将频率视为概率，求今天营业额低于10.6

万元高于4.6

万元的概率。解

(1)在所给数据中，进超市顾客人数为

1

100

的有

3

个，为

1

600

的有

7

个，为

1 900

的有

3

个，为

2 200

的有

2个。故近

20

天每天进超市顾客人数频率分布表为人数7001

1001

4001

6001

9002

200频率

120

320

420

720

320

220(2)由已知可得Y＝4.6＋X－70010×0.05200＝

1

X＋1.1，∵4.6<Y<10.6，∴4.6<X

＋1.1<10.6，∴700<X<1

900。200∴P(4.6<Y<10.6)＝P(700<X<1

900)＝P(X＝1

100)＋P(X＝1

400)＋P(X＝1

600)3

4

7

14

7＝20＋20＋20＝20＝10，

7即今天营业额低于10.6

万元高于4.6万元的概率为10。【例3】

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3。(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率。【解】

记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买。(1)由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8。(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2。互斥事件与对立事件的概率考点三【规律·方法】

求概率的关键是分清所求事件是由哪些事件组成的，求解时通常有两种方法：将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率；若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”。它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率。对应训练3现有7名数理化成绩优秀者，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀，从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛。求C1被选中的概率；求A1和B1不全被选中的概率。解

(1)用M表示“C1恰被选中”这一事件。从7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，其一切可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，C1

恰被选中有6

个基本事件：(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A2，B1，C1)，(A