2022年天津静海汇才中学高二数学理测试题含解析

2022年天津静海汇才中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不解三角形，确定下列判断中正确的是（

）A.b=9，c=10，B=60°，无解

B.a=7，b=14，A=30°，有两解C.a=6，b=9，A=45°，有两解

D.a=30，b=25，A=150°，有一解参考答案：DA选项，两解，错。B选项，，一解，错。C选项，，一解，错。D.选项，A为钝角，，一解，正确，选D.2.已知是等比数列，，，则（

）A． B．C． D．参考答案：D略3.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（）A．对立事件 B．不可能事件C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件参考答案：C【考点】互斥事件与对立事件．【分析】对于红色圆环而言，可能是甲分得，可能是乙分得，也可能甲乙均没有分得，然后利用互斥事件和对立事件的概念得答案．【解答】解：甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．∴事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是互斥但不对立事件．故选：C．4.有下列四个命题①“若b=3，则b2=9”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若c≤1，则x2+2x+c=0有实根”；④“若A∪B=A，则A?B”的逆否命题．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出其逆命题，可判断①；写出否命题，举例即可判断②；由二次方程的判别式的符号，即可判断③由集合的运算性质：A∪B=A，则A?B，即可判断原命题的真假，再由互为逆否命题的两命题的等价性，可判断④．【解答】解：①“若b=3，则b2=9”的逆命题是“若b2=9，则b=3”，显然错的；②“全等三角形的面积相等”的否命题是“不全等的三角形，其面积不相等”，比如同底等高的三角形，面积相等，故②错；③方程x2+2x+c=0的判别式为△=4﹣4c，若c≤1，则△≥0，故③对；④若A∪B=A，则B?A，则命题“若A∪B=A，则A?B”为假命题，由逆否命题的等价性可知其逆否命题也为假命题．故选A．5.椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是()A.

B.

C．2

D．4参考答案：A6.下列说法错误的是（

）A．若命题，则B．命题“若，则”的否命题是：“若，则”C．“”是“”的充分不必要条件D．若命题“”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题参考答案：C略7.过抛物线(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，且，那么直线l的斜率为A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.已知双曲线的离心率为,则的渐近线方程为 （）A． B．

C．

D．参考答案：C略9.二次方程,有一个根比大,另一个根比小,则的取值范围是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.已知，是的导函数，即，，…，，，则（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.抛物线的准线方程为

.

参考答案：略12.已知f（x）=若对任意的x∈R，af2（x）≥4f（x）﹣1成立，则实数a的最小值为

．参考答案：3 【考点】函数恒成立问题．【分析】设u=f（x）≥1，对任意的x∈R，af2（x）≥4f（x）﹣1成立，可得a≥﹣=﹣（﹣2）2+4，即可求出实数a的最小值．【解答】解：f（x）=的图象如图所示，设u=f（x）≥1，对任意的x∈R，af2（x）≥4f（x）﹣1成立，∴a≥﹣=﹣（﹣2）2+4，∵0＜≤1，∴﹣（﹣2）2+4≤3∴a≥3，当u=1，x=2时取等号，∴a的最小值是3．故答案为3．【点评】本题考查恒成立问题，考查参数分离方法的运用，考查函数的最值，属于中档题．13.y=的定义域为

。参考答案：（—1,1）略14.已知等腰三角形的底角的正弦值等于，则该三角形的顶角的正切值为___________．参考答案：略15.记等比数列的前项和为，公比,则=

.参考答案：16.=．参考答案：π﹣2【考点】67：定积分．【分析】先根据表示有圆心为（0，0）半径为2的圆在第一象限的面积，从而可求出的值，从而可求出所求．【解答】解：=﹣===π﹣（）=π﹣2．故答案为：π﹣2．17.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是_--_

__.参考答案：27三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知关于x的不等式x2﹣（a2+3a+2）x+3a（a2+2）＜0（a∈R）．（Ⅰ）解该不等式；（Ⅱ）定义区间（m，n）的长度为d=n﹣m，若a∈[0，4]，求该不等式解集表示的区间长度的最大值．参考答案：【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）原不等式化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，根据1＜a＜2，a=1或a=2分类讨论，能求出原不等式的解集．（Ⅱ）当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]，由此能求出该不等式解集表示的区间长度的最大值．【解答】解：（Ⅰ）原不等式可化为[x﹣（a2+2）]（x﹣3a）＜0，…当a2+2＜3a，即1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a；…当a2+2=3a，即a=1或a=2时，原不等式的解集为?；…当a2+2＞3a，即a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．…综上所述，当1＜a＜2时，原不等式的解为a2+2＜x＜3a，当a=1或a=2时，原不等式的解集为?，当a＜1或a＞2时，原不等式的解为3a＜x＜a2+2．（Ⅱ）当a=1或a=2时，该不等式解集表示的区间长度不可能最大．…当a≠1且a≠2时，，a∈[0，4]．…设t=a2+2﹣3a，a∈[0，4]，则当a=0时，t=2，当时，，当a=4时，t=6，…∴当a=4时，dmax=6．…【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查不等式解集表示的区间长度的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．19.（本小题满分11分）如图，已知边长为4的菱形中，，.将菱形沿对角线折起得到三棱锥，设二面角的大小为.（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案：方法一：由题意可知二面角的平面角为，即，（1）当时，即，分别取，的中点，，连结，，，∵，，∴为异面直线与所成的角或其补角，在△中，，，，∴，即异面直线与所成角的余弦值为．（2）当时，即，由题意可知平面，△为等边三角形，取的中点，则有平面，且，∵，即（其中为点到平面的距离），∴，即直线与平面所成角的正弦值.方法二：（1）如图建立空间直角坐标系，由题意可知，∴，∴，即异面直线与所成角的余弦值为；（2）如图建立空间直角坐标系，由题意可知，，设平面的法向量为，∴,即可得，设直线与平面所成的角为．则，即直线与平面所成角的正弦值.20.斜率为的直线l经过抛物线y2=2px的焦点F（1，0），且与抛物线相交于A、B两点．（1）求该抛物线的标准方程和准线方程；（2）求线段AB的长．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质．【分析】（1）根据焦点可求出p的值，从而求出抛物线的方程，即可得到准线方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程与抛物线方程联立消去y，整理得4x2﹣17x+4=0，得到根与系数的关系，由抛物线的定义可知|AB|=x1+x2+p，代入即可求出所求．【解答】解：（1）由焦点F（1，0），得，解得p=2．…所以抛物线的方程为y2=4x，其准线方程为x=﹣1，…（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线l的方程为．

…与抛物线方程联立，得，…消去y，整理得4x2﹣17x+4=0，…由抛物线的定义可知，．所以，线段AB的长为．…21.已知四棱锥P﹣ABCD中底面四边形ABCD是正方形，各侧面都是边长为2的正三角形，M是棱PC的中点．建立空间直角坐标系，利用空间向量方法解答以下问题：（1）求证：PA∥平面BMD；（2）求二面角M﹣BD﹣C的平面角的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC、BD交于点O，连结OP，以O为原点，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能证明PA∥平面BMD．（2）求出平面ABCD的法向量和平面MBD的法向量，利用向量法能求出二面角M﹣BD﹣C的平面角．【解答】证明：（1）连结AC、BD交于点O，连结OP．…（1分）∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD∵PA=PC，∴OP⊥AC，同理OP⊥BD，…（2分）以O为原点，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz，，…，…平面BMD的法向量为，∵，，又PA?平面BMD，…∴PA∥平面BMD．…（6分）解：（2）平面ABCD的法向量为…（7分）平面MBD的法向量为，则，即，…（8分）∴…（9分）二面角M﹣BD﹣C的平面角为α，则，α=45°，…（11分）∴二面角M﹣BD﹣C的平面角45°．…（12分）【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．22.某市调研考试后，某校对甲、乙两个高三理科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个高三理科班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为．

优秀非优秀合计甲班10

乙班

30

合计

（Ⅰ）请完成上面的列联表；（Ⅱ）根据列联表的数据，若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.