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文档简介
2021年7月26日2时57分北京科技大学信息工程学院自动化系1设计控制系统应完成哪些工作？控制对象运动规律的描述控制对象运动规律定性分析控制对象运动规律定量分析控制系统的设计与综合控制对象和控制系统的数学模型本章任务2021年7月26日2时57分北京科技大学信息工程学院自动化系22、控制系统的数学模型控制系统的运动方程线性系统的频域模型方框图与信号流图状态空间与状态空间表达式控制系统不同模型间的关系小
结本章学习要点简单物理系统的微分方程的列写；非线性模型的线性化方法；传递函数和传递函数矩阵的概念；结构图和信号流图的变换与化简；状态空间与状态空间表达式；控制系统不同模型形式及其之间的转换。3北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.1控制系统的运动方程dtdtr
ci(t
)
=
C
duc
(t
)u
(t
)
=
L
di(t
)
+
Ri(t
)
+
u
(t
)例2.1.1研究RLC电路，试找出输出电压uc(t)随输入电压ur(t)变化的规律。解R、C、L以及初始uc(0)确定时,已知ur(t)就可以确定uc(t)4北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分dtdu
(t
)dt
2d
2u
(t
)c
rLC
c
+
RC
c
+
u
(t
)
=
u
(t
)2.1控制系统的运动方程例2.1.2如图：由质量为m的木块、弹性系数为K的弹簧和阻尼系数为B的系统，试找出木块的位移x(t)与外力F(t)之间的关系。ddtf
(t)
=
B
dx(t)d2x(t)dx(t)mdt2+B
+Kx(t)
=
f
(t)dtd2
x(t)dt2f
(t)
-
fs
(t)
-
fd
(t)
=
mfs
(t)
=
Kx(t)解m、K、B以及初始x(0)确定时,已知f(t)就可以确定
x(t)5北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.1控制系统的运动方程直流他励电动机电枢电路，取电枢电压
ua为输入量,电动机角速度ωm为输出量,讨论它们之间的关系。aaadtdi
(t)u
(t)
=
L电枢回路电压平衡方程：电磁转矩方程：Mm
=Cmia
(t)电动机轴上的转矩平衡方程：dtdM
(t
)dt
2L
Ja
ccma
ma
mma
m-
R
M
(t
)=
Cmua
(t
)
-
La+
(
L
f
+
R
J
)d
2w
(t
)
dwdtJmm(t
)
-
M
(t
)+
fmwm
(t
)
=
Mmdw
(t
)例•2.1.3解+
Raia
(t)
+
Ea电枢反电势Ea
=
Cew
m
(t)是+C电C枢电)w流(t产)生的电动转矩m+
(
RMfC
m
是电动机转矩系数电e动m机轴上的总负载转矩dt
M
(t)a是m折合到mccJm:电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量；fm:电动机和负载折合到电动机轴上的黏(性t
)摩擦系数；6北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.1控制系统的运动方程注意观察三个示例的微分方程可以通过求解得到ur(t)~uc(t)，f(t)~x(t)之间内在运动的关联关系、分析系统的运动特性。进而改造系统-选择适当的R、L、C和m、B、K得–许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其27北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分dtdM
(t)dt
2
dt，+
我B
们dt可+以K不x(t单)
=独f(地t)
-去-研-
-究-具-
-体-系-
-统-
-而例只2.分1.2析d物2
x理(t)背景d可x(t能)
完全一样，
可以用一个运动方程来m
表dt示2+RC
+u
(t)=u
(t)---------例2.1.1dt
dt到d
希2u
望(t)的运动du规(t律)
。LC-Ra
Mc
(t)------------例2.1.3c=
Cmua
(t)
-
Lac
r
c
c
La
J系m
统被m
称为+
(相La
似fm
+系R统a
J。m
)
m
+(Ra
fm
+
CmCe
)w
m
(t)其数d
2w学表(t)
达式，即它们具dw有(t相)
同的数学模型。这类2.1控制系统的运动方程8北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分控制系统的运动—对系统施加控制（即输入控制信号），从而得到系统输出量（即受控量）随时间的变化规律（即输出响应信号）。控制系统的运动方程—根据描述系统特性的物理学定律，如机械，电气，热力，液压等方面的基本定律写出。
展示系统在运动过程中各变量之间的相互关系，既定
性又定量地描述整个系统的运动过程。数学模型—描述系统内部物理量（或变量）之间的数学表达式，是分析和设计自动控制系统的基础。静态模型：在静态条件下（即变量不随时间变化），描述变量之间关系的代数方程(组)。动态模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程(组)。2.1控制系统的运动方程9北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分建立数学模型的方法解析法—依据描述系统运动规律的运动定律来得到微分方程的方法。实验法—基于系统输入输出的实验数据来建立数学模型的方法。数学模型的形式时域模型—微分方程、差分方程和状态方程；复频域模型—传递函数、结构图、频率特性。2.1控制系统的运动方程问题：从严格意义上讲，绝大多数系统的数学模型都不是线性模型（即系统并非是线性系统）。事实上，任何一个元件总是存在一定程度的非线性。即使假设具有线性的特性，也是局限在一定的范围内。几种常见的非线性10北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.1控制系统的运动方程11北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分两类非线性系统① 具有连续变化的非线性系统动态：y(n)=f(t;y,y(1),…,y(n-1),x,x(1),…,x(m))静态：y=f(x)②
本质非线性系统(
21
f
(t,
x)静态：y
=
f1
(t,
x)
条件1
条件2,
x,,
x
)f
(t;
y,
y,,
y
条件1f
(t;y,y
,,y(n-1),x,,x(n))
条件2(
n)(
n-1)动态：y(n)=
22.1控制系统的运动方程12北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分非线性微分方程的求解很困难。在一定条件下，近似地转化为线性微分方程，可以使系统的动态特性的分析大为简化。实践证明，这样做能够圆满地解决许多工程问题，有很大的实际意义。线性化的方法①忽略弱非线性环节：如果元件的非线性因素较弱，对系统的影响很小，就可以忽略。②台劳级数展开法(小偏差法，切线法，增量线性化法)：适用前提—假设在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入和输出量只是在平衡点附近作微小变化。2.1控制系统的运动方程2dy
1
d
2
yy
=
f
(
x
)
=
y
0
+
dx
(
x
-
x0
)
+
2!
dx
2
(
x
-
x0
)
+
x
0x
00Dy
=
y
-
y0Dx
=
x-xx
013北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分dxk
=
dy忽略二次以上的各项，上式可以写成：A(x0,y0)平衡点，函数在平衡点处连续可微，则可将函数在平衡点附近展开成台劳级数：Dy
=
kDx其中：—非线性元件的线性化数学模型2.1控制系统的运动方程③平均斜率法：如果一非线性元件输入输出关系如下图所示，此时不能台劳级数展开法，可用平均斜率法得线性化方程为：1xy
1k
=014北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分xyx1y1-x1-y1y
=
kx其中：2.1控制系统的运动方程注意：这几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统，对于某些严重的非线性（本质非线性)不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。(此部分超出本课程的内容，可参考非线性控制的章节或教材。)15北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.1控制系统的运动方程例2.1.4水位自动控制系统：输入量为△Q1,输出量为水位变化量△H，求水箱的微分方程。水箱的横截面积为C。16北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.1控制系统的运动方程解HR
¢Q
2
=1其中R
为比例系数。0
200RQ2
=Q20
+
(H
-H
)
=Q1
+
DH2
H
R¢0其中：R
=
2
H
R¢附显然这个式子为非线性关系,
在工作点
近进行台劳级数展开。取一次项得：在dt
时间中，水箱内流体变化量CdH
.则：CdH
=(Q1
-Q2
)dt根据托里拆利定理，出水量与水位高度平方根成正比，则有：0
10
1
20R水箱的线性化微分方程:
Cd(H
+DH)
=(Q
+DQ
-Q
-
DH)dt注意：H0是常数；Q10
=Q20。整理得水箱的标准线性化微分方程为:1dt
RC
d
DH
+
DH
=
DQ17北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.1控制系统的运动方程说明①
本质非线性系统一般不可线性化。②
多变量情况处理类似。③
工作点不同，所得线性化方程的线性化系数不同，即线性化方程不同。④ 非线性系统的线性化方程只在工作点附近才成立。18北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.2线性系统的复数域模型问题：微分方程求解比较困难，不利于工程实现；有时分析控制系统的性质时不必求解方程； 是否有更方便的形式描述系统？拉普拉斯变换传递函数传递函数矩阵典型元部件及典型环节的传递函数19北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.2线性系统的复频域模型[f
(t
)]简写
F
(s)
=时域函数f(t)(原函数)复频域函数F(s)(象函数)s
=
s
+
jw20北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分s为复频率2.2.1拉普拉斯变换拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。对应2.2线性系统的复频域模型+¥-10F
(s)e
ds
f
(t
)
=F
(s)
=stc
+
j¥c
-
j¥f
(t
)e-stdt2pj正变换反变换f
(t)F
(s)
=
f
(t)
=简写正变换-1
[F
(s)]反变换象函数F(s)用大写字母表示,如I(s)，U(s)。原函数f(t)
用小写字母表示，如
i(t),
u(t)。12象函数F(s)存在的条件：21北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分¥0f
(t
)e-st
dt
<
¥e
-st为收敛因子拉氏变换的定义t
<
0
,
f(t)=02.2线性系统的复频域模型如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：f
(t
)
£
Mect
t
˛
[0,
¥
)Me
dt¥
¥--0
0-(s-c)tf
(t)e-st
dt
£M22北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分=s
-
C则总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值，即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。2.2线性系统的复频域模型典型函数的拉氏变换(1)单位阶跃函数的象函数0-¥-stF
(s)
=
[1(t)]
=sf
(t)
=1(t)11(t)e dt
=(2)单位冲激函数的象函数f
(t)
=
d(t)0¥-dt
=1F
(s)
=-std(t)e[d(t)]
=(3)指数函数的象函数f
(
t)
=
eats
-
ae
e dt
=[eat
]=at
-st¥-1F
(s)
=023北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.2线性系统的复频域模型(4)正弦函数的象函数f
(t)
=
sin
wt0¥-
w
s2
+w
2sin
wte dt
=[sin
wt]
=F
(s)
=-st(5)余弦函数的象函数f
(t)
=
cos
w
t24北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.2线性系统的复频域模型拉普拉斯变换的基本性质线性性质若
[
f1
(t)]
=
F1
(s)
, [
f2
(t)]
=
F2
(s)则
[A1
f1
(
t
)
+
A2
f2
(
t
)]=
A1F1(s)
+
A2
F2(s)时间比例性质（相似定理）若：
f
(t)]=
F(s),
则t
25北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分
f
(s
)
=s
F(ss)L其中σ为实常数2.2线性系统的复频域模型微分性质时域导数性质-
dt则
df
(t)
=
sF
(s)
-
f
(0
)若：
f
(t)]=
F(s)频域导数性质ds则：
[-tf
(t)]
=
dF
(s)
(n-1)n-2
(1)n
1n
=
s
F
(s)
-
sdt
n
d
n
f
(t)
-
f
(0)
-
s
f
(0)
--
f
(0)ndt
n
=
s
F
(s)设：[f
(t)]=F
(s)
d
n
f
(t)
如果：f
(0)=f
(1)(0)=
=f
(n-1)(0)=0则：26北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分积分性质0stf
(t
)dt]
=
1
F
(s)-设：
[
f
(t
)]
=
F
(s)
则：
[延迟性质设：
[
f
(t
)]
=
F
(s)则：
[
f
(t
-
t
)]
=
e-
st0
F
(s)0F
(s
+a
)
=
L[e-a
t
f
(t)]27北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分频域延迟时域延迟在时间域的平移变换在复数域有对应的衰减变换。时间信号f(t)在时间域的指数衰减，其拉氏变换在复数域有对应的坐标平移。2.2线性系统的复频域模型sfi
¥t
fi
0+f
(0+
)
=
lim
f
(t)
=
limsF
(s)f
(¥
)
=
lim
f
(t)
=
limsF
(s)t
fi
¥
sfi
0初值定理则dtdf
(t
)f(t)和的拉氏变换存在，limsF
(s)
也存在，sfi
¥终值定理t
fi
¥的拉氏变换存在，limf
(t)存在时，并且除在原点处唯一的极点外，sF(s)在包含jω轴的右半平面是解析的（即t→∞时，f(t)为常数），则dt28北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分df
(t
)f(t)和时域函数的初值，可以由变换域求得。时域函数的终值，也可以由变换域求得。2.2线性系统的复频域模型2.2线性系统的复频域模型例2.2.1y(
n)
(t
)
+
an-1y(
n-1)
(t
)
+
+
a
y(t
)
=
b u(
m
)
(t
)
+
+
b
u(t
)0
m
0已知微分方程如下，试求初值皆为零时输出量的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。解029北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分U
(s)
sn
+
a=
m
m
0
n-1sn-1
+
+
aY
(s)
b
sm
+
b
sm
-1
+
+
by(0)
=
y(1)
(0)
=
=
y(
n-1)
(0)
=
0初值皆为零有由微分性质对微分方程作拉氏变换得：snY
(s)
+
a
sn-1Y
(s)
+
+
a
Y
(s)
=
b
smU
(s)
+
+
b
U
(s)n-1
0
m
02.2线性系统的复频域模型拉普拉斯反变换的求法(1)按定义stF
(s)e
ds2πj1c+
j¥c-
j¥f
(t
)
=(2)对简单形式的F(s)可以查拉氏变换表得原函数(P28)f(t)F(s)f(t)F(s)δ(t)1Sinωtw(
s
2
+
w
2
)1(t)1/sCosωts(
s
2
+
w
2
)t1
s2e-at
sinwt
w
(
s
+
a
)
2
+
w
2e-at1/(s+a)e-at
coswt
s
+
a
(
s
+
a
)
2
+
w
230北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分F
(s)
=
F1
(s)
+
F2
(s)
+f
(t
)
=
f1
(t
)
+
f2
(t
)
+(4)把F(S)分解为简单项的组合部分分式展开法+
Fn
(s)+
fn
(t
)(3)利用拉氏变换的性质已知：F
(s)
=
w
,
其原函数为
f
(t
)
=
sin
wt解s2
+
w
2求F
(s
+a)的原函数。由延迟性质：-1(F(s
+a))=e-at
f
(t)
=e-at
sinwt思考(s
+
a)2
+
w
2的原函数F
(s)
=
s
+
a
2.2线性系统的复频域模型例2.2.231北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分设n
>m，F
(s)为真分式利用部分分式可将F(s)分解为：象函数的一般形式：0n-1Y(s)
b
sm
+
bsm-1
++
bF
(s)
==
m
m-1
0
(n
‡
m)U(s) sn
+
asn-1
++
ans
-
ps
-
p s
-
p1
21
+
2
+ +
n
p1t
p2t
pntf
(t
)
=
k1e
+
k2e
+
kne待定常数若U(s)
=
0有n个单根分别为p1
pn11(s
-
p
)
F
(s)
=1
1(s
-
p
)k
(s
-
p
)k(s
-
p1)
k2.2线性系统的复频域模型32北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.2线性系统的复频域模型ii
=1、2、3、nki
=
F
(s)(s
-
pi
)
s=
p待定常数的确定：方法1方法2U(s)33北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分iiY(s)(s
-
p
)k
=
limsfi
piU'
(s)sfi
piY'
(s)(s
-
p
)
+
Y(s)=
lim
i
Y(p
)U'
(p
)i=
i
求极限的方法2.2线性系统的复频域模型s2
+
5s
+
6例2.2.3求如下象函数的原函数。F
(s)=
4s
+
5
解s
+
2
s
+
3K1
+
K21=
-3s
+
3=
4s
+
5S
=-2K2=
7s
+
2=
4s
+
5s=-3K解法1s2
+
5s
+
6F
(s)=
4s
+
5
=111Y(p
)U'
(p
)s=-2K
===
-34s
+
52s
+
52Ks=-3=
Y(p2
)
=
4s
+
5=
7U'
(p
)
2s
+
52解法2f
(t)
=
-3e-2t
1(t)
+
7e-3t
1(t)原函数的一般形式：134北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2U'
(p
) U'
(p
)U'
(p
)nf
(t)
=
Y(p1
)
ep1t
+
Y(p2
)
ep2t
++
Y(pn
)
epnt2.2线性系统的复频域模型=
a
-
jw
2一对共轭复根为一分解单元,设：
pN(s)D(s)11D
(s)+
N1
(s)A
+
Bs=F
(s)
=
N(s)
=s2
-
2as
+a
2
+
w
2(s
-a
-
jw
)(s
-a
+
jw
)D
(s)1+=(s
-a
)2
+
w
2
(s
-a
)2
+
w
2
D
(s)K1wK
2
(s
-a
)
+
N1
(s)K
=
B1
2w=
A
+
K
2a
,
KK1K
2
+
K
21
2K
2
+
K
2
sin(w
t
+q)
+
f
(t
)1
2
1f
(t
)
=
K
eat
sin
wt
+
K eat
coswt
+
f
(t
)
=
eat1
2
1其中：q
=
-
arccos
a
=
arccosa
2
+
w
22
若D(s)=0有共轭复根p1
=
a
+
jw35北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.2线性系统的复频域模型例2.2.4解s的原函数f
(t
)s2
+
2s
+
5求F
(s)=p1,2
=
-1–
j22s
+2s
+5=0的根：=
-s
+
1
1=36北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分s
+
1
-
1s2
+
2s
+
5
(s
+
1)2
+
22
(s
+
1)2
+
22
(s
+
1)2
+
22sF
(s)
=f
(t
)
=
e-t
cos
2t
-
1
e-t
sin
2t
=
1.118e-t
cos(2t
+
26.6
)2=
1.118e-t
sin(
2t
-
63.4
) (t
‡
0)2.2线性系统的复频域模型1K1n11
1K11
K121(s
-
p
)n+(s
-
p
)2+
+
+s
-
p=(s
-
p
)nb
sm
+
b
+
b(s
-
p )n-1K1n-1sm
-1
+F
(s)=
m
m
-1
0
11ns=
p1=
lim[(s
-
p
)n
F
(s)]nF
(s)]dsds=
p11n-1(s
-
p
)sfi
p1K
=
lim
[sfi
p1111nn-1
s=
p(s
-
p
) F
(s)sfi
p1
(n
-1)!
dsK11
=
lim
1d
n-1其中：K若U(s)=0具有重根337北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.2线性系统的复频域模型例2.2.5解s(s
+
1)2求：F
(s)
=
s
+
4
的原函数f
(t
)+(s
+
1)2K22K21s
(s
+
1)=
41s=0K
=
s
+
4(s
+
1)2=
-322s=-1s=
s
+
4K21s=-1dsK
=
d
[(s
+1)2
F
(s)]=
-438北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分s=-1=
d
[
s
+
4]ds
s(t
‡
0)f
(t
)
=
4
-
4e-t
-
3te-ts(s
+1)2F
(s)
=
s
+
4
=
K1
+2.2线性系统的复频域模型①n
=m
时将F(s)化成真分式和多项式之和KKKs
-
pn+
n
s
-
p1
s
-
p2F
(s)
=
A
+
1
+
2
+小结:由F(s)求f(t)的步骤②求真分式分母的根，确定分解单元③将真分式展开成部分分式，求各部分分式的系数④对每个部分分式和多项式逐项求拉氏反变换D(s)39北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分F
(s)
=
A
+
N0
(s)2.2线性系统的复频域模型例2.2.6解的原函数s2
+
5s
+
6s2
+
9s
+
11求：F
(s)==
1+s2
+
5s
+
64s
+
5(t
‡
0)=
1+
-
3
+
7s
+
2
s
+
3f
(t
)
=
d(t
)
+
(7e-3t
-
3e-2t
)s2
+
5s
+
640北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分s2
+
9s
+
11F
(s)
=2.2线性系统的复频域模型利用拉普拉斯变换求解微分方程u(t)
=1(t)
y(
0
)
=
y(
0
)
=
0例2.2.7已知：y
+
2
y
+
2
y
=
2u求：y(t)
=？解s(s2
+
2s
+
2)Y(s)
=
2根据已知条件对方程两边作拉氏变换：2s2
+
2s
+
2
-
s(s
+
2
)\
Y(s)
=
=s(s2
+
2s
+
2
)2s(s2
+
2s
+
2
)12
--=s
+11s (s
+1)
+1
(s
+1)2
+12作拉氏反变换：y(t)=1-e-t
cos
t
-e-t
sin
t41北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.2线性系统的复频域模型回答本节开始的问题2.2.2系统的传递函数（1）定义：单输入单输出线性定常动态对象的传递函数G(S)是零初值下该对象的输出量的拉普拉斯变换Y(S)与输入量的拉普拉斯变换U(S)之比。Y
(S
)42北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分U(S
)G(S
)
=2.2线性系统的复频域模型RLC电路dtL
di
+
iR
+
u
=
uc
rdti
=
C
duc取ur为输入，uc为输出，得:crd
2ududt
2
dtLC
c
+
RC
c
+
u=
u拉氏变换得：(LCs2
+
RCs
+1
U
(s
=U
(sc
r则传递函数为：例2.2.7解43北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.2线性系统的复频域模型例2.2.8解根据牛顿第二定律，得d
2
x
(tdt
2f
(t
)-
fs
(t
)-
fd
(t
)=
mfs
(t
=
Kx
(tddtf
(t
)=
B
dx
(t
取外力f(t)为输入；位移x(t)为输出(ms2
+
Bs
+
K X
(s
=
F
(smdt
2d
2
x
(t
dx
(t
dt+
B+
Kx
(t
)=
f
(t
)得微分方程：拉氏变换后得：传递函数为：44北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.2线性系统的复频域模型45北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分（2）传递函数的性质传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态性能。它只与系统的结构和参数有关，与外部作用等条件无关。一般有n≥m。同一个系统，当输入量和输出量的选择不相同时，可能会有不同的传递函数。不同的物理系统可以有相同的传递函数。G(s)与系统的微分方程有直接联系。G(s)是系统单位脉冲响应的拉氏变换u(t)=δ(t)G(s)
=
L[y(t)]2.2线性系统的复频域模型（3）传递函数的常用表示形式时间常数形式根的形式046北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分1nD(s)
a
sn
+
aG(s)
=sn-1
+
...
+
a
s
+
an-1N
(s)
b
sm
+
b
sm
-1
+
...
+
b
s
+
b=
m
m
-1
1
0
2.2线性系统的复频域模型n2l
=1n1k
=1kj
=1m1
m2i
=1i(
p s
+
1)K
(T
s
+
1)G(s)
=(q2
s2
+
2x
q
s
+
1)l
l
l(t2
s2
+
2h
t
s
+
1)j
j
jsgn247北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分l
=1n1k
=1kj
=1j
j
jm1i
=1ig(s
+
p
)(s
+
a
)KG(s)
=(s2
+
2h
w s
+
w
2
)sg其中Ti，tj，pk，ql
—时间常数；m2(s2
+
2x
v
s
+v
2
)l
l
lm1
+
2m2
=
m;g
+
n1
+
n2
=
n.2.2线性系统的复频域模型48北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分（4）传递函数局限①G(s)原则上不反映y(0)≠0时的系统的全部运动规律.②G(s)只适用于单输入，单输出系统。???③
G(s)只适用于线性定常系统——由于拉氏变换是一种线性变换.2.2线性系统的复频域模型零点：N(s)=0的根零极点对消系统的阶数：max(n,m)，（一般n≥m）系统的类型放大系数与传递函数有关的几个重要概念：特征多项式：G(s)的分母多项式D(s)特征方程：D(s)=0极点/特征根：D(s)=0的根—系统的放大系数K—根轨迹放大系数Kg零极点图49北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分G(s)的零点、极点表示在S平面上——零极点图G(s)
=Kg
(s
+
2)(s
+
3)(s2
+
2s
+
2)G(s)零极点分布图系统性能G(s)G(s)2.2线性系统的复频域模型50北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.2线性系统的复频域模型2.2.3传递函数矩阵将传递函数的概念推广到多输入多输出系统，传递函数G（s）推广为传递函数矩阵G（s）。设系统有p个输入量、q个输出量如下图。G(s)u1u2up。。。y1y2yq。。。51北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分Y(s)
=
G(s)U(s)G(s)
=21(s)
g
(s)
gg
(s)
g11
(s)qpq
2q1g1
p
(s)
g
(s)
g12
(s)
g22
(s)
g2
p
(s)
2.2线性系统的复频域模型例2.2.9如图，直流他励电动机；ua是外加的输入变量电枢电压（伏），ωm表示电动机的角转速（弧度/秒），为输出量。讨论它们之间的关系。52北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.2线性系统的复频域模型由例2.1.3系统运动方程为：dtdM
(t
)dtdt
2cmm
ea
ma
ma
m
a
m-
Ra
Mc
(t
)=
Cmua
(t
)
-
La+
R
J
)
m
+
(
R fL
J
m
+
(
L f+
C
C
)w
(t
)d
2w
(t
)
dw
(t
)解mm
ea
ma
m
m
a
m
a
m
m(s)
+
(
R
f(s)
+
(
L
f
+
R
J+
C
C
)w
(s)L
J
s2w
)sw(53北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分12M
(s)C
-
L
s
-
R
)+
C
C
)+
R
J
)s
+
(
R
f+
(
L
fL
J
s
c
Ua
(s)
a
aem
ea
ma
ma
ma
mmw
(s)
=拉氏变换得：=
CmUa
(s)
-
La
sMc
(s)
-
Ra
Mc
(s)整理得：①比例环节21cRRx
=
-xr
=
KxrX
r
(s)54北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分X
c
(s)
=
KX
r
(s)W
(s)
=
X
c
(s)
=
K2.2线性系统的复频域模型2.2.4典型元部件及典型环节的传递函数（1）典型环节控制系统通常由若干个基本部件组合而成，这些基本部件称为典型环节。包括：比例环节、微分环节、积分环节、比例微分环节、一阶惯性环节、二阶振荡环节和延迟环节。比例环节的单位阶跃响应X
r
(s)W
(s)
=
X
c
(s)
=
Ksr当X
(s)
=
1
时2.2线性系统的复频域模型55北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分②一阶惯性环节1W
(s)
=
Xc
(s)
=Xr
(s)
Ts
+1src
rK K
/
T
A1当X
(s)
=
1
时，X
(s)
=
W
(s)
X
(s)
== =
A0
+s(Ts
+1)
s(s
+1/
T
)s s
+1/
T0K
T
sA
=
=
K
s(s
+1
T)
s=0=
-K
s=-1/
TA1
=
(s
+1/
T
)
s(s
+1/
T
)
K
/
T
c56北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分1
X
(s)
=
K
1
-
s(s
+1/T)
微分方程是一阶的,且输出响应需一定的时间才能达到稳态值。其中T为惯性环节的时间常数。2.2线性系统的复频域模型惯性环节的单位阶跃响应c1
X
(s)
=
K
1
-
s(s
+1/
T
)
cx
(t)
=
K(1-e-t
/T
),
t
‡
0求拉氏反变换得2.2线性系统的复频域模型57北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分W
(s)
=
Uc
(s)
=
K
=
1Ur
(s)
s
Ts其中K=1/T
，
T为积分环节的时间常数，表示积分的快慢程度。③积分环节积分环节的单位阶跃响应58北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.2线性系统的复频域模型W
(s)
=
Uc
(s)
=
K
sU
r
(s)其中K为微分环节的时间常数，表示微分速率的大小。2.2线性系统的复频域模型④微分环节理想微分环节一阶微分环节（又称比例微分环节、实用微分环节）59北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分⑤二阶振荡环节这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。2wnW
(s)
=s2
+
2xw
s
+w
2n
nn式中：w——自然振荡角频率x
——阻尼比由二阶微分方程描述的系统。60北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.2线性系统的复频域模型当x
<1时，上式特征方程的根为共轭复数。cnn当输入量为阶跃函数时，输出量的拉氏变换为：w
2X
(
s
)
=
n
s
(
s
2
+
2xw
s
+
w
2
)cs
+
2xw
n因式分解得：
X
(s)
=
1
-s s
2
+
2xw
s
+
w
2n
n振荡环节的单位阶跃响应：输出量为：cnsin(we-xw
n
tx
(t)
=
1
-1
-x2
t
+q
)1
-x2x61北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分1-x
2q
=
arctan2.2线性系统的复频域模型⑥延迟/时滞环节2.2线性系统的复频域模型带钢厚度检测环节Dhc
(t=
Dhd
(t
-t)vt
=
lxc
(tX
r
(s)传递函数为W
(s)
=
X
c
(s)
=
e-ts例62北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分写成一般形式:=
xr
(t
-t)零初始条件下，拉氏变换为X
(s)
=
e-t
s
X
(s)c
r2021年7月26日2时57分北京科技大学信息工程学院自动化系63时滞环节的输出量Dhc
(t=
Dhd
(t
-t)1
12!
3!t2
t3W
(s)
=»1
+ts1
+ts
+
s
2
+
s3
+时滞环节的传递函数Xr
(s)W
(s)
=
Xc
(s)
=
e-ts对于时滞时间很小的时滞环节，常把它展开成泰勒级数，并略去高次项，得：时滞环节在一定条件下可近似为惯性环节！2.2线性系统的复频域模型2.2线性系统的复频域模型2.2.4典型元部件及典型环节的传递函数（2）典型元部件64北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分元部件名称传递函数电位器G(s)
=
K测速电机G(s)
=
Ks电加热炉G(s)
=
KTs
+
1单容水槽G(s)=
K
G(s)=
K
e-t
s
( )Ts
+1
Ts
+1
有纯延迟双容水槽G(s)=
K
(也可有延迟，略)T
T
s2
+
(T
+
T
)s
+
11
2
1
22.3方框图与信号流图2.3.1系统动态结构图控制系统的结构图是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，它包含4种基本单元。1）信号线引出点（或测量点）比较点（或综合点）4）方框（或环节）65北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图R111=
i
(t)r(t)
-
u
(t)C
u (t)
=
1[i1
(t)
-
i2
(t)]dt11R221=
i
(t)u (t)
-
c(t)i
(t)dtCc(t)
=
12266北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图+__+-1C1s1R21C2s1R1R(s)
+C(s)思考:将两部分电路分开分别讨论然后在结合到一起结果和前面得到的是否相同?67北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图速度控制系统例2.3.168北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图解
（1）比较环节和速度调节器环节(
)(0rrUsIRs
=111cUk
(sI
(s
)=Uk
(s
t1
s=(1
+
t
s
)RR1
+
C
s1式中：T0
=4
R0C01式中：
t1
=
R1C1ur69北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分u
f2.3方框图与信号流图式中10cRRK
=(
)11kCfUt
s1
+t
ss
=
K-U
(s)Ur1
+T
s
1
0
整理得70北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图（2）速度反馈的传递函数U
f
(s
=
Ksf
n
(s式中：Ksf
为速度反馈系数71北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图（3）电动机及功率放大装置Ud
(s
=
KsUk
(s(
)(
(d
edd
dUIs
-
C
n
ss
=R
(1
+
T
s)d
zdCm
RI
(s
)-
I
(s
)=
T
e
sn
(s
)72北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分dtdndti
C
-
i
C
=
Jd
m
z
m
mdidud
-
Cen
=
Rd
id
+
Ldm
emddC
CRL
J
R=
m
d
T
=
d
,T2.3方框图与信号流图（4）系统的动态结构图73北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图2.3.2系统的等效变换（1）典型连接的等效传递函数①串联74北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图②
并联75北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图③
反馈连接76北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图（2）相加点及分支点的换位运算原则:换位前后的输入/输出信号间关系不变。①相加点后移77北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图②
相加点前移③
分支点后移78北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图④
分支点前移⑤
分支点换位79北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图⑥
相加点变位80北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图⑦
相加点和分支点一般不能变位81北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图(3)系统开环传递函数定义：闭环系统反馈信号的拉氏变换与偏差信号的拉氏变换之比（反馈通道断开），定义为系统的开环传递函数，用WK
(s)表示。82北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图f83北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分KX
(s)E(s)W
(s)
==
W1
(s)W2
(s)W3
(s)Wf
(s)
=
Wg
(s)Wf
(s)Wg
(s)——正向通道传递函数Wf
(s)——反向通道传递函数系统的开环传递函数是正向通道传递函数与反向通道传递函数的乘积。2.3方框图与信号流图R(s)D++___C(s)1C2
s1R21C1s1R1AB
+C-+__1C1s1R21C2s1R1R(s)
+C(s)BCC2sR1(a)84北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分利用方块图变换法则(a)
相加点A前移，分支点D后移2.3方框图与信号流图+_R(s)C
(s)1R1C1s
+11R2C2s
+1R1C2s(b)85北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分(b)
消除局部反馈回路2.3方框图与信号流图1R1C1R2C2s2
+
(R1C1
+
R2C2
+
R1C2
)s
+1R(s)86北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分C(s)（C）
消除主反馈回路方块图的化简方法不是唯一的，应充分地利用各种变换技巧，选择最简捷的路径，以达到省力省时的目。2.3方框图与信号流图无交叉局部反馈系统(
)
1
2
3
6
2345KW
(s)W
(s)W
(s)W
(s)Ws
=1+W
(s)W
(s)[W
(s)
+W
(s)]例2.3.2解87北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图有交叉局部反馈系统W1(s)W2
(s)W3
(s)W4
(s)W7
(s)K1+W2
(s)W3
(s)W6
(s)
+W3
(s)W4
(s)W5
(s)W
(s)
=例2.3.3解88北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2时57分2.3方框图与信号流图X
(s)X
(s)KWg
(s)Wg
(s)rcB1
+
W
(s)=1
+
Wg
(s)W
f
(s)=W
(s)
=(4)系统闭环传递函数定义：在初始条件为零时，系统的输出量与输入量的拉氏变换之比称为系统的闭环传递函数，用WB(s)表示。对于单位反馈系统，有c89北京科技大学信息工程学院自动化系2021年7月26日2
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