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不动点迭代法及其收敛定理第6章方程与方程组的迭代解法§6.2不动点迭代法及其收敛定理一、迭代法原理将非线性方程∫(x)=0化为一个同解方程X(2)并且假设q(x)为连续函数任取一个初值。,代入(2)的右端得继续o((k=0,12八…)-(3)称(3)式为求解非线性方程(2)的简单迭代法称q(x)为选代函数称x为第步迭代值如果存在一点x*,使得迭代序列xk}满足limx,=xxkk→则称迭代法(3)收敛,否则称为发散例1.用迭代法求解方程x3-x-1=0解:(1)将原方程化为等价方程x=2x3-1如果取初值x=0由迭代泫3)得2321=-55显然迭代法发散(2)如果将原方程化为等价方程x+1仍取初值0=x+1=≈07937+11.7937≈0.96442依此类推,得X2=0.9644同样的方程X3=0.9940不同的迭代格式X4=0.9990有不同的结果0.9998X6=1.0000迭代函数的构造有关7=1.0000已经收敛,故原方程的解为什么形式的迭代法x=1.0000能够收敛呢?如果将(2)式表示为x、与方程(2)同解收敛y=dx32oq(x)在x*附近较平缓y=p(x)发散y=p(r)33x1p(x)在x*附近较陡峭迭代过程的收敛性定理1.设迭代函数p(x)在a,b1上连续,且满足(1)当x∈[a,b时,a≤φ(x)≤b;(2)存在一正数L,满足0<L<1,且Vx∈[a,b]有q(x)k≤L-(5)则.方程x=(x)在a,b内有唯一解x*2对于任意初值x∈[a,bl,迭代法xk41=p(xk)均收敛于x(局部收敛性)1-LEk-k_(6)4.|x-x州≤1-LrI证:设f(x)=x-9(x)则f(x)在[ab上连续可导由条件(1)f(a)=a-q(a)≤0f(b)=b-9(b)≥0由根的存在定理,方程f(x)=0在a,b上至少有一个根证:由|(x)L<1f"(x)=1-q(x)>0则f(x)在ab上单调递增f(x)=0在ab上仅有一个根所以1.方程x=(x)在a,b内有唯一舶*2.对于迭代法k+1=9(x由微分中值定理x+1-x*=0(xk)-p(x)=0(5)(xk-xxk+1-X0(xk)0(xk1)=(9)(xk-xk1)由于|q(x)kL<k66、节制使快乐增加并使享受加强。——德谟克利特

67、今天应做的事没有做，明天再早也是耽误了。——裴斯泰洛齐

68、决定一个人的一生，以及整个命运的，只是一瞬之间

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