课时规范练13　函数模型及其应用

课时规范练13函数模型及其应用基础巩固组1.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米2021年5月1日12350002021年5月15日4835600注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升 B.8升 C.10升 D.12升答案:B解析:5月1日到5月15日,汽车行驶了35600-35000=600(千米),实际耗油48升,所以该车每100千米平均耗油量为486=8(升)2.(2021四川成都诊断测试)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”,与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N=1000v0.7v+0.3v2+d0,其中dA.135 B.149 C.165 D.195答案:B解析:由题意得,N=1000v0.7v+0.3v2+d0=100003.(2021西藏拉萨二模)某大型建筑工地因施工噪音过大,被周围居民投诉.现环保局要求其整改,降低声强.已知声强I(单位:W/m2)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度,声强级L(单位:dB)与声强I的函数关系式为L=10lg(aI),其中a为正实数.已知I=1013W/m2时,L=10dB.若整改后的施工噪音的声强为原声强的10-2,则整改后的施工噪音的声强级降低了()A.50dB B.40dB C.30dB D.20dB答案:D解析:由已知得10=10·lg(a×1013),解得a=10-12,故L=10·lg(10-12×I)=10(-12+lgI).设施工噪音原来的声强为I1,声强级为L1,整改后的声强为I2,声强级为L2,则L1-L2=10(-12+lgI1)-10(-12+lgI2)=10(lgI1-lgI2)=10·lgI1I24.(2021江西吉安模拟)根据《道路交通安全法》规定:驾驶员在血液中的酒精含量大于或等于20mg/100mL,小于80mg/100mL时的驾驶行为视为饮酒驾驶.某人喝了酒后,血液中的酒精含量升到60mg/100mL.在停止喝酒后,若血液中的酒精含量以每小时20%的速度减少,为了保障交通安全,这人至少经过几小时才能开车()(精确到1小时,参考数据:lg3≈0.48,lg2≈0.3)A.7 B.6 C.5 D.4答案:C解析:设这人至少经过x小时才能开车,由题意得60(1-20%)x<20,即0.8x<13,所以x>log0.813=-lg33lg2-15.(2021广东深圳一模)冈珀茨模型(y=k·abt)是由冈珀茨(Gompertz)提出,可作为动物种群数量变化的模型,并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种t年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型:y=k0·e1.4e-0.125t(当t=0时,表示2020年初的种群数量),若m(m答案:6解析:令t=m,由题意知,k0·e1.4e-0.125m<12k0·e1.4e0=12k0·e1.4,所以2<e1.4-1.4e-0.125m得1.4(1-e-0.125m)>ln2≈0.综合提升组6.(2021福建厦门一模)某医药研究机构开发了一种新药,据监测,如果患者每次按规定的剂量注射该药物,注射后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间t(单位:小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定,当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时,治疗该病有效,有下列说法:①a=3;②注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时;③注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克;④注射一次治疗该病的有效时间长度为53132其中说法正确的序号有.

答案:①④解析:由函数图像可知y=4当t=1时,y=4,即121-a=4,解得a=3,∴y=4药物刚好起效的时间,4t=0.125,解得t=132,药物刚好失效的时间,12t-3=0故药物有效时长为6-132=53132小时,药物的有效时间不到6个小时,故②错误,④注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18=0.5微克,故7.(2021云南昆明一中高三月考)科学家在研究物体的热辐射能力时定义了一个理想模型叫“黑体”,即一种能完全吸收照在其表面的电磁波(光)的物体.然后,黑体根据其本身特性再向周边辐射电磁波,科学研究发现单位面积的黑体向空间辐射的电磁波的功率B与该黑体的绝对温度T的4次方成正比,即B=σT4,σ为玻尔兹曼常数.而我们在做实验数据处理的过程中,往往不用基础变量作为横纵坐标,以本实验结果为例,B为纵坐标,以T4为横坐标,则能够近似得到(曲线形状).

答案:射线解析:因为B=σT4,σ为玻尔兹曼常数.以B为纵坐标,以T4为横坐标,因为x=T4≥0,所以B=σx(x≥0),所以曲线是一条射线.8.(2021山东菏泽高三期中)某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为y=f(x)时,在估计能获得[25,1600]万元的投资收益时,该公司对函数模型的基本要求是:当x∈[25,1600]时,①f(x)是递增的;②f(x)≤90恒成立;③f(x)≤x5(1)现有两个奖励函数模型:①f(x)=115x+10;②f(x)=2x-6.(2)已知函数f(x)=ax-10(a≥2)符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a的取值范围.解:(1)对于函数模型:f(x)=115x+10,验证条件③:当x=30时f(x)=12,而x5即f(x)≤x5不成立,对于函数模型:f(x)=2x-6,当x∈[25,1600]时,条件①f(x)是增函数满足;∴f(x)max=21600-6=2×40-6=74<90,满足条件对于条件③:记g(x)=2x-6-x5(25≤x≤1则g(x)=-15(x-5)2-1,∵x∈[5,40],∴当x=5时,g(x)max=-15(5-5)2-1=-1<0,∴f(x)≤故函数模型f(x)=2x-6符合公司要求.(2)∵a≥2,∴函数f(x)=ax-10符合条件①;由函数f(x)=ax-10符合条件②,得a1600-10=a×40-10≤90,解得a由函数f(x)=ax-10符合条件③,得ax-10≤x5对x∈[25,1600]恒成立,即a≤x5+10x对∵x5+10x≥22,当且仅当x∴a≤22综上所述,实数a的取值范围是2创新应用组9.(2021北京西城一模)长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾作用.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低洪涝风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=水库实际蓄水量÷水库总蓄水量×100)来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下:(1)调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0,100];(2)调度后每座水库的蓄满指数都不能降低;(3)调度前后,各水库之间的蓄满指数排名不变.记x为调度前某水库的蓄满指数,y为调度后该水库的蓄满指数,给出下面四个y关于x的函数解析式:①y=-120x2+6x;②y=10x;③y=10x50;④y=100sin则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是.

答案:②④解析:①y=-120x2+6x=-120(x2-120x)=-120(x-60)2+180,该函数在x=60时函数值为180,超过了100,不合题意;②y=10x为增函数,且x∈[0,100],y∈[0,100],且x≤10,则x≤10x,符合题意③y=10x50,x∈[0,100],当x=50时10x50=10④y=100sinπ200x,当x∈[0,100]时,π200x故该函数在[0,100]上单调递增,又y=100sinπ200x∈[0,100]设g(x)=100sinπ200x-x,x∈[0,100],g'(x)=100·π200·cosπ200即g'(x)=π2·cosπ200x-1,易知g(