【常考压轴题】2023学年九年级数学下册压轴题攻略（人教版） 三角函数中的网格问题（解析版）

三角函数中的网格问题类型一、作垂线构造直角三角形求解例．如图，点A、B、C均在4x4的正方形网格的格点上，则tan∠BAC＝（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，取格点D，连接BD，由格点图可以得出，BD⊥AC，由格点三角形可得：，，∴，故选：A【变式训练1】如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：过A作AD⊥BC于D，∴AD=2，BD=4，∴．∴．故选：B．【变式训练2】如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由题可知，，，，，又平分，，且,即三角形ABD是直角三角形，．故选：A．【变式训练3】如图所示的网格是正方形网格，点A，B，P是网格线的交点，则∠PAB+∠PBA=（

）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【详解】解：如图，延长AP交格点于D，连接BD，则，，∴，∴∠PDB=90°，则△DPB为等腰直角三角形，∴∠DPB=45°，∴∠PAB+∠PBA=∠DPB=45°，故选：B．【变式训练4】如图在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：如图，为边上的高，∴，∵，，∴，解得．故选：B．类型二、平移+作垂线构造直角三角形例1．如图，在边长1正网格中，A、B、C都在网格线上，AB与CD相交于点D，则是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】延长CD交正方形的另一个顶点为E，连接BE，如下图所示：由题意可知：∠BED=90°，∠ADC=∠BDE，根据正方形小格的边长及勾股定理可得：BE=，BD=，∴在Rt△BDE中，，∴，故选D．例2．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD的值为（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【详解】解：如图，连接格点EF、FG，EF=，FG=，EG=，∵，∴，则△EFG是直角三角形．∵AB∥EF，∴∠FEG=∠DOB．在Rt△EFG中，∵EG=，FG=，∴tan∠DOB=tan∠FEG=3．故选：A．【变式训练1】如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，过点A作AF⊥CD于F，在Rt△ADB中，BD＝3，AD＝3，由勾股定理得：AB＝在Rt△CAD中，AC＝1，AD＝3，由勾股定理得：CD＝，∵，∴，解得：AF＝∵ACBD，∴∠ACE＝∠BDE，∠CAE＝∠DBE∴△CEA∽△DEB，∴∴∴AE＝∴sin∠AEC＝故选：A．【变式训练2】如图，在网格中，小正方形的边长为1，点都在格点上，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：过点B作于点D，连接BC，如下图，∵小正方形的边长为1，∴，∵，∴，∴，∴．故选：C．【变式训练3】如图中的每个小正方形的边长均相等，则的值为（

）A．1 B．C． D．【答案】D【详解】解：如图，，，是等腰三角形过点作在中，故选D【变式训练4】如图，点A、B、C均在小正方形的顶点上，且每个小正方形的边长均为1，则的值为（