湖南省湘潭市县中路铺中路铺中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析

湖南省湘潭市县中路铺中路铺中学2021年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为(

) A． B． C．y=3x﹣3 D．参考答案：A考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．分析：先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程．解答： 解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90°∴两直线互相垂直则该直线为，那么将向右平移1个单位得，即故选A．点评：本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题．2.若，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.3.已知α，β是锐角，且，若，则=

（

）

A．2

B．1

C．

D．参考答案：B4.（5分）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（） A． 288+36π B． 60π C． 288+72π D． 288+18π参考答案：A考点： 由三视图求面积、体积．专题： 计算题．分析： 几何体是一个简单的组合体，上面是一个半圆柱，底面的半径是3，母线长是8，下面是一个四棱柱，四棱锥的底面是边长分别为8和6的矩形，四棱柱的高是6，做出两个几何体的体积求和．解答： 解：由三视图知，几何体是一个简单的组合体，上面是一个半圆柱，底面的半径是3，母线长是8，∴半圆柱的体积是==36π下面是一个四棱柱，四棱锥的底面是边长分别为8和6的矩形，四棱柱的高是6，∴四棱柱的体积是6×8×6=288，∴组合体的体积是36π+288故选A．点评： 本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何图形，本题考查的几何体是一个组合体，上面的圆柱的一半比较特殊，需要仔细观察，圆柱的摆放方式和常见的摆放方式不同．5.已知正三棱锥P﹣ABC底面边长为6，底边BC在平面α内，绕BC旋转该三棱锥，若某个时刻它在平面α上的正投影是等腰直角三角形，则此三棱锥高的取值范围是（）A．（0，] B．（0，]∪[，3] C．（0，] D．（0，]∪[3，]参考答案：B【考点】棱锥的结构特征．【分析】利用选择题的特点，借助题中答案的端点值判断，当△PBC在平面α内时，它在平面α上的正投影是等腰直角三角形，再求出P不在平面α内时的部分范围，结合选项得答案．【解答】解：设正三棱锥P﹣ABC的高为h，在△ABC中，设其中心为O，BC中点为E，则OE=×，当h=时，PE=，PB==，△PBC为等腰直角三角形，即当△PBC在平面α内时符合，P不在平面α内时，设p在α内的投影为P'，PP'=d，∵△P'BC为等腰直角三角形，故P'E=3?PE=＞3，又PE==＞3，∴h2＞6，∴h＞．由选项可知B符合，故选：B．6.已知二次函数的值域为，则的最小值为

＿＿＿＿参考答案：略7.已知实数，执行如图所示的流程图，则输出的不小于的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：D8.若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2，+∞） B．[﹣2，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣2]参考答案：A【考点】7C：简单线性规划．【分析】要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，画出可行域，求出y=2x与x+y+6=0的交点坐标，然后求解m即可．【解答】解：由题意，约束条件，的可行域如图，由，可求得A交点坐标为（﹣2，﹣4）．要使直线y=2x上存在点（x，y）满足，如图所示．可得m＞﹣2．则实数m的取值范围（﹣2，+∞）故选：A．9.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，因此该几何体表面积，故选B。10.若等边的边长为，平面内一点满足：,

（

）A.-1

B.-2

C.2

D.3

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.i是虚数单位，若（2+ai）（1﹣i）=4．则实数a=

．参考答案：2考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、复数相等即可得出．解答： 解：∵（2+ai）（1﹣i）=4，∴2+a+（a﹣2）i=4，∴2+a=4，a﹣2=0，解得a=2．故答案为：2．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．12.若实数、满足且的最小值为，则实数的值为_____参考答案：13.长方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点都在体积为的球O的球面上，其中AA1=2，则四棱锥O﹣ABCD的体积的最大值为

．参考答案：2【考点】球的体积和表面积．【分析】利用体积求出R，利用长方体的对角线d=2R=4，得出a2+b2=12，，即可得出结论．【解答】解：设球的半径为R，则=，∴R=2，从而长方体的对角线d=2R=4，设AB=a，BC=b，因为AA1=2则a2+b2+22=16，∴a2+b2=12故=2，当且仅当时，四棱锥O﹣ABCD的体积的最大值为2．故答案为：214.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，，，则△ABC周长的最小值为_______.参考答案：【分析】利用余弦定理和正弦定理将等式化简得到，再利用面积公式得到最后利用均值不等式得到答案.【详解】周长当时等号成立故答案为【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，面积公式，均值不等式，综合性强，意在考查学生的综合能力与计算能力.15.函数的反函数________________．参考答案：由，得，所以，即。因为，所以，即，所以。16.某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是____▲____．参考答案：150人

17.设a+b=2，b＞0，当+取得最小值时，a=．参考答案：﹣2【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意得+=+，（a＜2）；从而构造函数f（a）=+，（a＜2），从而作函数的图象辅助，当a＜0时，f（a）=﹣+，f′（a）=﹣=，从而确定函数的单调性及最值；同理确定当0＜a＜2时的单调性及最值，从而解得．【解答】解：∵a+b=2，b＞0，∴+=+，（a＜2）；设f（a）=+，（a＜2），作此函数的图象，如右图所示；利用导数研究其单调性得，当a＜0时，f（a）=﹣+，f′（a）=﹣=，当a＜﹣2时，f′（a）＜0，当﹣2＜a＜0时，f′（a）＞0，故函数在（﹣∞，﹣2）上是减函数，在（﹣2，0）上是增函数，∴当a=﹣2时，+取得最小值；同理，当0＜a＜2时，得到当a=时，+取得最小值；．综合，则当a=﹣2时，+取得最小值；故答案为：﹣2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，为的中点。1．若，求证：平面平面；2．点在线段上，，试确定实数的值，使得PA∥平面。参考答案：解析：1．连，四边形菱形

，

为的中点，又

，

2．当时，使得，连交于，交于，则为

的中点，又为边上中线，为正三角形的中心，令菱形的边长为，则，。

即：

。19.在中,P为内一点,（1）若，求PA（2）若，求参考答案：略20.已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若不等式的解集非空，求m的取值范围.参考答案：(1)当时,由解得:当时,由解得:当时,由解得.所以,的解集为(2)不等式解集非空,即有解,即在上有解或在上有解或在有解则或或，所以21.在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n12345成绩7076727072（1）求第6位同学成绩，及这6位同学成绩的标准差；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间中的概率．参考答案：22.（本题满分15分）长为3的线段的两个端点分别在轴上移动，点在直线上且满足．（I）求点的轨迹的方程；（II）记点轨迹为曲线，过点任作直线交曲