九年级数学上册第13讲 正多边形和圆（原卷版）

/第12讲正多边形和圆(重点题型方法与技巧) 目录类型一：圆内接正多边形类型二：正多边形的有关计算类型三：混淆正多边形和圆的有关概念致错类型一：圆内接正多边形证明一个圆内接多边形是正多边形的两种方法：（1）证明圆内接多边形的每个内角相等，每条边也相等，二者缺一不可.（2）证明圆内接多边形的各边所对的弧相等.技巧：当边数是奇数时，各个内角相等的圆内接多边形是正多边形.典型例题例1．（2022·江苏·兴化市教师发展中心九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D=85°，则∠B的度数为（）A．95° B．105° C．115° D．125°例题2．（2022·浙江·九年级专题练习）已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝3：1，则∠C的度数是（）A．45° B．60° C．90° D．135°例题3．（2022·江苏·徐州市东苑中学（徐州市第三中学初中部）九年级阶段练习）如图，若AB是的直径，CD是的弦，，则的度数为______．例题4．（2022·江苏·南京外国语学校仙林分校九年级阶段练习）用两种方法证明“圆内接四边形的对角互补”．已知：如图，四边形是的内接四边形．求证：，．证法1∵度数度数，度数度数，度数度数∴，同理，．请用不同方法完成证法2．同类题型演练1．（2022·陕西·西安市中铁中学三模）如图，四边形内接于，，平分交于点E，若．则的大小为（）A． B． C． D．2．（2021·河南许昌·九年级期中）已知在圆的内接四边形ABCD中，∠A：∠C＝1：4，则∠C＝（）A．160° B．144° C．120° D．100°3．（2022·福建省福州第十九中学九年级阶段练习）如图，点C在上，点D在半径上，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．4．（2022·江苏·沭阳县怀文中学九年级阶段练习）如图，四边形ABCD是的内接四边形，连接AO、OC，，，则∠OCD的度数为______°．5．（2022·江苏·南通市启秀中学九年级阶段练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，若，求证：．6．（2022·江苏盐城·九年级阶段练习）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，BC＝DE，连接AC，AD，求证：∠BCD+∠CAE＝180°．类型二：正多边形的有关计算正多边形的相关计算技巧：（1）正n边形的半径、边心距、边的一半构成一个直角三角形.有关正n边形的计算问题都转化为直角三角形的问题，常作半径、边心距构造直角三角形；（2）正六边形的边长等于它的半径，正三角形的边长等于它的半径的倍，正方形的边长等于它的半径的倍.典型例题例题1．（2021·河北唐山·九年级期中）若一个正多边形的边长与半径相等，则这个正多边形的中心角是（

）A．45° B．60° C．90° D．120°例题2．（2022·江苏·九年级）中心角为45°的正n边形的边数n等于（）A．12 B．10 C．8 D．6例题3．（2022·新疆·和硕县第二中学九年级期末）如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（

）A．6 B．12 C． D．例题4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12例题5．（2022·陕西·西安工业大学附中九年级期中）若一个正多边形恰好有8条对称轴，则这个正多边形的中心角的度数为_____．例题6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC的距离为____．例题7．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学九年级阶段练习）一个正n边形绕它的中心至少旋转36°才能与原来的图形完全重合，则n的值为______．例题8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正方形内接于，为上的一点，连接，．（1）求的度数；（2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值．同类题型演练1．（2022·全国·九年级课时练习）如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数是（

）A．72° B．60° C．48° D．36°2．（2021·全国·九年级专题练习）已知，正六边形的边长为2，则的长为（

）A． B． C．4 D．53．（2022·江苏宿迁·一模）我国古代数学家刘徽利用圆内接正多边形创立了“割圆术”，现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形（如图），则阴影部分的面积是（）A．1 B． C． D．4．（2021·全国·九年级专题练习）如图，，分别为的内接正三角形和内接正四边形的一边，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为（

）A．8 B．10 C．12 D．145．（2022·湖北·武汉市第十一中学九年级阶段练习）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图这个图案绕着它的中心旋转后能够与它本身重合，则旋转角α最小可以为_____度．6．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为点G，则正六边形的中心角＝____，边长＝____，边心距＝____．7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形为的内接正四边形，为的内接正三角形，若恰好是同圆的一个内接正边形的一边，则的值为_________．8．（2017·广东·陆丰市民声学校九年级阶段练习）（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM,ON，求∠MON的度数．（2）图②、③、……④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、……正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON；则图②中∠MON的度数是__________，图③中∠MON的度数是__________；……由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是_______9．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE．（1）求∠AED的度数；（2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．类型三：混淆正多边形和圆的有关概念致错典型例题例题1．（2021·湖北·公安县教学研究中心九年级期末）边长为4的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（）A． B．2 C．2 D．4例题2．（2020·江苏·南京师范大学盐城实验学校九年级阶段练习）正六边形的半径是4，则这个正六边形的周长是（）A．20 B．12 C．24 D．28例题3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数是（

）A．72° B．70° C．60° D．45°例题4．（2022·福建福州·九年级期末）已知的内接正六边形的边心距为2．则该圆的的半径为______．例题5．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，若该正六边形的边长为2，则△ACD的周长为_____．例题6．（2022·江苏·盐城市鹿鸣路初级中学九年级阶段练习）如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上的一点，连接DP，CP．(1)求∠CPD的度数；(2)当点P为的中点时，CP是⊙O的内接正n边形的一边，求n的值．同类题型演练1．（2022·江苏·九年级课时练习）若正六边形的边长为4，则它的外接圆的半径为（

）A． B．4 C． D．22．（2022·江苏·九年级课时练习）如图，已知的半径为1，则它的内接正方形的边长为（

）A．1 B．2 C． D．3．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，五边形是⊙O的内接正五边形，则的度数为（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·九年级专题练习）⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（）A． B． C．2 D．25．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心九年级期末）如图，正六边形ABCDEF的周长为24cm，则它的外接圆⊙O的半径为________cm．6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为______cm．7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD是半径为