正方形的性质与判定(第二课时)课件北师大版数学九年级上册

北师大版九年级上册第一章

特殊平行四边形正方形的性质与判定（第二课时）一、复习导入问题：什么是正方形？正方形有哪些性质？正方形的定义：

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行

四边形叫做正方形。正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，即：(1)边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；(2)角：四个角都是直角；(3)对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；(4)对称性：是轴对称图形，有4条对称轴；(5)面积：边长的平方或对角线长平方的一半.ABCD二、探究新知活动：如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？提示：剪口线与折痕成45°角即可。二、探究新知议一议：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流.正方形正方形二、探究新知矩形一组邻边相等对角线互相垂直正方形探究一：二、探究新知定理：有一组邻边相等的矩形是正方形.已知：ABCD是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.证明过程:二、探究新知已知：ABCD是矩形，AC⊥BD，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是矩形，∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD又∵AC⊥BD，∴△AOB≌△AOD（SAS）∴AB=AD∴ABCD是正方形（正方形的定义）.定理：对角线互相垂直的矩形是正方形.二、探究新知探究二：菱形一个角是直角对角线相等正方形二、探究新知证明过程:定理：有一个角是直角的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定义）.二、探究新知证明过程:定理：对角线相等的菱形是正方形.已知：ABCD是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形.证明：∵ABCD是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）又∵AC=BD，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形.∴∠ABC=90°.∴ABCD是正方形（正方形的定义）.三、

典例讲解例1.已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE，求证：四边形BECF是正方形.45°45°证明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四边形BECF是平行四边形.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∠DCB=90°,∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,∴∠EBC=45°,∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠ECB.∴EB=EC,∴□BECF是菱形.在△EBC中∵∠EBC=45°,∠ECB=45°,∴∠BEC=90°,∴菱形BECF是正方形.三、

典例讲解例2.如图，顺次连接菱形ABCD

的各边中点E，F，G，H，若AC=a，BD=b，求四边形EFGH

的面积.

三、

典例讲解

补充知识：中点四边形的概念：

顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫做中点四边如图在四边形ABCD

中，E，F，G，H

分别是AB，BC，CD，DA

的中点，则四边形EFGH

就是中点四边形.四、

课堂检测1.给出下列条件：①对角线相等且互相垂直；②一组邻边相等且有一个角是直角；③对角线相等且一组邻边相等；④对角线互相平分且有一个角是直角.其中能判定平行四边形是正方形的是

①②③

⁠（填序号）.2.在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.若再添加一个条件，使该四边形是正方形，则所添加的条件是

∠A＝90°（答案不唯一）

⁠.①②③

∠A＝90°（答案不唯一）

四、课堂检测第3题图3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中能判定这个四边形是正方形的是

④

⁠（填序号）.①AC＝BD，AB∥CD，AD∥BC；②AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC；③AD∥BC，∠BAD＝∠BCD；④AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD.第4题图4.如图，“赵爽弦图”是由四个直角边长分别为3和4的全等的直角三角形拼成的，其中阴影部分的面积是

1

⁠.④

1

四、课堂检测5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线AD，BD相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：四边形CEDF是正方形.第5题图证明：如图，过点D作DN⊥AB，垂足为点N.∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形CEDF是矩形.∵∠BAC，∠ABC的平分线AD，BD相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，DN⊥AB，∴DF＝DN，DE＝DN，