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主成分分析在系统评价中的应用principalcomponentanalysis基本数学思想设原始数据表中的变量为。主成分分析过程实质上是对原坐标系进行平移和旋转变换，使得新坐标的原点与数据群点的重心重合，新坐标系的第一轴与数据变异的最大方向对应，新坐标系的第二轴与第一轴标准正交，并且对应于数据变异的第二大方向……依此类推。这些新轴分别被称为第一主轴，第二主轴……。若经舍弃少量变量信息后，主轴变量集合能够十分有效地表示原数据的变异情况，则原来的p维空间就被降至m维。生成的空间被称为m维主超平面。主成分分析的本意是简化！系统评价学-刘新建2主成分分析的算法准则对于一个高维变量空间系统，要讨论对它进行简化的方法，首先要回答的问题是：简化的标准是什么？设原变量空间是新变量空间是主成分分析就是寻找合适的矩阵A，使得，m≤p那么，什么是合适的呢？系统评价学-刘新建31.数据变异最大方向之原则由主成分分析的数学思想得知：主成分集合是解释原数据集合差异性最好的变量集合。若以一个变量y1代表原变量集合，则应使得：若以代表原变量集合，则应使得：系统评价学-刘新建42.最小二乘原则设有一个原样本点ei，其在新空间中的映像是当原像与映像的距离最小时，我们认为两个点最相似，对于一个样本，共有n个样本店，则最小二乘原则即是要求：式中pi是第i个点的权重。(可以认为是同点的个数比例)从几何的观点看最小二乘原则：由于原样本点与其在主超平面上投影的距离平方总和达到最小，因此，可以说，m维主超平面是最接近原样本群点的m维超平面。系统评价学-刘新建53.群点相似性改变最小的原则可以证明，以点点间的距离来描述它们的相似性，若试图在一个m维超平面来近似地表达原样本空间的群点，则在所有的m维超平面中，只有主超平面可以使群点间的相似性改变最小，用数学公式表示为：系统评价学-刘新建64.对原变量系统的最佳综合表现力原则还可以证明，对于原数据表p个变量，如果想以一个综合变量来代表原来所有的原始变量，则第一主成分就是最好的选择，用统计语言描述就是，第一主成分与所有的原始变量相关性最强，即如果以m个主成分代表原变量空间，则

系统评价学-刘新建7主成分分析的算法步骤假定原变量的数据都经过了标准化处理.1.求协方差阵R2.求矩阵V的前m个特征值以及对应的特征向量，这些特征向量是标准正交的。m个特征值满足：

设对应的m个主特征向量是：系统评价学-刘新建83.计算主成分：系统评价

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