2023常微分方程考研复试真题及答案

2024常微分方程考研复试真题及答案常微分方程计算题

2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；

（1）t2

2

2dt

ud+tdtdu+(t2

-1)u=0（2）

dxdy=x2+y2

;（3）dxdy+

2

x

y=03.求曲线族y=C1ex

+C2xex

所满意的微分方程4．验证函数y=C1e

x

2+

C2e

x

2-是微分方程y``

-4y=0的解，进一步验证它是通解。

5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx

dy=2x6.什么叫积分一个微分方程

7．什么是求解常微分方程的初等积分法8．分别变量一阶方程的特征是什么9．求下列方程的通解

（1）

y`

＝sinx

（2）

x2

y2

y`

+1=y

（3）tgx

dx

dy

=1+y（4）

dx

dy

=exp(2x-y)（5）dx

dy=21y2-

（6）x2

ydx=(1-y2

+x-2

x

2

y2

)dx

（7）(x2

+1)(y2

-1)dx+xydy=010.叙述齐次函数的定义

11．试给出一阶方程y`

＝f(x,y)或p(x,y)dx+q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二

个方程的关系。

12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何13．求解下列方程

dxdy

＝2

22yxxy-14．求解下列方程（1）（x+2y）dx—xdy=0(2)

dxdy=xy+y

x

215.

dxdy=22y

xxy+16(x2

+y2

)dx—2xydy=017.

dxdy=5

242+---yxxy18―――――19

20―――――――27

28――――3738――――44

45――――4950――――56

57――――6263――――68

69―――7172――――81

82――――8788――――92

93――――9495――――97

98――――100

101――――105

106――――113114――――122

2（1）未知函数u的导数最高阶为2，u``,u`,u均为一次，所以它是二阶线性方程。（2）为y最高阶导数为1，而y2为二次，故它是一阶非线性常微分方程。

（3）果y是未知函数，它是一阶线性方程；假如将x看着未知函数，它是一阶非线性方程。

3.提示：所满意的方程为y``－2y`+y=0

4．直接代入方程，并计算Jacobi行列式。

5.方程变形为dy=2xdx=d(x2),故y=x2+C

6.微分方程求解时，都与肯定的积分运算相联系。因此，把求解一个微分方程的过程称为一个微分方程。微分方程的解又称为（一个）积分。

7．把微分方程的通解用初等函数或通过它们的积分来表达的方法。留意假如通解能归结为初等函数的积分表达，但这个积分假如不能用初等函数表示出来，我们也认为求解了这个微分方程，由于这个式子里没有未知函数的导数或微分。

8．y`＝f(x,y)主要特征是f(x,y)能分解为两个因式的乘积，其中一个因式仅含有x,另一因式仅含y，而方程p(x,y)dx+q(x,y)dy=0是可分别变量方程的主要特征，就像f(x,y)一样，p,q分别都能分解成两个因式和乘积。

9

（1）积分得x=-cosx+c

（2）将方程变形为x2

y2

dy=(y-1)dx或1-yy2＝2x

dx

，当xy≠0,y≠1时积分得

22x＋y+ln1-y+x

1=c(3)方程变形为

ydy+1＝x

xsincosdx,当y≠-1,sinx≠0时积分得y=Csinx-1

(4)方程变形为exp(y)dy=exp(2x)dx,积分得

exp(y)＝

2

1

exp(2x)＋C(5)当y≠±1时，求得通积分ln1

1

+-yy=x+c

(6)方程化为x2

ydx=(1-y2

)(1+x2

)dx或2

2

1xx+dx=yy21-dy,积分得

x－arctgx－lny+

2

1y2

=C(7)当x(y2

--1)≠0时，方程变形得

xx12+dx+1

2-yydy

=0

两边积分并化简得y2

＝1＋

2x

Cexp(-x2

)10.二元函数f(x,y)满意f(rx,ry)=rm

f(x,y),r.>0,则称f(x,y)为m次齐次函数。m=0则称它为0次齐次函数。

11．假如f(x,y)是0次齐次函数，则y`

＝f(x,y)称为齐次方程。假如p(x,y)和q(x,y)同为m次齐次函数，则pdx+qdy=0为齐次方程。假如q≠0则

dx

dy

＝－

y)q(x,y)p(x,≡f(x,y)，由p,q为m次齐次函数推知f(x,y)为0次齐次函数故y`

＝f(x,y)为齐次方程。

12．求解齐次方程常常用变换y=zx.用函数乘积导数的公式得

dxdy=xdx

dz＋z13．这是齐次方程。令y=zx,

dxdy=xdx

dz＋z,将方程化为z+xdxdz=212zz-,并即xdxdz＝231zzz-+分别变量得xdx

zzdzz-

=+-)1()1(22积分得ln|n|+ln(z2

+2)-ln|z|=ln|C|,或z

zx)

1(2+＝C用z=y\x代入得原来的变量。x2＋y2＝

Cy.

留意y=0方程的解。14．

（1）

当x≠0时，方程化为

dxdy=1＋2x

y

令y=ux,则原方程化为xdxdu=1+u,当1+u≠0时,可分别变量得u+1=cx:;通解为y=cx2

+x

（2）

作变换y=ux,则原方程化为2udu=x

dx于是u2

=ln|x|+C,代回原变量，得通积分：

y2

＝x2

（ln|x|+C）

15.这是齐次方程。令y=zx原方程化为

－321uu+du=xdx两边积分得2

21z

－ln|z|=ln|cx|用z=

x

y

代入得y=c1exp(2

22y

x)y=0也是原方程的解。

16.变形为

dxdy=yx2+xy2，令y=ux得2

12u

u-==xdx积分得-ln|1-u2|=ln|x|--c,代原变

量得通积分x2-y2=cx

17.方程右边分子，分母两条直线交点为（x0,y0）=(-2,1)作变换u=x+2,v=y-1,原方程化为

dudv＝vuuv--22，此为齐次方程，令v=uz,经简洁计算得1

22--zzdz=udu

,积分得3

3)1(1uzz+-＝C

原方程通积分为y=x+c(x+y+1)3+318―――――――19

20――――27

28―――――37

38――――44

45――――4950――――56

57――――6263――――68

69――――71