点线面位置关系例题与练习(含答案)

点、线、面的位置关系知识梳理（一）.平面公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理2：不共线的三点确定一个平面.推论1：直线与直线外的一点确定一个平面.推论2：两条相交直线确定一个平面.推论3：两条平行直线确定一个平面.公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线（二）空间图形的位置关系1.空间直线的位置关系：相交，平行，异面1.1平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。1.2等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。1.3异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；1.4异面直线所成的角：（1）范围：；（2）作异面直线所成的角：平移法.2.直线与平面的位置关系：包含，相交，平行3.平面与平面的位置关系：平行，相交（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）1.线面平行：=1\*GB3①定义：直线与平面无公共点.=2\*GB3②判定定理：=3\*GB3③性质定理：2.线面斜交：=1\*GB3①直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。范围：3.面面平行：=1\*GB3①定义：；=2\*GB3②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：.=3\*GB3③面面平行的性质：（1）；（2）（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直=1\*GB3①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。符号表述：若任意都有，且，则.=2\*GB3②判定：=3\*GB3③性质：（1）；（2）；3.2面面斜交=1\*GB3①二面角：（1）定义：【如图】范围：=2\*GB3②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法.3.3面面垂直（1）定义：若二面角的平面角为，则；（2）判定定理：（3）性质：=1\*GB3①若，二面角的一个平面角为，则；=2\*GB3②热点例析【例1】热点一有关线面位置关系的组合判断若a，b是两条异面直线，α，β是两个不同平面，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，则()．A．l与a，b分别相交B．l与a，b都不相交C．l至多与a，b中一条相交D．l至少与a，b中的一条相交解析：假设l与a，b均不相交，则l∥a，l∥b，从而a∥b与a，b是异面直线矛盾，故l至少与a，b中的一条相交．选D.热点二线线、线面平行与垂直的证明【例2】如图，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD(1)证明：AA1⊥BD；(2)证明：CC1∥平面A1BD．(1)方法一：因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以D1D⊥BD.又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos60°＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2.所以AD⊥BD.又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1⊂平面ADD1A1，故AA1⊥BD方法二：因为D1D⊥平面ABCD，且BD⊂平面ABCD(如图)，所以BD⊥D1D.取AB的中点G，连接DG(如图)．平面EFG//平面PAB,又PA平面PAB,平面EFG．方法三)如图以D为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系．则有关点及向量的坐标为:设平面EFG的法向量为取．∵,又平面EFG．AP//平面EFG．(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形,又∵面ABCD又平面PCD,向量是平面PCD的一个法向量,=又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量为结合图知二面角的平面角为热点五线线角线面角面面角例5正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。（1）求侧面与底面所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）在侧面上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。（1）连交于点，连PO，则PO⊥面ABCD，∴∠PAO就是与底面所成的角，∴tan∠PAO=。设AB=1，则PO=AO•tan∠PAO=。设F为AD中点，连FO、PO，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角。在Rt中，，∴。即面与底面所成二面角的大小为（2）由（1）的作法可知：O为BD中点，又因为E为PD中点，所以，。∴就是异面直线PD与AE所成的角。在Rt中，。∴。由，可知：面。所以，。在Rt中，。∴异面直线PD与AE所成的角的正切是。（3）延长交于点，连接。设为中点，连接。∵四棱锥为正四棱锥且为中点，所以，为中点，∴，。∴。∴面⊥。∵，，∴为正三角形。∴，∴。取AF中点为K，连EK，则由及得四边形为平行四边形，所以，。∴。学生练习一、选择题1．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，，则②若，，，则③若，，则④若，，则其中正确命题的序号是()A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④2．若长方体的三个面的对角线长分别是，则长方体体对角线长为（）A．B．C．D．3．在三棱锥中,底面,则点到平面的距离是()A．B．C．D．4．在正方体中，若是的中点，则直线垂直于（）A．B．C．D．5．三棱锥的高为，若三个侧面两两垂直，则为△的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心6．在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为，则二面角的余弦值为（）A．B．C．D．7．四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于（）A．B．C．D．二、填空题1．点到平面的距离分别为和，则线段的中点到平面的距离为_________________．2．从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_______。3．一条直线和一个平面所成的角为，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是____________．

4．正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_____。5．在正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,过作与分别交于和的截面，则截面的周长的最小值是________三、解答题1．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明：PB∥平面ACM；(2)证明：AD⊥平面PAC．2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E∈BB1，截面A1EC与侧面A1ACC1(1)求证：BE＝B1E；(2)若AA1＝A1B1，求平面A1EC与平面A1B1C13如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．(1)求证：AD⊥PC；(2)求三棱锥A－PDE的体积；(3)在AC上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．答案一、选择题1．A③若，，则，而同平行同一个平面的两条直线有三种位置关系④若，，则，而同垂直于同一个平面的两个平面也可以相交2．C设同一顶点的三条棱分别为，则得，则对角线长为3．B作等积变换4．B垂直于在平面上的射影5．C6．C取的中点，取的中点，7．C取的中点，则，在△中，，二、填空题1.或分在平面的同侧和异侧两种情况2.每个表面有个，共个；每个对角面有个，共个3.垂直时最大4.60度5.11沿着将正三棱锥侧面展开，则共线，且三、解答题：略1．证明：(1)连接BD，MO.在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB平面ACM，MO⊂平面ACM，所以PB∥平面ACM.(2)因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.2[解析](1)取A1C1中点F，作EG⊥面AC1于Geq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(B1F∥EG,B1E∥面AC1⇒BE∥FG))⇒B1EGF为平行四边形⇒FG⊥A1C1⇒G为A1C之中点．从而E为BB1之中点．∴BE＝B1E.(2)由(1)知G为矩形ACC1A1的中心，过G作直线平行于A1C1，交AA1于点P，交CC1于Q点，连结EP，EQ，则平面A1B1C1∥平面PEQ，即求平面AEC∵交线为EG，∴其平面角为∠A1GP，因AA1＝A1B1，则ACC1A1为正方形，则∠A1GP3．(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD．又因为四边形ABCD是矩形，所以AD⊥CD．因为PD∩CD＝D，所以AD⊥平面PCD．又因为PC⊂平面PCD，所以AD⊥PC．(2)解：由(1)知AD⊥平面PCD，所以AD是三棱锥A－PDE的高．因为E为PC的中点，且PD＝DC＝4，所以S△PDE＝eq\f(1,2)S△PDC＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4×4))＝4.又AD＝2，所以VA－PDE＝eq\f(1,3)AD·S△