安徽省安庆市高二上学期期末数学试卷（文科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年安徽省安庆市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．101（9)化为十进制数为(）A．9 B．11 C．82 D．1012．随机事件A发生的概率的范围是（)A．P（A）＞0 B．P(A)＜1 C．0＜P（A)＜1 D．0≤P（A）≤13．如果一组数x1，x2，…,xn的平均数是，方差是s2，则另一组数的平均数和方差分别是（）A． B．C． D．4．“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．某公司的班车在7：00，8:00，8：30发车，小明在7:50至8：30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A． B． C． D．6．执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（)A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤7．若直线l经过A（2，1)，B（1,﹣m2）（m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（)A．0≤α≤ B．＜α＜π C．≤α＜ D．＜α≤8．从1，2,3,4,5中任取两个不同的数字，构成一个两位数，则这个数字大于40的概率是(）A． B． C． D．9．已知点P(x，y）在直线2x+y+5=0上，那么x2+y2的最小值为（）A． B．2 C．5 D．210．已知圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（)A．内切 B．相交 C．外切 D．相离11．一条光线沿直线2x﹣y+2=0入射到直线x+y﹣5=0后反射，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x+y﹣6=0 B．x+2y﹣9=0 C．x﹣y+3=0 D．x﹣2y+7=012．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A． B． C． D．2二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分)13．双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0,3），则k的值为．14．椭圆+y2=1的弦被点（,）平分，则这条弦所在的直线方程是．15．已知命题p:|x﹣1｜+|x+1|≥3a恒成立,命题q：y=（2a﹣1）x为减函数，若p且q为真命题，则a的取值范围是．16．已知椭圆+=1,当椭圆上存在不同的两点关于直线y=4x+m对称时，则实数m的范围为：．三、解答题（本大题共6小题，70分）17．为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图),图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4:17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少?样本容量是多少？（2）若次数在110以上为达标,试估计全体高一学生的达标率为多少?（3）通过该统计图,可以估计该地学生跳绳次数的众数是，中位数是．18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0,其中a＞0，命题q:实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2）若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围．19．已知直线l:y=kx+1,圆C：（x﹣1）2+（y+1)2=12．（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点;（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．20．已知回归直线方程是：=bx+a，其中=,a=﹣b．假设学生在高中时数学成绩和物理成绩是线性相关的，若10个学生在高一下学期某次考试中数学成绩x（总分150分)和物理成绩y（总分100分）如下：X122131126111125136118113115112Y87949287909683847984(1)试求这次高一数学成绩和物理成绩间的线性回归方程（系数精确到0。001）（2）若小红这次考试的物理成绩是93分,你估计她的数学成绩是多少分呢？21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣2,0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P、Q，当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．22．已知H(﹣3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足．（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C；(2)过点T（﹣1,0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E(x0，0），使得△ABE是等边三角形，求x0的值．

2016—2017学年安徽省安庆市高二(上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题,每小题5分,共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．101(9）化为十进制数为(）A．9 B．11 C．82 D．101【考点】进位制．【分析】利用累加权重法,即可将九进制数转化为十进制，从而得解．【解答】解：由题意,101（9)=1×92+0×91+1×90=82，故选:C．2．随机事件A发生的概率的范围是（）A．P（A）＞0 B．P（A）＜1 C．0＜P（A）＜1 D．0≤P（A）≤1【考点】概率的基本性质．【分析】利用随机事件的定义，结合概率的定义，即可得到结论．【解答】解:∵随机事件是指在一定条件下可能发生，也有可能不发生的事件∴随机事件A发生的概率的范围0＜P(A）＜1当A是必然事件时，p（A）=1,当A是不可能事件时，P（A）=0故选C．3．如果一组数x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，则另一组数的平均数和方差分别是（）A． B．C． D．【考点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差．【分析】根据一组数是前一组数x1，x2，…，xn扩大倍后，再增大,故其中平均数也要扩大倍后,再增大，而其方差扩大（）2倍，由此不难得到答案．【解答】解：∵x1，x2，…，xn的平均数是，方差是s2，∴的平均数为，的方差为3s2故选C4．“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解:若方程+=1表示椭圆,则,所以，即﹣3＜m＜5且m≠1．所以“﹣3＜m＜5”是“方程+=1表示椭圆"的必要不充分条件．故选B．5．某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度,代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】解:设小明到达时间为y，当y在7:50至8：00，或8：20至8：30时，小明等车时间不超过10分钟，故P==，故选:B6．执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（)A．s≤ B．s≤ C．s≤ D．s≤【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当S＞时，退出循环,输出k的值为8，故判断框图可填入的条件是S≤．【解答】解：模拟执行程序框图，k的值依次为0，2,4,6,8，因此S=++=(此时k=6），因此可填：S≤．故选:C．7．若直线l经过A(2，1），B（1,﹣m2）(m∈R）两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（)A．0≤α≤ B．＜α＜π C．≤α＜ D．＜α≤【考点】直线的倾斜角．【分析】根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率k，分析可得斜率k的范围，结合直线的斜率k与倾斜角的关系可得tanα=k≥1，又由倾斜角的范围，分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线l经过A（2，1)，B（1，﹣m2），则直线l的斜率k==1+m2，又由m∈R,则k=1+m2≥1，则有tanα=k≥1，又由0≤α＜π,则≤α＜；故选：C．8．从1,2，3，4，5中任取两个不同的数字,构成一个两位数，则这个数字大于40的概率是（）A． B． C． D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意从1，2,3，4，5中任取两个不同的数字，构成一个两位数有=5×4=20，这个数字大于40的有=8，根据概率求解．【解答】解：从1，2,3,4，5中任取两个不同的数字，构成一个两位数有=5×4=20，这个数字大于40的有=8,∴这个数字大于40的概率是=,故选：A9．已知点P(x，y）在直线2x+y+5=0上，那么x2+y2的最小值为（）A． B．2 C．5 D．2【考点】点到直线的距离公式．【分析】x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5=0上的点与原点连线长度的平方最小值，由点到直线的距离公式可得．【解答】解：x2+y2的最小值可看成直线2x+y+5=0上的点与原点连线长度的平方最小值，即为原点到该直线的距离平方d2，由点到直线的距离公式易得d==．∴x2+y2的最小值为5，故选：C10．已知圆M:x2+y2﹣2ay=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长度是2，则圆M与圆N:（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的位置关系是（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相交的弦长公式，求出a的值，结合两圆的位置关系进行判断即可．【解答】解：圆的标准方程为M:x2+（y﹣a）2=a2（a＞0），则圆心为（0，a），半径R=a，圆心到直线x+y=0的距离d=，∵圆M：x2+y2﹣2ay=0（a＞0)截直线x+y=0所得线段的长度是2，∴2=2=2=2，即=，即a2=4，a=2，则圆心为M（0，2），半径R=2,圆N：(x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心为N（1，1）,半径r=1，则MN==，∵R+r=3,R﹣r=1,∴R﹣r＜MN＜R+r，即两个圆相交．故选：B11．一条光线沿直线2x﹣y+2=0入射到直线x+y﹣5=0后反射，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x+y﹣6=0 B．x+2y﹣9=0 C．x﹣y+3=0 D．x﹣2y+7=0【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】先求出故入射光线与反射轴的交点为A（1，4)，在入射光线上再取一点B(0,2），由点B关于反射轴x+y﹣5=0的对称点C（3，5）在反射光线上,用两点式求得反射光线的方程．【解答】解:由得，故入射光线与反射轴的交点为A(1，4），在入射光线上再取一点B（0，2），则点B关于反射轴x+y﹣5=0的对称点C（3，5）在反射光线上．根据A、C两点的坐标，用两点式求得反射光线的方程为，即x﹣2y+7=0．故选D．12．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A． B． C． D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设｜MF1｜=x，则｜MF2|=2a+x,利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=,求得x=a,可得=a，求出a=b,即可得出结论．【解答】解：设|MF1|=x，则|MF2｜=2a+x,∵MF1与x轴垂直，∴（2a+x）2=x2+4c2，∴x=∵sin∠MF2F1=，∴3x=2a+x，∴x=a,∴=a，∴a=b，∴c=a，∴e==．故选：A．二、填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）13．双曲线8kx2﹣ky2=8的一个焦点为（0，3），则k的值为﹣1．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先把双曲线8kx2﹣ky2=8的方程化为标准形式,焦点坐标得到c2=9，利用双曲线的标准方程中a，b，c的关系即得双曲线方程中的k的值．【解答】解：根据题意可知双曲线8kx2﹣ky2=8在y轴上，即，∵焦点坐标为（0，3)，c2=9，∴,∴k=﹣1,故答案为:﹣1．14．椭圆+y2=1的弦被点(,）平分，则这条弦所在的直线方程是2x+4y﹣3=0．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】设这条弦的两端点为A(x1，y1）,B（x2，y2）,斜率为k,则,两式相减再变形得，再由弦中点为（，），求出k,由此能求出这条弦所在的直线方程．【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1),B(x2，y2），斜率为k，则，两式相减再变形得，又弦中点为（，），故k=﹣,故这条弦所在的直线方程y﹣=﹣（x﹣），整理得2x+4y﹣3=0．故答案为：2x+4y﹣3=0．15．已知命题p：｜x﹣1|+｜x+1|≥3a恒成立，命题q：y=(2a﹣1)x为减函数,若p且q为真命题，则a的取值范围是（．【考点】指数函数的单调性与特殊点;复合命题的真假．【分析】利用绝对值的几何意义结合恒成立的解决方法可求的命题p为真时a的范围，然后用指数函数的知识可以求出命题q为真时a的范围，进而求交集得出a的取值范围．【解答】解：∵p且q为真命题,∴命题p与命题q均为真命题．当命题p为真命题时：∵|x﹣1｜+|x+1|≥3a恒成立，∴只须｜x﹣1|+|x+1|的最小值≥3a即可，而有绝对值的几何意义得｜x﹣1|+|x+1｜≥2,即|x﹣1|+｜x+1｜的最小值为2，∴应有：3a≤2，解得:a≤,①．当命题q为真命题时：∵y=(2a﹣1）x为减函数,∴应有：0＜2a﹣1＜1,解得:，②．综上①②得，a的取值范围为：即：（］．故答案为：（］．16．已知椭圆+=1，当椭圆上存在不同的两点关于直线y=4x+m对称时,则实数m的范围为:﹣＜m＜．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】设椭圆上两点A(x1，y1）、B（x2，y2)关于直线y=4x+m对称,AB中点为M（x0,y0），利用平方差法与直线y=4x+m可求得x0=﹣m，y0=﹣3m，点M（x0，y0）在椭圆内部，将其坐标代入椭圆方程即可求得m的取值范围．【解答】解:∵+=1,故3x2+4y2﹣12=0,设椭圆上两点A（x1，y1）、B（x2，y2)关于直线y=4x+m对称,AB中点为M（x0，y0），则3x12+4y12﹣12=0，①3x22+4y22﹣12=0，②①﹣②得：3（x1+x2）(x1﹣x2）+4(y1+y2）（y1﹣y2）=0，即3•2x0•(x1﹣x2）+4•2y0•（y1﹣y2）=0，∴=﹣•=﹣．∴y0=3x0，代入直线方程y=4x+m得x0=﹣m，y0=﹣3m；因为（x0，y0）在椭圆内部,∴3m2+4•(﹣3m）2＜12,即3m2+36m2＜12，解得﹣＜m＜．故答案为：﹣＜m＜三、解答题（本大题共6小题，70分）17．为了了解某地高一学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少?（2）若次数在110以上为达标，试估计全体高一学生的达标率为多少？（3)通过该统计图，可以估计该地学生跳绳次数的众数是115,中位数是121.3．【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据从左到右各小长方形的面积之比为2：4：17:15:9：3，第二小组频数为12，用比值做出样本容量．做出的样本容量和第二小组的频率．（2）根据上面做出的样本容量和前两个小长方形所占的比例,用所有的符合条件的样本个数之和，除以样本容量得到概率．（3）在频率分布直方图中最高的小长方形的底边的中点就是这组数据的众数，处在把频率分布直方图所有的小长方形的面积分成两部分的一条垂直与横轴的线对应的横标就是中位数．【解答】解：(1)∵从左到右各小长方形的面积之比为2：4:17：15：9：3，第二小组频数为12．∴样本容量是=150,∴第二小组的频率是=0。08．（2）∵次数在110以上为达标，∴在这组数据中达标的个体数一共有17+15+9+3，∴全体学生的达标率估计是=0.88…6分(3)在频率分布直方图中最高的小长方形的底边的中点就是这组数据的众数,即=115，…7分处在把频率分布直方图所有的小长方形的面积分成两部分的一条垂直与横轴的线对应的横标就是中位数121.3…8分18．设命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）现将a=1代入命题p，然后解出p和q,又p∧q为真，所以p真且q真，求解实数a的取值范围；(2)先由￢p是￢q的充分不必要条件得到q是p的充分不必要条件,然后化简命题，求解实数a的范围．【解答】解:（1）当a=1时,p:｛x｜1＜x＜3｝，q：{x|2＜x≤3}，又p∧q为真，所以p真且q真，由得2＜x＜3，所以实数x的取值范围为（2，3）（2）因为￢p是￢q的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，又p：｛x｜a＜x＜3a}(a＞0），q：｛x｜2＜x≤3}，所以解得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2]19．已知直线l:y=kx+1，圆C：（x﹣1）2+（y+1）2=12．（1)试证明:不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点;（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）联立直线l与圆C方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式恒大于0,得到不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；（2)设直线与圆相交于A（x1，y1），B(x2，y2），表示出直线l被圆C截得的弦长,设t=，讨论出t的最大值，即可确定出弦长的最小值．【解答】解：（1）由，消去y得到（k2+1）x2﹣（2﹣4k）x﹣7=0，∵△=（2﹣4k）2+28k2+28＞0，∴不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；（2)设直线与圆相交于A（x1，y1），B(x2，y2)，则直线l被圆C截得的弦长|AB|=|x1﹣x2｜=2=2，令t=，则有tk2﹣4k+（t﹣3）=0，当t=0时，k=﹣；当t≠0时,由k∈R,得到△=16﹣4t（t﹣3）≥0,解得：﹣1≤t≤4，且t≠0，则t=的最大值为4，此时｜AB｜最小值为2，则直线l被圆C截得的最短弦长为2．20．已知回归直线方程是:=bx+a，其中=,a=﹣b．假设学生在高中时数学成绩和物理成绩是线性相关的，若10个学生在高一下学期某次考试中数学成绩x（总分150分）和物理成绩y（总分100分）如下：X122131126111125136118113115112Y87949287909683847984（1)试求这次高一数学成绩和物理成绩间的线性回归方程（系数精确到0.001）(2）若小红这次考试的物理成绩是93分，你估计她的数学成绩是多少分呢？【考点】线性回归方程．【分析】（1）先计算样本中心坐标,利用公式求出b，a,求出回归系数．（3）通过回归方程,即可计算当y=93时，求出x的估计值．【解答】解：（1）由题意，==120.9,==87.6，=146825，=102812，∴===0。538，a=﹣b≈22。521∴=0。538x﹣22。521，(2）由（1)=0。538x﹣22.521，当y=93时，93=0.538x﹣22。521,x≈131．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F(﹣2,0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程;（Ⅱ）设O为坐标原点，T为直线x=﹣3上一点，过F作TF的垂线交椭圆于P、Q,当四边形OPTQ是平行四边形时，求四边形OPTQ的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可;(Ⅱ）由（Ⅰ）可得F（﹣2，0），设T（﹣3，m)，可得直线TF的斜率kTF=﹣m，由于TF⊥PQ，可得直线PQ的方程为x