命题与证明PPT优质教学课件市名师优质课比赛一等奖市公开课获奖课件

命题与证明第1页本节课学习目标1.学会判断命题真假2.掌握怎样证实命题第2页引入三角形一边与另一边延长线所组成角叫三角形外角.我们前面学习了许多相关三角形概念，如：不在同一直线上三条线段首尾相接所组成图形叫三角形.第3页

像这么，对一个概念含义加以描述说明或作出明确要求语句叫作这个概念定义.

比如：“把数与表示数字母用运算符号连接而成式子叫作代数式”是“代数式”定义.

“同一平面内没有公共点两条直线叫作平行线”是“平行线”定义.第4页以下叙述事情语句中，哪些是对事情作出了判断？（1）三角形内角和等于180°;（2）假如|a|=3，那么a=3;（3）1月份有31天;（4）作一条线段等于已知线段;（5）一个锐角与一个钝角互补吗？第5页普通地，对某一件事情作出判断语句（陈说句）叫作命题.

如上述语句中，（1），（2），（3）都是命题，（4），（5）没有对事情作出判断，就不是命题.第6页观察以下命题表述形式有什么共同点？（1）假如a=b且b=c，那么a=c；（2）假如两个角和等于90°，那么这两个角互为余角.

它们表述形式都是“假如……，那么……”.第7页命题通常写成“假如……，那么……”形式，其中“假如”引出部分就是条件，“那么”引出部分就是结论.比如，对于上述命题（2），“两个角和等于90°”就是条件，“这两个角互为余角”就是结论.（2）假如两个角和等于90°，那么这两个角互为余角.第8页有时为了叙述简便，命题也能够省略关联词“假如”、“那么”.

如：“假如两个角是对顶角，那么这两个角相等”能够简写成“对顶角相等”；

“假如两个角是同一个角余角，那么这两个角相等”

能够简写成“同角余角相等”.第9页做一做（1）指出以下命题条件和结论，并改写成“如果……，那么……”形式：命题条件结论①能被2整除数是偶数.②有公共顶点两个角是对顶角.③两直线平行，同位角相等.④同位角相等，两直线平行.那么这个数是偶数假如一个数能被2整除那么这两个角是对顶角假如两个角有公共顶点那么它们同位角相等假如两条直线平行那么这两条直线平行假如两个同位角相等第10页（2）上述命题③与④条件与结论之间有什么联络？③两直线平行，同位角相等.④同位角相等，两直线平行.

命题③与④条件与结论交换了位置.

对于两个命题，假如一个命题条件和结论分别是另一个命题结论和条件，我们把这么两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个叫作逆命题.

比如，上述命题③与④就是互逆命题.

从上我们能够看出，只要将一个命题条件和结论交换，就可得到它逆命题，所以每个命题都有逆命题.第11页1.以下语句中，哪些是命题，哪些不是命题？（2）两点之间线段最短；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（3）任意一个三角形三条中线都相交于一点吗？（1）假如x=3，求值；2.

将以下命题改写成“假如……，那么……”形式.（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）个位数字是5整数一定能被5整除；（3）互为相反数两个数之和等于0；（4）三角形一个外角大于它任何一个内角.练习第12页3.写出以下命题逆命题：（1）若两数相等，则它们绝对值也相等；（2）假如m是整数，那么它也是有理数；（3）两直线平行，内错角相等；（4）两边相等三角形是等腰三角形.4.在以下空格上填写适当概念：（1）垂直且平分一条线段直线叫作这条线段

（2）在数轴上，表示一个实数点与原点距离叫作这个实数

垂直平分线绝对值练习第13页议一议以下命题中，哪些正确，哪些错误？并说一说你理由.（1）每一个月都有31天；（2）假如a是有理数，那么a是整数；（3）同位角相等；（4）同角补角相等.错误错误错误正确第14页上面五个命题中，命题(4)是正确，命题(1)(2)(3)都是错误.我们把正确命题称为真命题，把错误命题称为假命题.

（1）每一个月都有31天；（2）假如a是有理数，那么a是整数；（3）同位角相等；

（4）同角补角相等.结论第15页

像此例第(1)题那样，从一个命题条件出发，经过讲道理(推理)，得出它结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫作证实.

像此例第(2)题那样，找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作举反例.（1）假如a是整数，那么a是有理数；解

假如a是整数，依据有理数定义：“整数和分数统称为有理数”得出a是实数.所以命题(1)为真．（2）假如a是有理数，那么a是整数解

0.5是有理数，所以命题(2)为假．不过0.5不是整数.第16页判断以下命题为真命题是依据什么呢？是分别依据有理数、等腰（等边）三角形定义作出判断．（1）假如a是整数，那么a是有理数；（2）假如三角形ABCD是等边三角形，那么它是等腰三角形．第17页

从上面例子看到，在判断一个命题是否为真命题时经常要利用一些概念定义，不过光用定义只能判断一些很简单命题是否为真.

对于绝大多数命题真假判断，光用定义是远远不够，那么除了依据定义外，还能依据什么来推理，去判断命题真假呢？第18页数学中有些命题正确性是人们在长久实践中总结出来，并把它们作为判断其它命题真假原始依据，这么真命题叫做基本事实.有些命题能够从公理或其它真命题出发，用逻辑推理方法判断它们是正确，而且能够深入作为判断其它命题真假依据，这么真命题叫做定理.第19页

古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)对他那个时代数学知识作了系统化总结，他挑选出一些人们在长久实践中总结出来公认真命题，作为证实原始依据，称这些真命题为公理.

欧几里得第20页本书中，我们把少数真命题作为基本事实.

比如，两点确定一条直线；两点之间线段最短；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

人们能够用定义和基本事实作为推理出发点，去判断其它命题真假.基本事实同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.同旁内角互补，两直线平行.第21页我们把经过证实为真命题叫作定理.

比如，“三角形内角和等于180°”称为“三角形内角和定理”.

定理也能够作为判断其它命题真假依据，由某定理直接得出真命题叫作这个定理推论.

比如，“三角形一个外角等于与它不相邻两个内角和”称为“三角形内角和定理推论”，也可称为“三角形外角定理”.第22页

当一个命题是真命题时，它逆命题不一定是真命题.

比如，“假如∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2”是真命题，但它逆命题“假如∠1=∠2，那么∠1和∠2是对顶角”就是假命题.

假如一个定理逆命题能被证实是真命题，那么就叫它是原定理逆定理，这两个定理叫作互逆定理.

我们前面学过定理中就有互逆定理.

比如，“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”是互逆定理.第23页

采取剪拼或度量方法，猜测“三角形外角和”等于多少度.从剪拼或度量能够猜测三角形三个外角之和等于360°，不过剪拼时难以真正拼成一个周角，只是靠近周角；分别度量这三个角后再相加，结果可能靠近360°，但不能很准确地都得360°．

另外，因为不一样形状三角形有没有数个，我们也不可能用剪拼或度量方法来一一验证，所以，我们只能猜测任何一个三角形外角和都为360°．此时猜测出命题仅仅是一个猜测，未必都是真命题．要确定这个命题是真命题，还需要经过推理方法加以证实.第24页证实命题“三角形外角和为360°”是真命题.动脑筋已知：如图∠BAF，∠CBD和∠ACE

分别是△ABC三个外角.求证︰∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°证实:∵∠BAF=∠2+∠3，

∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.第25页经过刚才三站“证实”之旅，你能说出完整几何命题证实需要哪几个步骤吗？（1）依据题意，画出图形。（2）结合图形，写出已知求证（3）写出证实过程，而且步步有依据。依据(定义)(定理)(推论)(基本事实)（真命题）条件结论数学上证实一个命题时，通常从命题条件出发，利用定义、基本事实以及已经证实了定理和推论，通过一步步推理，最终证实这个命题结论成立.

证实每一步都必须要有依据.推理第26页例1

已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA延长线上，射线AE平分∠DAC.求证：AE∥BC.证实：∵∠DAC=∠B+∠C（三角形外角定理）

∠B=∠C（已知）∴∠DAC=2∠B（等式性质）又∵AE平分∠DAC（已知）∴∠DAC=2∠DAE（角平分线定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）∴AE∥BC（同位角相等，两直线平行）第27页例2已知：∠A，∠B，∠C是△ABC内角.求证：∠A，∠B，∠C中最少有一个角大于或等于60°.

分析这个命题结论是“最少有一个”，也就是说可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况.假如直接来证实，将很繁琐，所以，我们将从另外一个角度来证实.证实假设∠A，∠B，∠C中没有一个角大于或等于60°即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜180°.这与“三角形内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.所以，∠A，∠B，∠C中最少有一个角大于或等于60°.

分析这个命题结论是“最少有一个”，也就是说可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况.假如直接来证实，将很繁琐，所以，我们将从另外一个角度来证实.第28页

像这么，当直接证实一个命题为真有困难时，我们能够先假设命题不成立，然后利用命题条件或相关结论，经过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证实命题正确，这种证实方法称为反证法.

反证法是一个间接证实方法，其基本思绪可归结为“否定结论，导出矛盾，必定结论”.反证法步骤：假设结论反面成立→逻辑推理得出矛盾→必定原结论正确第29页(1).证实命题：一个角两边分别平行于另一个角两边，且方向相同，则这两个角相等。已知：如图，AB∥A’B’,BC∥B’C’.求证：∠B=∠B’

证实：∵AB∥A’B’（）

∴∠B’=∠α（）∵BC∥B’C’（）∴∠B=∠α（）∴∠B=∠B’()已知两直线平行，同位角相等

已知两直线平行，同位角相等等量代换1.在括号内填上理由.第30页(2).已知：如图，∠A+∠B=180°.求证：∠C+∠D=180°.证实：∵∠A+∠B=180°（已知），

∴

AD∥BC（）.

∴∠C+∠D=180（

）.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补