2022学年人教A版必修四三角函数的诱导公式 教案

三角函数的诱导公式【教学内容及学情分析】本节课的教学内容是诱导公式（二）、（三）、（四），在此之前，学生已学习了角的概念的推广、弧度制、任意角三角函数的定义及同角三角函数之间的关系，学生已初步学会在单位圆中用任意角的三角函数的定义分析解决简单的问题（如推导同角三角函数基本关系）.初中虽然已经学习了锐角三角函数，但是锐角已经难以解释生活中的一些现象，因此需要将角扩充到任意角，但是随之而来的问题是该怎么求任意角的三角函数值，因此需要研究任意角的三角函数求值的基本方法，这是三角函数中的重要问题之一.本节课的教学要紧扣任意角的三角函数的定义，利用单位圆的对称性，通过两个角的终边的对称关系，揭示相关角之间的三角函数值的关系，从而把求任意角的三角函数值问题转化为求0°到90°的三角函数值问题.【教学目标设计】普通高中数学课程标准要求能“借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切）”.本节课中学生应掌握角、的正弦、余弦和正切的诱导公式，能理解公式的探求思路，能正确地运用诱导公式（一）、（二）、（三）、（四）将任意角化为锐角并求出或查表其正弦、余弦和正切值.学生应经历如下知识发生发展过程：首先，本节课的知识生长点是什么，即为什么要研究任意角的三角函数值的求法；其次，研究的方法什么，即回到任意角的三角函数的定义，结合角与角的终边的对称关系得到两个角的三角函数的关系；再次，突破公式中的任意性这个难点，找到函数名变化和符号变化的规律，得到公式的记忆诀窍；最后，体会并逐步加强对诱导公式的理解，即诱导公式实质上体现了三角函数的周期性、对称性和奇偶性.通过学习本部分内容，学生应初步学会回归定义，体会运用数形结合、化归、类比、特殊到一般的数学思想探究问题的过程.【教学重点、难点分析】本节课的教学重点是理解并掌握诱导公式，运用诱导公式把任意角的三角函数值问题转化为的角的三角函数值问题.教学难点是公式的推导方法与记忆法则.教学中要紧扣任意角的三角函数的定义和角的终边的对称性发现并推导公式，引导学生从函数名变化和符号变化的规律中找到记忆方法，要突破的任意性对公式记忆的障碍，说明取锐角和取任意角时公式记忆方法的一致性.【教学策略分析】从教学任务来看，本节课属新授课，以传授新知识、教给新方法、发展新能力为主要任务，教学中应以“规律学习”为中心内容.因此教学过程中注重以“探究法”教学为主，创设情境，引导学生自主探索，合作探究，努力让每一位同学参与到新知识的发生发展过程中去.教学内容设计上，精心做好对知识生成的过程性铺垫，设计认知冲突，激发学生兴趣.加强对学生学习难点的分解设计，层层推进.教学技术手段上，充分媒体软件，动态改变角的终边位置，从而体现角的终边的对称关系，便于学生借助单位圆直观判断任意角与、的终边的位置关系，感受诱导公式的本质，加深对公式的理解.【教学过程】：（一）情景引入（引发认知冲突，激发学习兴趣）如图所展示的图片是天津之眼，是一座跨河建设，桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功能，是世界上唯一建设在桥上的摩天轮.在乘坐摩天轮的过程中，随着摩天轮的旋转即角变化，我们离地面的高度对应变化，其实，在这种一圈一圈转动的运动形式背后，也蕴涵了丰富的数学内涵（如：对称性、周期性），下面我们先看一个具体的数学问题：【教师提问1】：如图，摩天轮轴心为，轴心到地面距离为，轴半径设为1，当我们乘坐摩天轮从点逆时针运动到时，旋转角，此时距离地面高度为多少？摩天轮继续转动，你能用任意时刻的旋转角表达离地高度h吗？【教师提问2】：你能用任意时刻的旋转角x表示离地高度h吗？设计意图：体会生活中的周期现象，初步学会用三角知识刻画周期变化规律；通过分析，学生发现要求高度h，只需求出角（任意角）的正弦即可；初步学会抽象实际问题成数学问题的基本方法；激发认知冲突，引出本课课题.（二）问题探究【教师提问3】：已知，你还能求哪些角度的正弦值？请给出理由.（注：教师根据情况启发学生，引导学生回顾三角函数定义，发现的值即角的终边与单位圆交点的纵坐标）【学生探究1】：单位圆中数形结合发现角的终边有对称性，由此猜测还可以求上述角的正弦值.【教师提问4】：上述结论中的可以换成任意锐角吗？【学生探究2】：根据任意角三角函数定义，结合对应角的终边的对称性，发现对任意锐角均有如下结论成立：,,.【教师提问5】：当为任意角时以上四组公式还成立吗？为什么？【学生探究3】：由前面的分析方法知，当为任意角时以上四组公式还成立.（注：选择一种情况比如为第二象限角时作简要分析，学生演示，其余情况留给学生课下验证）【教师提问6】：对任意角如下结论还成立吗?,,.,,.【学生探究4】：学生结合余弦、正切的定义，利用上述方法得到结论：上述结论均成立.设计意图：通过特殊角度终边的对称关系，结合正弦定义得到初步结论，掌握回到正弦的定义证明结论的基本方法，再由特殊到一般得到一系列猜想并证明，初步体会终边关于原点、轴、轴对称的两个角的三角函数的关系.同时将角推广到任意范围，层层递进，逐步加强学生对对称性的认识.（三）总结发现【教师提问7】：利用角与、的终边的对称关系，我们得到以上三组结论，加上终边相同的角的同名三角函数值相同，一共四组结论，它们对解决相关数学问题和后续学习有什么意义呢？通过分析公式特征，学生发现上述几组结论可以将终边位于第二、三、四象限的角的三角函数值问题转化为求锐角三角函数值的问题.教师顺势点题.【教师总结点题】：我们初中就学习过锐角和锐角三角函数，但是的角已经难以解释生活中的一些现象，如跳水运动员向前翻腾三周半等等，因此必须对角进行扩充，可是角一旦扩充成了任意角，就像龙中之虎放归大山，然而放虎容易收虎难！既然能将锐角扩充到任意角，就必然随之准备好将任意角重新“收缩”到锐角的手段，这个手段就是我们今天得到的上述几组结论，以它们为工具“诱使”、“引导”任意角重新回笼，化为锐角，所以我们称此公式为“诱导公式”.【教师提问8】：你能找到上述四组公式的记忆法则吗？请用简洁的语言概括这四组公式.【学生探究5】：学生小组讨论，交流观点，共同寻找公式规律.（注：如果学生遇到障碍，教师可尝试先选定一组同名三角诱导公式，比如,,让学生观察，并指导学生从函数名变化与符号变化的两个角度寻求规律）公式记忆法则可以归纳为一句话：函数名不变，符号看象限.【教师提问8】：当为任意角时以上四组公式还成立吗？为什么？同前面的分析方法知，当为任意角时以上四组公式还成立.（注：教师可选择一种情况比如为第二象限角时作简要分析，配合动画演示，其余情况留给学生课下验证）设计意图：让学生领悟诱导公式对后续学习与研究的巨大意义，点明本节课的课题并说明公式名称的由来，加强学生对学习诱导公式必要性的认识；公式记忆是学习诱导公式的必经环节，让学生弄清口诀“函数名不变，符号看象限”的具体含义，简要分析并得到结论：当为任意角时以上四组公式还成立且将看作锐角时跟为任意角时的符号规律一致.（四）知识应用：【情景引入中的摩天轮问题解决】（学生讲解，教师点评）【教师提问9】：当摩天轮继续转动，现在你能计算当时对应高度h的值吗？当呢？【练习】：计算下列角的三角函数值，总结解题方法.(1)(2)学生展示计算过程和计算结果，得到运用诱导公式求三角函数值的一般方法与步骤：负化正，大化小，化到锐角才算了.设计意图：具体运用公式解决实际问题，初步体会感知并总结运用诱导公式求三角函数值的一般方法与步骤，让学生形成归纳总结的习惯.（五）课堂小结（1）本节课我们探究学习了哪些知识？它们有何意义与作用？运用诱导公式求解三角函数值的一般步骤与方法是什么？