专题05与数列相结合的概率综合问题-备战2023年高考数学二轮复习之大题核心考点

常见考点

专题05与数列相结合的概率综合问题与数列相结合问题典例1．某商场拟在年末进展促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩玩耍，送礼券“的活动，玩耍规章如下：每轮玩耍都抛掷一枚质地均匀的骰子〔外形为正方体，六个面的点数分别为，，34，5，6，假设向上点数不超2点，获得1分，否则获219200元礼券，2020轮玩耍．3XX的期望；ipi

〔初始得分为0分，p0

1．①证明数列pi

pi1

〔i＝1，，…19〕是等比数列；②求活动参与者得到纪念品的概率．2 1〕5〔〕①证明见解析；②5

13 ．【解析】【分析】1

1 1

2 2〔〕由题意可知每轮玩耍获得

分的概率为，获得3

分的概率为

，而每轮玩耍3的结果相互独立设进展完3轮玩耍时得1分的次数为Y所以Y B3,16Y，3 3 X的期望；〔2〕①ipi

，分两种情形争论得分状况，从而得到递推式P2P

1P (i2,3,,19)，再依据构造法即可证出数列pp

是等比数列；i 3 i2

3 i12

i i1②依据①可求出pp ( )i，再依据累加法即可求出p(i2,3,,19)，然后由2P P220 318

i从而解出．

i1 3 i【详解】1

1 1 2 2 3〔〕由题意可知每轮玩耍获得

分的概率为，获得3

分的概率为3

，设进展完1分的次数为YY

1 k 3k 12B3, 12B3, 3

333XY23Y6YX3，4，5，6，13 1 122 2P(X3) ，P(X4)C2 ，3 27

333 9122 4 23 8P(X5)C1 ，P(X6) ．333 9∴X的分布列为：

3 27XX3456P1272949827E〔X〕＝31425468＝5．27 9 9 27〔2〕①证明：n＝1112点，P1PP2i分的状况有两种：1 3 1 0 3Ⅰi＝i﹣〕2即累计得i﹣2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为2P ，3 i2Ⅰ〕累计得分为i﹣1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为1P ，3i1∴P2P

(i2,3,,19)，∴PP

2P

〔i2，，19，∴i 3 i2

3

i i1

3 i1 i2数列pp

〔i＝1，，…，1〕是首项为﹣2，公比为﹣2的等比数列．i i1 3 3②∵数列pp 〔i1，…，1〕是首项为﹣2，公比为﹣2的等比数列，i i1 3 32∴ppi i1

( 3∴pp

2，P

P22，•••，pp 2i，1 0 3

2 1

i i1

3 pp

2

2i，1 i 0 5

3∴p322i

3

2i1i＝1，2•，1， 1 i 5 5 3 5

3 ∴活动参与者得到纪念品的概率为：2 2 219 2 219P P 1 1 ．20 318

5 3 5 3 【点睛】1分的次数为Y听从二项分布，从而找到所求变量X与Y的关系，列出分布列，求得期望；其次问①主要是递推式的建立，分析推断如何得到i分的状况，进而得到P2P

1P ，利用数列学问即可证出，②借由①的i 3 i2

3 i12p(i2,3,,19)，分析可知P

P，从而解出．i 20

318变式1-1．某商场调研了一年来日销售额的状况，日销售额ξ〔万元〕听从正态分布N(10,4)．为了增加营业收入，该商场开展“玩耍赢奖券”300元可以1101格、第23格、……10格，玩耍开头时“跳子”1格，顾客抛掷一枚均匀的跳子”前进2格〔从第k格到第k2格，假设消灭反面，则”前进1格〔从第k格到第k1格，当”前进到第9格或者第10格时，玩耍完毕．“跳子”920元奖券，“跳子”10格可以得到50元奖券．依据调研状况计算该商场日销售额在8万元到14：假设随机变量听从正态分布N(,2，则P()0.6827，P()0.9545，P()0.9973〕记“跳子”n格〔1≤n≤10〕的概率为P

，证明：PP

〔2≤n≤9〕是等比数列；

n n n1求某一位顾客参与一次这样的玩耍获得奖券金额的期望．1〕0．818〔〕〕期望为3835元．128【解析】由N(10,4)可得P(814)P(22)P(22)P()；2计算出P11 1

1、P2

，“跳子”前进到第n(3 n 9)格的状况得到1211P P

P ，可得PP

(P

P 化简可得答案；n 2 n2

2

n

2

n2设某一位顾客参与一次这样的玩耍获得奖券金额为ΧΧ20和50，求出对应的概率可列出分布列求出期望.【详解】由N(10,4)可得：∴P(814)0.95450.95450.68270.8186．2“跳子”1P1

1．第一次掷硬币消灭反面，“跳子”移212

，即P2

2“跳子”前进到第n(3 n 9)格的状况是下面两种，而且只有两种：①“跳子”先到第n2格，又掷出正面，其概率为1P ，2 n2②“跳子”先到第n1格，又掷出反面，其概率为1P ，∴P1P 1P ，

2 n1n 2 n2 2 n1∴PP

1(P

P )，n n1

2

n2∵PP2 1∵PP

10，n 9)，n 9)，0(2n n1PP 1∴Pn

n1

(3 n 9)，P 2n1 n2∴当2n9时，数列{PP

}是等比数列，首项为PP1，公比为1．n n1

2 1 2 2设某一位顾客参与一次这样的玩耍获得奖券金额为ΧΧ20和50，由〔2〕可知PP

1n1(2∴P(PP

n)(P

n1

n 9)，2n 9)，2)(P

1n11n2

11n n n1

n1

n2

2 1 1 n 9)，P1222 1n 9)，P1222 22 122 1 (2

1

1也适合，11 3

22 2 2 19 2 19 171

1 1 2 1

1 18 85∴P312

312256，P

P2

1(2)8312256．9

10

2 3 Χ的分布列为：ΧΧ2050的期望为E17120

855076703835〔元〕.【点睛】

256 256 256 128{Pn

Pn1

}是等比数列、X全部可能取值对应的概率，考察了学生分析问题、解决问题的力量，是一道综合题．1-2．2020年春天随着疫情的有效掌握，高三学生开头返校复课学习.为了削减学生就餐时的聚拢排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会供给A、B两种套餐〔每人每次只能选择其中一种A2 1餐的概率为3

、选择B类套餐的概率为．而前一天选择了A类套餐其次天选择A类31 34B4B类套餐其次天选择A类套餐12的概率为P

、选择B12．

，如此往复．记某同学第n天选择A类套餐n证明数列P2是等比数列，并求数列P的通项公式； 5nn 5nn3名同学在复课其次天选择AXX的分布列并求EX；20假设你是组长，如何安排分发A、B套餐的同学的人数呢，说明理由．4 1〕证明见解析，P2161n〔2〕1〔3〕套餐4 n 5 15 A8人，B12人；理由见解析．【解析】【分析】依题意得P P11P1，依据递推关系即可证明P

2是等比数列，n1 n 4 n 2

n 5利用等比数列通项公式求得P2的通项，即可求得P的通项公式；n 5 n依题意求得其次天选择A、B类套餐的概率，列出X的可能取值，结合二项分布求得分布列与数学期望；由P的通项公式得P 2，依据总人数即可求得分发A、B套餐的同学的人n数．【详解】P

30 5P11P1，n1 n 4 n 25则P 21P2(n1,nN).5n1

5 4n 当n1时，可得P24，1 5 15∴数列P2是首项为

4公比为1的等比数列.n 5

15 44 P2161n.4 n 5 15 其次天选择A类套餐的概率P21111；A 3 4 3 2 3其次天选择B类套餐的概率P23112，B 3 4 3 2 3∴3X个人选择A套餐，X0、1、2、3，2有P(Xk)Ck

(k0,1,2,3)，333X0123X0123P8421279927故EX)08142231

1.27 9 9 27〔3〕由〔1〕P

2161n，4 n 5 154 P 230次以后购置A2.30 5 5则2028208125∴负责A8人，负责B12人.【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：依据题中条件确定随机变量的可能取值；求出随机变量全部可能取值对应的概率，即可得出分布列；依据期望的概念，结合分布列，即可得出期望〔在计算时，要留意随机变量是否听从特别的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算〕变式1-3为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的根底上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐其次天选择餐厅甲就餐的概率是25%､75%，前一天选择餐厅乙就餐其次天50%､50%，如此往复.假设学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是23

，择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第n131天选择甲餐厅就餐的概率为P.n记某班级的3位同学其次天选择餐厅甲的人数为XXEX)；请写出Pn1

与P(nN*)的递推关系；nn求数列{P}的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生效劳意识和团队20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生供给就餐效劳.nn〔1〕EX1；P

1P

nN*；1 n1

4 n 2812人，理由见解析.【解析】【分析】

BB3,1 3〔2〕由P P11P1可得结果；n1 n 4 n 2〔3〕由〔2〕求得P

，且P

2(n，由此可得安排方案.【详解】

n n 5某同学其次天选择餐厅甲就餐的概率P21111，A 3 4 3 2 3某同学其次天选择餐厅乙就餐的概率P23112，B 3 4 3 2 3B3,1 3B3,1 3 1k23k PXk

Ck

k0,1,2,3，333X0123PX0123P8421279927故EX311.3P

P11P1，即P

1P

1 (nN*).1n1 n 4

n 2

4 n 21 1 2

2 〔2〕知P

P

(nN*P

P

nN*

当n1时，n1P2224，

4 n

n1

5 4n 51 5 3 5 15数列P24公比为1的等比数列. 5n154 5n154P2

41n1，即P

2161n.n 5 15 n 5 15 44 P2(n44 n 5所以，安排到餐厅甲的志愿者人数为2028，安排到餐厅乙的志愿者人数为520812.【点睛】关键点点睛：第〔1〕问的关键点是：探究得到X

BB3,1 3递推关系P

1P (nN*).1n11

4 n 2典例2．为落实《关于全面加强和改进时代学校体育工作的意见“安康学问＋根本运动技能＋专项运动技能”“校内竞赛－校级联赛－选拔性竞赛－国际沟通竞赛”为一体的竞赛体系，构建校、县〔区、地〔市、省、国家五级学校体育竞赛制度．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统工程“定点踢足球”深受同学们宠爱．其间甲、乙两人轮番进展足球定点踢球竞赛〔每人各踢一次为一轮，在一样的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两11分，未命中者得1分；两人都命中或都未命中，两人均0分，设甲每次踢球命中的概率为12

，乙每次踢球命中的概率为2，且各次踢球3互不影响．1XX的数学期望；假设经过np表示经过第i轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概i率．ppp；1 2 3p0

0pi

Api1

Bpi1

ppp1 2

的值求出A、B，并求出数列p

的通项公式．.n.1【答案〔1 〔2①1

7 7

43

6 ，B ，P6

1116【解析】【分析】

1 6 2 36

3

7 7

5 6nX的可能取值为1，0，1X的分布列与期望；①p1

1221分，621011p23轮投球，甲31321分，103轮中有1轮得12轮各得03轮中有2轮各得11轮得1由p3．②pi

Api1

Bpi1

p0

0,p1

1,p6

7,p36

43216

pi

6p7 i1

1p ，7 i1推导出pn【详解】

p n1

1是首项与公比都是的等比数列，由此能求出结果．6〔1〕记一轮踢球，甲命中为大事A，乙命中为大事BAB相互独立．由题意PA1PB2X的可能取值为1，0，1．2 3PX1PABPAPB1121， 23 23 1 2 APB 1112123231 2 APB 1112123232PX1PABPAPB1121，

．2 3 6X的分布列为：XX101P131216EX1101111．3 2 6 61〔2〕①由〔1〕p ，1 6pPX0PX1PX1PX0PX12111117．2 6 6 2 6 36 3132轮1分，10分；甲311分，20分；甲32轮各1分，1轮得1分．13

12

1 1 12

12

1 43∴p C2 C1 C2 ，3 6

36

3 6

36 3 216p00piApi1Bpi1， 6pAp

A7 6 1∴1 2

代入得：p

p ，pAp

Bp 1

i 7 i1

7 i122∴p p

3 11pp

B7，∴数列pp

是等比数列，i1

i 6

i1

n n11公比为q ，首项为pp11 0

1，∴pp

1n ． ．6 6

n1

6p1∴ p1

1 1 1．P pp

p p

p

1 n n

n1

n2

0 6

6 5 6n【点睛】6 1关键点睛：利用待定系数法得到p p p 后，紧扣等比数列定义是解决问题的关键.

i 7 i1

7 i12-12020年国庆节的到来，某电视台举办爱国学问问答竞赛，每个人随.假设答对一题可以上升两个等级，答复.甲答对每个问题的1 概率为，答错的概率为.1 3 35XX的分布列及数学期望；假设甲在答复过程中消灭在第ii2个等级的概率为P，证明：PP为等比数列.

i i i11〕分布列答案见解析，数学期望：202〕证明见解析.3【解析】【分析】XX5,6,7,8,9,10，依据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；依据的关系，求出P

的关系式P

2P1P

，再通过化简和i1等比数列的定义求解即可.【详解】

i

i1

3 i 3 1〕依题意可得，X5,6,7,8,9,10，25

25 32

241 24

1 80P(X5)C5 ，P(X6)C4 5 ，53 3 243 533 3 3 2432312 80 2213 40P(X7)C3 3 3 243533 2433 3 243

X8

C2 ，5 2 14 10 15 1PX9

C1 53 3 243

C0 ，53 243X56789X5678910P3280804010243243243243243E(X)53268078084091010 1 20.243 243 243 243 243 243 3〔2〕处于第i 1个等级有两种状况：由第i等级到第i 1等级，其概率为2P；3 i由第i1等级到第i 1等级，其概率为1P ；3i1所以P 2P1P

，所以P P1PP ，i1 3 i 3 i1P P 1

i1

3 i i1即i1 i .PP 3i i1

为等比数列.i【点睛】

i1此题考察概率公式､随机变量的分布列及数学期望，考察运算求解力量､数据处理能力考察数学运算､规律推理核心素养.其中其次问解题的关键在于查找P 与P，Pi1 i i1的关系式，即：P 2P1P i2，进而依据等比数列的定义证明.i1

3 i

i1变式2-2．为抢占市场，特斯拉电动车近期进展了一系列优待促销方案.要保证品质100辆Model3型汽车作为样本进展了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进展分析，得到如下图的频率分布直方图：100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代替).Model3X近似地听从正态分布N

,2

，经计算第〔1〕s50.用样本x作为s作为250400千米之间的概率.“玩玩耍，赢大奖，送车模”活动，客户可依据拋掷硬币的结果，指挥车模在方格图上行进，假设车模最终停在“幸运之神”6“赠送车模”方格时，则可获得车模一个.硬币消灭正､反面的概率都是0.5，方格图上标有第0格､1格､2格､……､20格.0前移动一次.假设掷出正面，车模向前移动一格(kk+1)，假设掷出反面，车模向前移动两格(kk+2)19格(幸运之神)20格(赠送车模)时玩耍结束.设车模移到第n1n19格的概率为P，试证明PP

,n2是等比数列；假设n n n166人获得优待券总金额的期望值(1万元).参考数据：假设随机变量听从正态分布N,2，则P0.6827P220.9544,P330.99731〕300(千米)〔2〕0.8186〔3〕证明见解析，优待券总金额的期望24元.【解析】100辆汽车的单次最大续航里程的平均值．XN(300,502)，由此能求出它的单次最大续航里程恰在250千米400千米之间的概率．0P0

1，第一次掷硬币消灭正面，遥控车移12

P1

1n(2n19)格的状况是以下两种，2而且也只有两种．①遥控车先到第n2格，又掷出反面，其概率为1P

，②遥控车2 n2先到第n1格，又掷出正面，其概率为1P

，从而PP

1(P

P ，进而能2 n1

n

2

n2证明当2n19时，数列Pn

Pn1

是公比为1的等比数列，由此能求出结果．2【详解】〔1〕x0.002502050.004502550.009503050.004503550.00150405300〔千米〕XN(300,502)所以P(250X400)0.95440.95440.68270.81862第一次掷硬币消灭正面，车模从第0格移到第一格，其概率为1,即P

1移动2 1 2P

111

3.车模移到第n3n19)格的状况是以下两种，而且也只有两种.

2 2 2 2 4①车模先到第n2格，又掷出反面，其概率为1P2 n2②车模先到第n11P2 n1所以P1P 1P ，PP 1(P P )，n 2 n2

2

n

2

n2当3n19时，数列{Pn

Pn1

}是公比为1的等比数列.2 P1,PP12,PP13，阅历证n2也满足.{PP }是公比为1的 1 2 2 1 2 3 2 2

n n1 2 等比数列.P1,P

P12,PP13,PP

1n1 2 2

1 2 3 2 2 n n1 2以上各式相加，得PP1213

1nn 1 2 2 2 P 11213

1n

1

1n即 1

1 n 2 2 2 2 3 2P2

1n1n2,,19)，经检验

时也符合.n 31 2 n 1 P2

1n1

n1,2,,19n 31 2 ，

P 2 120获得优待券的概率

1 3 19 3 获得车模的概率P

1P

20 2 18

1 2

2 6XX

B6, 1 X的期望E(X)62

120

120

3

2 31 2 1

2

设优待卷总金额为Y万元，Y6X优待券总金额的期望E(Y)E(6X)4

1206

12024万元1

2

241

2 【点睛】

关键点睛：由于频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面1.变式2-30，1，2，…，50级，有一位同学抛掷一枚均匀质地的骰子进展登攀台阶玩耍，这位同学开头时位0级，假设掷出偶数点，则向上一步登一级台阶，假设掷格外数点，则向上一步登两级台阶，直到登上第49级〔成功〕或第50级〔失败，玩耍完毕．设X()为登n级的步数(1n50)n级的概率为P．n〔I〕X(3)的分布列与数学期望；Ⅰ〕证明：Pn

Pn1

(2n49)为等比数列．〔Ⅰ〕分布列见解析，11〔Ⅰ〕.5【解析】【分析】Ⅰ〕X(3)登至第3级的根本大事31次奇数1次偶数，即X(3)可能取值为2，3，每次掷奇数、偶数的概率都为12

，依据二项分布，并结合古典概型求概率，写出分布列并出求期望；Ⅰ〕从第n2级登至第n级的概率为2

，从第n1级登至第n12

，由条件概率及概率加法公式得P

1P

并整理，又P

1,P

1即可证等比数列.【详解】

n 2 n1

n2

0 1 2Ⅰ〕由定义知，X(3)可能取值为

C1111 1C1 P(X(3)2)

222 24，C1111C122

13 5 52 813

2 1

2 1P(X(3)3)

8 ．C1111C122

13 5 52 82 X(3)的分布列为XX(3)23P4515∴E(X(3))243111．5 5 5Ⅰ〕证明：由题意，P1P

，则PP

1P

(2n49)；n 2 n1又PP=111，

n2

n

2 n1 n21 0 2 2Pn【点睛】

Pn1

(1n49)是首项、公比均为1的等比数列．2关键点点睛：由登至第n级的各个根本大事都是独立试验，应用二项分布公式求概率，再由n级概率；理解登至第n级可以从第n2级或第n1级一次性完成，结合概率加法公式确定P,P

的关系式.n n1 n2稳固练习与数列相结合问题某景点上山共有999.1也可以一步上两个台阶，假设甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率320级台阶开头向上走，一步走一个台阶31分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为P，其中nN*，且nn998.3XX的概率分布；证明：数列Pn1

P是等比数列；n99级台阶的概率.【答案】(1)分布列见解析(2)证明见解析(3)3

42985 15

3 【解析】【分析】3步时,是一步上一个台阶还是一步上两个台阶,X的全部可X的分布列；由题意可得到递推式P

1P 2P，构造数列，从而证明结论；n2

3 n1 3 n利用〔2〕n项和公式，求得答案.(1)X3，4，5，6， 13 1

2 12 2PX3327，PX4

C1 ，3 3 3 9 22 1 4 23 8PX5

C2339，P

X6

327，3 ∴X的分布列为：XX3456P1272949827(2)证明：由题可得P

1 2 P P，n2

3 n1 3 n∴P P

2P

P，∵P

1

2 12

7，∴P

4，P 0，n2

n1

3 n1

1 3

3 3 9

2 1 9 ∴数列P

P 4

2为公比的等比数列.(3)

n1

n 9为首项，3由〔2〕可得P

PP

PP994

99

98

2 1 19 13

3 4 298

1

.12 3 5 15 33近年来，能源汽车产业大规模进展，某汽车产品自生产并投人市场以来，受到.假设选择甲机构记1分，2分，每位车主选择两个机构的概率相等，且相互独立.3XX的分布列与数学期望；假设有nnNn分的概率为an

n

的通项公式；在〔2〕99100分时就停顿计分，假设总得99100分就选乙机构，请分析这种方案是否合理.【答案】(1)

9分布列答案见解析，数学期望：；2a

211n1；n 3 6 2这方案不合理，分析答案见解析.2【解析】【分析】X3，4，5，6.分别求得随机变量取每一值时的概率得其分布列，由数学期望公式可求得答案；nn分的状况是先得〔n1〕分，再得，概率为1a ，即有1a1a2 n1 n 2

，由此可求得答案；由〔2〕求得a ，a ，比较可得结论.99 100(1)X3，4，5，6.13 1

13 3

13 3P(X3)28，P(X4)C128，P(X5)C228， 3 3 P(X6)131.2 8 X的分布列如下表所示：X X 3456P18383818∴E(X)314353619.8 8 8 8 2(2)nn分的状况是先得〔n1〕21a2

，n1∴1a1a

，即a

21a

2.22n 2 n122

n 3

n1 3又a1a21a3

211n1，即a

211n1.1 2 1 3 (3)

n 3 6

n 3 6 解：由于a

211982，a

211992，∴a

a ，299 3 6 32

100

3 6 3

100 992∴选择乙机构的概率大于甲机构，这方案不合理.2迹与旅游景点，其中黄鹤楼与东湖被称为武汉的两张名片.为合理配置旅游资源，现1分，连续2分，每位游客游玩东湖的概率均为12

，游客是否游玩东湖相互独立.假设从游客中随机抽取mmAm

，求数列Am

10项和；在对全部游客进展随机问卷调查过程中，记已调查过的游客的累计得分恰为n分的概率为Bn

Bn

与Bn1

之间的关系，并求数列B的通项公式.n1〕1023〔2〕

1，B

211n.2【解析】2【分析】

1024

n 2

n 3 3 Am

，利用等比数列求和即可；依据概率关系可得B1B

1，构造等比数列求通项公式即可.n 2 n1【详解】总分恰为mAm

1m 2 ∴数列Am

12

12

的等比数列，10项和S

11

12101023.10 11 10242已调查过的游客的累计得分恰为n分的概率为Bn，得不到n分的状况只有先得n1分，再得2分，概率为1B ，B1.2∴1B1B B1B

n1 1 21，n 2 n1 n 2 n1∴B21B 2.n 3 2

n1 3 ∴数列B2是首项为1，公比为1的等比数列， 3n62 3n62∴B

211(n1)

211n.n 3 6 3 3 222212

，从其次代开头，假设上一代开红花，则这一代开红花的概率212是，开黄花的概率是

3，假设上一代开黄花，则这一代开红花的概率是，开黄花的3 3 52 n p n q概率是，记第5

代开红花的概率是，第n

代开黄花的概率为，np；2试求数列p

nNn

的通项公式；第nnN

n2代开哪种颜色的花的概率更大.〔1〕p2【解析】【分析】

7〔2〕p15

415

pn1

3〕第n.p

1p3q

计算；2 3 1 51p

1p3(1p

)可得p 9是等比数列，从而求得p；nn1 3 n 5 nn1

19 n1pn【详解】

p

，从而q1p ，从而可得结论．n 2 n n 2解〔1〕其次代开红花包含两个互斥大事，即第一代开红花后其次代也开红花，第一代开黄花而其次代开红花，1p1

，得：2

37.2 13

1 5 15〔2〕n代开红花的概率与第n1代的开花的状况相关，故有p p

p

34p 3n n13

n1

5

n1 5p

94 9p，n 19 15p，

n1

19p1

9191，19 2 19 38n所以数列p9是以n

14为公比的等比数列. 19

38 15pn

914n1，所以19 15p 19 15p

914n119 38 19 38 〔3〕由〔2〕p

9

1

4n1 9 1

1，n 19 38

19 38 2nNpn

1，因此第n代开黄花的概率更大.230个楼盘的均价进展了统计，得到如下频数分布表：X〔〕X〔〕4,55,66,77,88,99,10频数22111041s作为XX~N,2，8.129.24千元之间的概率；味蹦台阶送忧惠活动，由两个客户协作完成该活动，在一个口袋中有大小材质均一样4020个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，假设取5个台阶〔0.3千元〕6个台阶〔每平方米优惠3千元〕时〔活动开头时的位置记为第0个台阶，玩耍完毕.①设客户乙站到第n0n6,nN个台阶的概率为P

，证明：当1n5时，数列n n1

n是等比数列；1.251.4请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动.1.25

1.12，250.13.X~N,2，则P0.68，P220.95，P330.997.1〕0.135〔2〕①.【解析】【分析】依据频数分布表计算均值与方差，得X~N7,1.25，然后由对称性和特定区间的概率得出结论；2〔〕①由P20

1，P1

1，而n2时，即客户到第n人台阶分为两种状况：一是3从第n 1个台阶跳一级过来，另一个是从第n2个台阶跳2级过来，由此可得P递n推关系，变形后可证题设结论；②利用①求得P，计算参与活动的期望值0.3P

3P与1.4比较可得．n【详解】〔1〕x4.52

5.5

526.5117.5108.5

649.51

7，s2(4.57)2

30 30 30 30 30 2 2 11 (5.57)2 (6.57)2 (7.57)22 2 11 30 30 30 304 (8.57)2 (9.57)2 1.25.4 30 30由于x7s21.25，s1.12X~N7,1.25.P(8.12X9.24)0.950.680.135.20个台阶为必定大事，故P0

1，客户甲第一次1摸得黑球，客户乙迈上第一个台阶，其概率为，故3

P1.1 3客户乙迈入第n2n5个台阶的状况为以下两种，而且也只有两种.一是客户乙先到第n2格，客户甲又摸出红球，其概率为2P ；3 n2二是客户乙先到第n1格，客户甲又摸出黑球，其概率为1P ，所以P1P

，则PP

2P P .

3n1n 3 n1

3 n2

n n1

3 n1 n2所以当1n5时，数列PP

是首项为PP2，公比为2的等比数列.n n1②由①知，当1n5PP

1 0 3 32n，3 n n1 3 所以PPPPPP PP n 0 1 0 2 1 n n122223

2n

22n， 3 3

3

3

整理得P

322n，所以P

3225

0.548，33n 5 5 5 5 5 33且P2P22250.452. 6 3 4 5 5 3设这对夫妻参与玩耍获得优待的期望为每平方米Y千元，则E(Y)0.3P5

3P6

0.30.54830.4521.5204〔千元〕.由于1.52041.4，所以参与玩耍比较划算.2019101827日在武汉进展，赛期1027个大项、329个小项.其中，空军五项、军事五项、海军五项、定向越野和跳伞5个工程为军事特色工程，其他工程为奥运工程.现对Z国在射击竞赛预赛中的得分数据进展分析，得到如下的频率分布直方图：估量Z国射击竞赛预赛成绩得分的平均值x〔同一组中的数据用该组区间的中点值代表；依据大量的射击成绩测试数据，可以认为射击成绩X近似地听从正态分布N,2〔1〕问中样本标准差s50，用样本平均数x作为的s作为X350400的概率；〔参考数据：假设随机变量N,2P0.6827，P2≤20.9545，P330.9973〕.某汽车销售公司在军运会期间推广一款能源汽车，现面对意向客户推出“玩玩耍，送大奖”，活动，客户可依据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，假设遥控车最终停在“成功大本营”，则可获得购车优待券.骰子消灭任意点数1的概率都是，方格图上标有第6

遥控车开头在0格，客户每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次，假设抛掷出正面对上的点数是12，3，4，5点，遥控车向前移动一格〔从k到k1，假设抛掷出正面对上的点数是6点，遥控车向前移动两格〔从k到k2，直到遥控车移动到第49格〔成功大本营〕50格〔失败大本营〕时，玩耍完毕.nP，试证明Pn

P

是等比数列，并求P50

，以及依据P50

n的值解释这种玩耍方案对意向客户是否有吸引力.1300〔20.1359〔3〕证明见解析，

1149，对意向客户有吸1 50 76 引力.【解析】【分析】利用组中值代入求平均值；N(，2)，代入即可；PP

是首项为PP1，公比为1的等比数列，写出通n n1

1 0 6 6项公式，利用差分求出P

，求出P

P通过比较，可得结论.【详解】〔1〕

n 50 49X0.002502050.004502550.009503050.004503550.00150405300；所以P(350X400)1(0.95450.6827)0.1359；2〔3〕0P0

1，6 1 P6 1 P第一次掷骰子，正面对上不消灭点，摇控车移动到第格，其概率为，即

5；6 1 6摇控车移到第n格2n49格的状况是以下两种，而且也只有两种；①摇控车先到第n2格，抛掷出正面对上的点数为6点，其概率为1P ；6n2②摇控车先到第n1格，抛掷骰子正面对上不消灭6点，其概率为5P ，故P1P

，PP

1P

P ，

6n1n 6n2

6n1

n n1

6

n2故1n49PP

是首项为PP

1，公比为1的等比数列，故PP

n1n，

n1

1 0 6 66 n n1 6 PPPPPPPP n 0 1 0 2 1 n n11112

1n 6 6 6 11n1 6 6

6 1n1 1 11

7 6 6 6 1P P

16

1491

1491，50 6

48

P 1P49 50

67 6 76 21，2故这种玩耍方案客户参与中奖的可能性较大，对意向客户有吸引力.7．为了避开就餐聚拢和削减排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．某同学每天中午会在食堂供给的两种套餐中选择，他第一天选择米饭套餐的概率为2，而前一天选择了米饭套餐后一314，前一天选择面食套餐后一天连续选择面食套餐的12

，如此往复．求该同学其次天中午选择米饭套餐的概率；记该同学第n天选择米饭套餐的概率为P．nP2为等比数列； 5n 5n5n证明：当n2Pn

12．1 1 2 i

ii .〔【解析】【分析】

〕3

〔〕

〕证明见解析〔1〕A1

“第1天选择米饭套餐”A2

“第2天选择米饭套餐”A1

“第1天不选择A2 米饭套餐”．由全概率公式有PAPAPA APAPAA2

，计算可得；2 1 2 1 1n2〔i〕设n

“第n天选择米饭套餐”，则Pn

PAn

，依照〔1〕可得P

与P的关n