北京市第四中学高二下学期期中考试理数试题

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精北京四中2016-2017学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理试卷分为两卷，卷（I)100分，卷(II）50分，共计150分，考试时间120分钟卷(I）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1。复数=A。+iB.+iC。1—iD。1+i【答案】D【解析】，故选D.2。下列求导正确的是A。（3x2—2）'=3xB.（log2x)'=C。(cosx）'=sinxD。（)’=x【答案】B，B正确;，C不正确；，D不正确.故选B。3.曲线y=x·ex在x=1处切线的斜率等于A。2eB.eC。2D.1【答案】A【解析】时，，故选A。4。等于A。-21n2B。21n2C。-ln2D.ln2【答案】D【解析】故选C5。函数f（x）=3+xlnx的单调递增区间为A。(0，）B.（e,+∞)C.(,+∞）D。（，e］【答案】C。。。【解析】，令，解得，故增区间为（，+∞)，故选C.6。在复平面内，复数(i是虚数单位）的共轭复数对应的点位于A.第四象限B。第三象限C.第二象限D。第一象限【答案】D考点：复数的运算及表示．7。函数f(x)=在区间的最大值为A。3B.4C.2D.5【答案】A【解析】,令，解得或（舍），当时，;当时,；所以当时,函数有极大值,即f(x）在的最大值为3,故选A.8.已知f(x）=1+(1+x）+（1+x）2+（1+x)3+…+（1+x）n，则f'0）=A.nB。n—1C。D.n（n+1)【答案】D【解析】，，故选D。9。函数f（x）=x3+ax2+(a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是A。(-1，2）B。（-3，6）C.（-∞，—3)∪（6，+∞）D.（—∞，-1）∪（2，+∞）【答案】C【解析】根据题意可得：，解得或，故选C.点睛：由函数的极值点的定义知,首先满足函数在该点处的导数值为0,其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号,我们称之为导函数的“变号零点",则为函数的极值点，所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过”轴即可.10.方程x2=xsinx+cosx的实数解个数是A。3B.0C。2D。1【答案】C【解析】令，，因为，所以有，当时，，函数单增;当时，函数单减,，且，故函数有两个零点，故选C.点睛:本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象。方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题,可参变分离,转化为求函数的值域问题处理。恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理．也可构造新函数然后利用导数来求解。注意利用数形结合的数学思想方法。。..二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11。复数（2+i）·i的模为__________.【答案】【解析】.12.由曲线y=x2,y=x3围成的封闭图形的面积为__________.【答案】【解析】因为由题意得：所求封闭图形的面积为。13.若曲线y=x3+x-2上的在点P0处的切线平行于直线y=4x-1，则P0坐标为__________。【答案】（1，0）或（-1,—4）【解析】函数求导，，令，解得，当,，；当，。综上：P0坐标为（1,0）或（-1，-4）.点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率,其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时,由切线定义知，切线方程为．14.如下图，由函数f（x）=x2-x的图象与x轴、直线x=2围成的阴影部分的面积为__________.【答案】1【解析】由题意,阴影部分的面积为：,故填1.15。已知Sn=++…+，n∈N＊,利用数学归纳法证明不等式Sn>的过程中,从n=k到n=k+l（k∈N*）时,不等式的左边Sk+1=Sk+__________.【答案】【解析】，故填.16.对于函数y=f（x），x∈D，若对于任意x1∈D,存在唯一的x2∈D，使得=M,则称函数f(x）在D上的几何平均数为M.那么函数f(x）=x3-x2+1，在x∈上的几何平均数M=____________。f(x)=x2—x【答案】【解析】根据已知中关于函数f(x)在D上的几何平均数为M的定义，由于f（x)的导数为在内f′（x)>0，则f(x)=x3−x2+1在区间单调递增,则x1=1时，存在唯一的x2=2与之对应，且x=1时,f(x)取得最小值1，x=2时，取得最大值5，故M=故答案为：.。..三、解答题：本大题共2小题，共20分。17.设函数f（x)=lnx-x2+x.（I）求f（x)的单调区间;（II）求f（x）在区间上的最大值.【答案】（I）f(x）的增区间为(0，1)，减区间为（1,+∞)；(II）f（x)max=f（1）=0。【解析】试题分析：(1）求导,可得单调区间；（2）根据单调性可求最值。试题解析：（I）因为f（x）=lnx-x2+x其中x>0所以f’（x）=-2x+1=—所以f（x）的增区间为(0,1），减区间为（1,+∞)。（II）由（I）f（x)在单调递增，在上单调递减，∴f（x）max=f（1）=0，f（x)max=f（1)=a-1。18。已知函数f(x）=，其中a∈R。（I)当a=1时,求曲线y=f（x）在原点处的切线方程;（II）求f（x）的极值.【答案】(I)2x-y=0；(II）见解析。【解析】试题分析:（1)求出在原点处的导数值,得斜率，即可求出切线方程;(2）求出导数，讨论单调性得极值.试题解析：(I）解:当a=1时,f（x）=,f'（x）=—2。…………2分由f’(0)=2，得曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2x-y=0。………4分（II）解:f’（x）=—2。………6分①当a=0时，f’（x）=.所以f（x）在（0,+∞）单调递增,（-∞,0）单调递减。………………7分当a≠0，f'（x）=—2a。②当a〉0时，令f'（x)=0,得x1=-a，x2=，f(x）与f'（x）的情况如下：x（—∞,x1）x1(x1,x2）x2（x2，+∞）f'（x）-0+0—f（x）↘f(x1）↗f（x2）↘故f(x）的单调减区间是（—∞，—a)，(，+∞)；单调增区间是（-a，）.f（x)有极小值f(-a）=—1,有极大值f(）=a2………10分③当a〈0时，f(x）与f’(x）的情况如下：x（—∞,x2）x2(x2，x1）x1（x1,+∞)f’(x）+0-0+f（x)↗f(x2）↘f（x1）↗所以f（x）的单调增区间是(—∞，）；单调减区间是（—，—a），（-a，+∞）.f（x)有极小值f（-a）=-1，有极大值f()=a2………………12分综上，a〉0时，f（x)在(—∞,—a），（，+∞）单调递减；在（—a,）单调递增.a=0时,f（x）在（0，+∞）单调递增，在（—∞,0）单调递减，f（x）有极小值f（—a）=—1，有极大值，f（）=a2；a<0时,f（x）在（—∞,）,（-a，+∞）单调递增；在（，-a）单调递减,f(x）有极小值f（-a）=-1，有极大值f（)=a2。点睛：由函数的极值点的定义知，首先满足函数在该点处的导数值为0,其次需要导函数在该点处左右两侧的导数值异号,我们称之为导函数的“变号零点"，则为函数的极值点,所以研究函数的极值点只需研究导函数的图像能“穿过”轴即可.卷(II)一、选择题：本大题共3小题，每小题5分,共15分19.若f（x)=-x2+bln（x+2）在（-1,+∞）上是减函数，则实数b的取值范围是A。D。（—∞,-1)【答案】C【解析】由题意知,在(-1，+∞）上恒成立，即在（-1,+∞）上恒成立，，令,由可得,所以，故选C。20。观察（）'=—，（x3)'=3x2,（sinx）'=cosx,由归纳推理可得：若函数f（x)在其定义域上满足f(—x)=-f(x),记g（x）为f(x）的导函数，则g（-x)=A。—f（x）B。f（x）C.g(x）D.-g（x)【答案】C【解析】根据（）’=-，(x3）'=3x2,(sinx）’=cosx，发现原函数是一个奇函数，它们的导函数都是偶函数,由此可得规律:奇函数的导函数是偶函数。由f（—x）=—f（x)可知是奇函数，故为偶函数,，故选C。21。若i为虚数单位，设复数z满足|z｜=1，则|z—1+i|的最大值为A。—1B。2—C。+1D。2+【答案】C【解析】|z—1+i｜的几何意义是单位圆上的点与(1,1)点的距离,因为圆心到（1，1）点的距离为,所以｜z-1+i｜的最大值为，故选C.点睛:形如的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部;当时复数为实数,当时复数为虚数，当时复数为纯虚数.复数的几何意义为：表示复数z对应的点与原点的距离，表示两点的距离,即表示复数与对应的点的距离.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。..。22.曲线y=xn在x=2处的导数为12，则正整数n=__________.【答案】3【解析】曲线y=xn在x=2处的导数,解得n=3。23.设函数y=-x2+l的切线l与x轴,y轴的交点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为__________.【答案】【解析】设切点,函数y=-x2+l的导数为，即切线的斜率为,所以切线方程为:,令，得；令，得，又,则△OAB的面积为,定义域为,,解得或（舍)，当时,为减函数;当时,为增函数；当时，取到最小值，，故填.24.对于函数①f（x）=4x+—5,②f(x）=｜log2x|-（）x，③f（x)=cos（x+2)—cosx，判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x)在区间（1，2）上是增函数;命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1,x2，且x1x2<1.能使命题甲、乙均为真的函数的序号是_____________.【答案】【解析】①，在区间(1，2)上，在区间（1，2）上是增函数，使甲为真，f(x)的最小值是，又,在上恰有两个零点:，使乙为真；②在区间（1，2)上，，是增函数,也是增函数，两者的和函数也是增函数，使甲为真.分别画出与的图象，恰有两个不同的交点,即在区间(0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且,使乙为真；③令,可得：即，在区间(0，+∞）上有无数个零点,使乙为假;综上可知,应填①②。点睛:对于函数,我们把使的实数x叫做函数的零点,函数的零点就是方程的实数根，也是函数的图象与x轴的交点的横坐标.如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间内有零点,即存在，使得,这个c也就是方程的根。三、解答题：本大题共2小题，共20分25.已知函数f(x）=x3+ax2+bx+a2。（I)若f（x)在x=1处有极值10，求a,b的值；（II）若当a=—1时，f（x)<0在x∈恒成立,求b的取值范围【答案】（I）;(II）b<—.【解析】试题分析：（1)首先对f（x）求导,然后由题设在x=1时有极值10可得f'（1）=0，f（1)=10,解得即可；（2）x3-x2+bx+1<0在x∈恒成立，即b<在x∈恒成立，令g（x）=,即可求出b的取值范围．试题解析:(I）f'（x）=3x2+2ax+b，由题设有f’（1）=0，f（1)=10即解得或经验证，若则f'（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2当x〉1或x<1时,均有f'（x）>0，可知此时x=1不是f（x）的极值点,故舍去符合题意，故.（II）当a=-1时，f（x）=x3-x2+bx+l若f（x）〈0在x∈恒成立,即.。。x3-x2+bx+1〈0在x∈恒成立即b〈在x∈恒成立令g（x）=，则g'（x）==（法一:由g'（x）=0解得x=1…）(法二)由—2x3+x2+1=1-x3+x2（1—x）可知x∈时g'（x）<0即g（x）=在x∈单调递减（g（x））max=g（2）=-∴b〈-时，f（x）〈0在x∈恒成立。点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种"常用方法(1)分离参数法:将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地,f(x)≥a恒成立,只需f（x）min≥a即可；f（x）≤a恒成立，只需f(x）max≤a即可.(2)函数思想法:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值)，然后构建不等式求解.26。已知函数f(x）=x3—3ax+e,g（x)=1-lnx，其中e为自然对数的底数.（I)若曲线y=f（x)在点（1,f（1））处的切线与直线l：x+2y=0垂直，求实数a的值;(II)设函数F（x)=-x,若F(x）在区间（m,m+1)（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值；（III）用max｛m，n｝表示m,n中的较大者，记函数h(x）=max｛f(x），g(x）}（x>0)。若函数h（x）在(0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围.【答案】（I）a=;(II)m=0或m=3；(III）a〉。【解析】试题分析:（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′(1）,求出a的值即可;

（Ⅱ）求出函数F(x）的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点,求出对应的m的值即可；

（Ⅲ）通过讨论a的范围求出函数f（x）的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定a的范围即可．试题解析：（I）易得，f'（x）=3x2-3a，所以f'（1）=3—3a，依题意，（3-3a）（-）=-1,解得a=；（II)因为F(x)=-x=—x=xlnx-x2+x，则F'(x）=lnx+l—x+l=lnx—x+2。设t（x)=lnx-x+2，则t’(x）=-1=。令t’（x)=0，得x=1。则由t'(x）〉0,得0<x<1，F'(x)为增函数；由t'（x)<0，得x>1，F'（x）为减函数；而F'（）=-2—+2=-<0，F’（1）=1〉0.则F’（x）在(0，1）上有且只有一个零点x1，且在（0，x1)上F'（x）〈0，F（x）为减函数；..。在(x1，1）上F'(x）>0,F（x）为增函数.所以x1为极值点，此时m=0。又F’（3）=ln3—1>0,F’(4）=21n2—2<0，则F'（x)在（3,4)上有且只有一个零点x2，且在(3，x2）上F'（x）>0，F（x）为增函数;在(x2,4）上F'（x）〈0，F（x）为减函数.所以x2为极值点，此时