球的表面积和体积

球的表面积与体积（约一课时）三维目标：【知识与技能】1．通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割—求和—化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。2．能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。3．培养学生空间想象能力和思维能力。【过程与方法】通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式和面积公式的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。【情感态度与价值观】通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。重点与难点：【重点】引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。【难点】推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。教学方法：观察、思考、交流、讨论、概括。。教具准备：POWERPOINT教学过程：一．引入新课【师】前面，我们学习了柱体、锥体、台体的表面积与体积。知道了它们的表面积等于展开图的面积，体积是根据祖暅原理推导出来的。但是，球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，怎样来求球的表面积与体积呢？点题，板书课题1.3.2球的表面积和体积。二．新课讲解1．球的体积【师】大家想一想：怎样来求球的体积？【生1】运用祖暅原理，我们能证实这样一个结论：一个底面半径和高都等于的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积与一个半径为的半球的体积相等．由此得到，所以．【生2】如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行。步骤：第一步：分割.如图：把半球的垂直于底面的半径作等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面。如图：得第二步：求和第三步：化为准确的和当时，（同学们讨论得出）所以得到定理：半径是的球的体积练习：一种空心钢球的质量是,外径是,求它的内径(钢的密度是)2．球的表面积：这个结论可以通过“倒沙实验”得到．设想一个球由许多顶点在球心，底面都在球面上的“准锥体”组成，这些“准锥体”的底面并不是真正的多边形，但只要这些“准锥体”的底面足够地小，就可以把它们近似地看成棱锥．这时，这些“准锥体”的高趋向于球半径，底面积……的和趋向于球面积，所有这些“准锥体”的体积的和趋向于球的体积，因此…，所以．三.练习领会1．师生共同完成教材第27页例4【例1】如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的；（2）球的表面积等于圆柱的侧面积。2．学生完成教材第28页练习题第１、2、3题四．课内小结：本节课我们学习了球的表面积和体积。大家一定要知道上述公式的由来，并且能够熟练的应用。五．课后作业：1．长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。（答案）2．正方体的内切球和外接球的体积的比为，表面积比为。（答案：；3：1）3．在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积。（答案：2500πcm2）4．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，这时容器中水的深度是[]....5．如果球的体积是V球，它的外切圆柱的体积是V圆柱，外切等边圆锥的体积是V圆锥，那么这三个几何体体积之比是____。6．图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的，球的表面积也是圆柱全面积的。注：这个发现是阿基米德在他的许许多多的科学发现当中最为得意的一个。7．如图是一个奖杯的三视图（单位：），试画出它的直观图，并计算这个奖杯的体积（精确到0．01）．解：采用斜二测画法．