中职数学基础模块下册数列教案

第6章数列（教案）【课题】6．1数列的概念【教学目标】知识目标：（1）了解数列的有关概念；（2）理解数列的通项（一般项）和通项公式．能力目标：（1）能观察一个简单的无穷数列有限项，写出数列的一个通项公式；（2）根据数列的通项公式写出数列中的项；（3）通过相关问题的解决，培养观察能力、数学思维能力和数据处理技能。情感目标：（1）经历数列的认识过程，养成有序思维．（2）经历合作学习的过程，树立团队合作意识．【教学重点】利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．【教学难点】根据数列的前若干项写出它的一个通项公式．【教学设计】通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解数列的通项（一般项）和通项公式．从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往往不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，因此是不同的数列．例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．例2是巩固性题目,指导学生分析完成.要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接受.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面．【课题】6．2等差数列（2）【教学目标】知识目标：理解等差数列通项公式及前项和公式．能力目标：（1）应用等差数列的前n项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能；（2）应用等差数列知识，解决生活中实际问题，培养学生处理数据技能和分析解决问题的能力．情感目标：（1）经历数列的前n项和公式的探索，增强学生的创新思维．（2）赞赏高斯等数学史上流传的故事，形成对数学的兴趣，感受数学文化．【教学重点】等差数列的前项和的公式．【教学难点】等差数列前项和公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等差数列的前项和公式,等差数列应用举例.重点是等差数列的前项和公式；难点是前项和公式的推导以及知识的简单实际应用．等差数列前项和公式的推导方法很重要,所用方法叫逆序相加法，应该让学生理解并学会应用．等差数列中的五个量、、、、中,知道其中三个,可以求出其余两个,例5和例6是针对不同情况,分别介绍相应算法．例7将末项看作是首项的思想是非常重要的,以这类习题作为载体,对培养学生的创新精神是十分重要的．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题6．2等差数列．*创设情境兴趣导入【趣味数学问题】数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天赋．据传说，老师在数学课上出了一道题目：“把1到100的整数写下来，然后把它们加起来!”对于这些十岁左右的孩子，这个题目是比较难的．但是高斯很快就得到了正确的答案，此时其他的学生正在忙碌地将数字一个个加起来，额头都流出了汗水．小高斯是怎样计算出来的呢?他观察这100个数1,2,3,4,5,…，96,97,98,99,100.并将它们分成50对，依次计算各对的和：1+100=1012+99=1013+98=1014+97=1015+96=101……50+51=101所以，前100个正整数的和为10150=5050.质疑引导分析思考参与分析从小故事讲起引起学生兴趣10*动脑思考探索新知从小到大排列的前100个正整数，组成了首项为1，第100项为100，公差为1的等差数列．小高斯的计算表明，这个数列的前100项和为．现在我们按照高斯的想法来研究等差数列的前n项和．将等差数列前项的和记作．即．（1）也可以写作．（2）由于，，，……(1)式与（2）式两边分别相加，得，由此得出等差数列的前项和公式为（6.3） 即等差数列的前n项和等于首末两项之和与项数乘积的一半．知道了等差数列中的、n和，利用公式（6.3）可以直接计算． 将等差数列的通项公式代入公式（6.3），得（6.4） 知道了等差数列中的、n和，利用公式（6.4）可以直接计算．【想一想】在等差数列中，知道了、d、n、、五个量中的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结问题得到等差数列求和公式引导启发学生思考求解20*巩固知识典型例题例5已知等差数列中，,,求．解由已知条件得．例6等差数列…的前多少项的和等于50？解设数列的前n项和是50，由于故即，解得舍去）， 所以，该数列的前10项的和等于50．【想一想】 例6中为什么将负数舍去？说明强调引领讲解说明引领分析强调含义说明观察思考主动求解观察思考求解领会思考求解通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点反复强调30*运用知识强化练习练习6.2.3求等差数列1,4,7,10,…的前100项的和．在等差数列{}中,=6,,求．在等差数列中，，。求。启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳40*巩固知识典型例题例7某礼堂共有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位，问礼堂共有多少个座位？解1由题意知，各排座位数成等差数列，设公差d=2,，于是，解得．所以． 答礼堂共有1150个座位．解2将最后一排看作第一排，则,，n=25，因此 答礼堂共有1150个座位．【想一想】 比较本例题的两种解法，从中受到什么启发?例8小王参加工作后，采用零存整取方式在农行存款．从元月份开始，每月第1天存入银行1000元，银行以年利率1.71%计息，试问年终结算时本金与利息之和（简称本利和）总额是多少（精确到0.01元）?【说明】年利率1.71%，折合月利率为0.1425%．计算公式为月利率=年利率÷12．解年利率1.71%，折合月利率为0.1425%．第1个月的存款利息为1000×0.1425%×12（元）；第2个月的存款利息为1000×0.1425%×11（元）；第3个月的存款利息为1000×0.1425%×10（元）；……第12个月的存款利息为1000×0.1425%×1（元）．应得到的利息就是上面各期利息之和．（元），故年终本金与利息之和总额为12×1000+111.15=12111.15（元）．说明强调引领讲解说明引领分析强调含义说明观察思考主动求解观察思考求解领会思考求解通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点反复强调50练习6.2.4第1题图1．如图一个堆放钢管的V形架的最下面一层放一根钢管，往上每一层都比他下面一层多放一个，最上面一层放30根钢管，求这个V形架上共放着多少根钢管．第1题图2．张新采用零存整取方式在农行存款．从元月份开始，每月第1天存入银行200元，银行以年利率1.71%计息，试问年终结算时本利和总额是多少（精确到0.01元）?启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳60*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：等差数列的前n项和公式是什么？结论：，．质疑归纳强调回答理解强化以小组讨论师生共同归纳的形式强调重点突破难点70*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形，最上面一层铺了21块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片，斜面上铺了20层瓦片，问共铺了多少块瓦片．提问巡视指导反思动手求解培养学生总结反思学习过程的能力80*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题6．2（必做）；学习指导6．2（选做）(3)实践调查：运用等差数列求和公式解决生活中的一个实际问题说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】6．3等比数列【教学目标】知识目标：（1）理解等比数列的定义；（2）理解等比数列通项公式．能力目标：（1）应用等比数列的通项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能；（2）应用等比数列知识，解决生活中实际问题，培养学生处理数据技能和分析解决问题的能力．情感目标：（1）经历等比数列的通项公式的探索，增强学生的创新思维；（2）关注数学知识的应用，形成对数学的兴趣。【教学重点】等比数列的通项公式．【教学难点】等比数列通项公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等比数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄清楚二者之间的区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的重视.同时要强调“等比”的特点:(常数).例1是基础题目,有助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等比数列的通项公式的归纳过程实际上也是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项公式中含有四个量：，,,,只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、例３都是这类问题.注意:例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.从例4可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是比较好,因为这样设了以后,这三个数的积正好等于很容易将求出.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题6．3等比数列．*创设情境兴趣导入【做一做】 将一张纸连续对折5次，列出每次对折纸的层数介绍播放课件质疑引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点05*动脑思考探索新知【新知识】 第1次对折后纸的层次为（层）； 第2次对折后纸的层次为（层）； 第3次对折后纸的层次为（层）； 第4次对折后纸的层次为（层）； 第5次对折后纸的层次为（层）． 各次对折后纸的层次组成数列2，4，8，16，32． 这个数列的特点是，从第2项起，每一项与它前面一项的比都等于2．如果一个数列的首项不为零，且从第2项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做这个等比数列的公比，一般用字母q来表示．由定义知，若为等比数列，q为公比，则与q均不为零，且有，即(6.5)总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10*巩固知识典型例题例１在等比数列中，，，求、、、．解【试一试】 你能很快地写出这个数列的第９项吗？说明强调引领讲解说明观察思考主动求解通过例题进一步领会15*运用知识强化练习 练习6.3.11．在等比数列中，，，试写出、．2．写出等比数列……的第５项与第6项．提问巡视指导动手求解及时了解学生知识掌握得情况25*创设情境兴趣导入 如何写出一个等比数列的通项公式呢？ 质疑引导分析思考参与分析学生自然的走向知识点30*动脑思考探索新知与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关系，分析、探求规律．设等比数列的公比为q，则……【说明】依此类推，得到等比数列的通项公式：（6.6）知道了等比数列中的和，利用公式（6.6），可以直接计算出数列的任意一项.【想一想】等比数列的通项公式中,共有四个量：、、和，只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量.针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？总结归纳仔细分析讲解关键词语思考归纳理解记忆带领学生总结问题得到等差数列通项公式引导启发学生思考求解35*巩固知识典型例题例2求等比数列的第10项．解由于，，故，数列的通项公式为，所以．例3在等比数列中，，，求．解由有，（1），（2）（2）式的两边分别除以(1)式的两边,得,由此得．将代人（1），得,所以，数列的通项公式为．故．【注意】 本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究等比数列问题的常用方法．【想一想】 在等比数列中，，．求时，你有没有比较简单的方法？【知识巩固】例4小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数量恰好组成一个等比数列．已知他们三人一共钓了14条鱼，而每个人钓鱼数量的积为64．并且知道，小强钓的鱼最多，小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？分析知道三个数构成等比数列，并且知道这三个数的积,可以将这三个数设为,这样可以方便地求出,从而解决问题.解设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为．则解得或当时此时三个人钓鱼的条数分别为2、4、8.当时此时三个人钓鱼的条数分别为8、4、2.由于小明钓的鱼最少，小强钓的鱼最多，故小明钓了2条鱼，小刚钓了4条鱼，小强钓了8条鱼．【注意】将构成等比数列的三个数设为，是经常使用的方法．说明强调引领讲解说明引领分析强调含义说明引领分析强调含义说明观察思考主动求解观察思考求解领会思考求解观察思考求解领会思考通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点反复强调注意观察学生是否理解知识点反复强调4550*运用知识强化练习1.求等比数列.的通项公式与第7项．2.在等比数列中，,,判断是否为数列中的项，如果是，请指出是第几项.3.已知三个数的积为27，且这三个数组成公比为3的等比数列．求这三个数．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳60*理论升华整体建构思考并回答下面的问题：等比数列的通项公式是什么结论：质疑归纳强调回答理解强化及时了解学生知识掌握情况70*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？已知等比数列中,,求．解答1由已知条件得解方程组得，因此．解答2由得．所以．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果培养学生总结反思学习过程的能力80*继续探索活动探究(1)读书部分：教材(2)书面作业：教材习题6．3A组（必做）；教材习题6．3B组（选做）(3)实践调查：用等比数列的通项公式解决生活中的一个问题说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；【课题】6．3等比数列【教学目标】知识目标：理解等比数列前项和公式．能力目标：（1）应用等比数列的前n项公式，解决数列的相关计算，培养学生的计算技能；（2）综合应用数列知识，解决生活中借、贷款等实际问题，培养学生处理数据技能和分析解决问题的能力．情感目标：（1）经历数列的前n项和公式的探索，增强学生的创新思维．（2）赞赏国际象棋的发明人数学史上流传的故事，形成对数学的兴趣，感受数学文化．（3）经历借、贷款问题的计算过程，体会数学的应用价值，形成对数学的兴趣。【教学重点】等比数列的前项和的公式．【教学难点】等比数列前项和公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等比数列的前项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前项和公式；难点是前项和公式的推导、求等比数列的项数的问题及知识的简单实际应用．等比数列前项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前项和公式中共涉及五个量：，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.教材中例6是已知求的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解的方法是研究等比数列问题的常用方法.【教学备品】教学课件．【课时安排】3课时．(135分钟)【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*揭示课题6．3等比数列．*创设情境兴趣导入【趣味数学问题】传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨•班•达依尔，舍罕王为了表彰大臣的功绩，准备对大臣进行奖赏．国王问大臣：“你想得到什么样的奖赏？”，这位聪明的大臣达依尔说：“陛下，请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒，在第二个格子内放上2颗麦粒，在第三个格子内放上4颗麦粒，在第四个格子内放上8颗麦粒，…，依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律，放满棋盘的64个格子．并把这些麦粒赏给您的仆人吧”．国王认为这样的奖赏很轻，于是爽快地答应了，命令如数付给达依尔麦粒．计数麦粒的工作开始了，在第一个格内放1粒，第二个格内放2粒，第三个格内放4粒，第四个格内放8粒，……，国王很快就后悔了，因为他发现，即使把全国的麦子都拿来，也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺． 这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢？ 各个格的麦粒数组成首项为1，公比为2的等比数列，大臣西萨•班•达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和．质疑引导分析思考参与分析从趣味小故事出发使得学生自然的走向知识点10*动脑思考探索新知下面来研究求等比数列前n项和的方法．等比数列的前n项和为(1)由于故将(1)式的两边同时乘以q，得(2)用(1)式的两边分别减去(2)式的两边，得(3)当时，由(3)式得等到数列的前项和公式(6.7) 知道了等比数列中的、n和，利用公式（6.7）可以直接计算．由于因此公式（6.7）还可以写成(6.8)当时，等比数列的各项都相等，此时它的前项和为．(6.9)【想一想】 在等比数列中，知道了、q、n、、五个量中的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？【注意】 在求等比数列的前n项和时，一定要判断公比q是否为１．总结归纳仔细分析讲解关键词语引导分析思考归纳理解记忆参与分析带领学生总结问题得到等比数列通项公式引导启发学生思考求解35*巩固知识典型例题例5写出等比数列的前n项和公式并求出数列的前8项的和．解因为，所以等比数列的前n项和公式为，故．*例6一个等比数列的首项为，末项为，各项的和为，求数列的公比并判断数列是由几项组成．解设该数列由n项组成，其公比为q，则，，．于是即，解得．所以数列的通项公式为于是，即解得．故数列的公比为，该数列共有5项．【注意】 例6中求项数n时，将等号两边化成同底数幂的形式，利用指数相等来求解．这种方法是研究等比数列问题的常用方法．现在我们看一看本节趣味数学内容中，国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺？ 国王承诺奖赏的麦粒数为， 据测量，一般麦子的千粒重约为40g，则这些麦子的总质量约为7.36×g，约合7360多亿吨．这是大的让人无法想象的数．若把这些麦粒排成4m高、10m宽的麦墙，它将有3×108km长，这是地球到太阳距离的80倍．，国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢！说明强调引领讲解说明引领分析强调含义说明观察思考主动求解观察思考求解领会思考通过例题进一步领会注意观察学生是否理解知识点反复强调4550*运用知识强化练习练习6.3.31．求等比数列，，，，…的前10项的和．2．已知等比数列｛｝的公比为2，＝１，求．3.已知等比数列的公比为，，求．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳60*巩固知识典型例题【趣味问题】设报纸的厚度为0.07毫米，你将一张报纸对折5次后的厚度是多少？能否对折50次，为什么？【小知识】复利计息法：将前一期的本金与利息的和（简称本利和）作为后一期的本金来计算利息的方法．俗称“利滚利”． 例7银行贷款一般都采用“复利计息法”计算利息．小王从银行货款20万元，贷款期限为5年,年利率为5.76%．（1）如果5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱?（精确到0.000001万元）；（2）如果每年一期，分5期等额还款（每期以相等的额度平均偿还本息），那么小王每年偿还银行多少钱．解（1）货款第一年后的本利和为第二年后的本利和为依次下去，从第一年后起，每年后的本利和组成的数列为等比数列…其通项公式为故5年后一次