高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习课时分层提升练五十五直线与椭圆的综合问题

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练五十五直线与椭圆的综合问题……30分钟60分一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay+2ab=0A.63B.33C.23【解析】选A.直线bxay+2ab=0与圆相切,所以圆心到直线的距离d=2aba2+b2=a,即a2=3(a2c2)⇒2a2=3c2,即c2a2=23,e=2.(2020·遵义模拟)已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)截得的弦长为7,①y=2x3;②y=2x+1;③y=2x3;④y=2x+3.条 条 条 条【解析】选C.直线y=2x3与直线l关于原点对称,直线y=2x3与直线l关于x轴对称,直线y=2x+3与直线l关于y轴对称,故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.为过椭圆x2a2+y2b2=1中心的弦,F(c,0)为椭圆的左焦点2 【解析】选△ABF=S△AOF+S△BOF=12|OF|·|yAyB|,当A,B为短轴两个端点时,|yAyB|最大,最大值为2b.所以△AFB面积的最大值为4.经过椭圆x22+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于 ()A.3 1313或3 D.±【解析】选B.依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y0=tan45°(x1),即y=x1,代入椭圆方程x22+y2=1并整理得3x24x=0,解得x=0或x=43,所以两个交点坐标分别为所以·=13,同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得·=13.5.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则 B.6 【解析】选B.抛物线y2=8x的焦点F(2,0),故c=2,又离心率e=ca=1故椭圆E的标准方程为x216+将抛物线的准线x=2,代入得|y|=3,所以|AB|=6.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·绵阳模拟)已知直线2kxy+1=0与椭圆x29+y2m=1恒有公共点,则实数【解析】因为直线2kxy+1=0恒过定点P(0,1),直线2kxy+1=0与椭圆x29+1恒有公共点,即点P(0,1)在椭圆内或椭圆上,所以09+1m≤1,即m≥1,又m≠9,所以1≤m<9答案:[1,9)∪(9,+∞)7.(2018·北京高考)已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),双曲线N:x2m2y2n2=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M【解析】椭圆,双曲线都关于x轴、y轴对称,所以只需考虑第一象限内的情况.记双曲线N的一条渐近线与椭圆M在第一象限的交点为P,椭圆左焦点为Q,右焦点为F,由已知,△OPF为正三角形,边长记为2,则高为3,所以椭圆半焦距为2,2a=PQ+PF=23+2,a=3+1,离心率23+1=双曲线N的一条渐近线斜率为nm=tan60°=3e2=m2+n答案:3128.(2020·南充模拟)已知斜率为2的直线经过椭圆x25+y24=1的右焦点F1,与椭圆相交于A、B两点,则弦【解析】由题意知,椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0),直线AB的方程为y=2(x1).由方程组y=2(x设A(x1,y1)、B(x2,y2),由根与系数的关系,得x1+x2=53,x1x2则|AB|=(=(=(1+22答案:5三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)经过点P32,1,离心率e=32,直线l与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,向量m=(ax1,by(1)求椭圆的方程.(2)当直线l过椭圆的焦点F(0,c)(c为半焦距)时,求直线l的斜率k.【解析】(1)由条件知ca=所以椭圆的方程为y24+x(2)依题意,设l的方程为y=kx+3,由y消去y得(k2+4)x2+23kx1=0,显然Δ>0,x1+x2=-23kk2+4,x1x2=-1a2x1x2+b2y1y2=4x1x2+(kx1+3)(kx2+3)=(4+k2)x1x2+3k(x1+x2)+3=(k2+4)-1k2+4+3解得k=±2.10.(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点.线段AB(1)证明:k<12(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=0.证明:,,成等差数列,并求该数列的公差.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x124+y12两式相减,并由y1-y2x1由题设知x1+x22=1,由题设得0<m<32,故k<1(2)由题意得F(1,0),设P(x3,y3),则(x31,y3)+(x11,y1)+(x21,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3(x1+x2)=1,y3=(y1+y2)=2m<0.又点P在C上,所以m=34从而P1,-32,||=于是||=(x=(x1-同理||=2x22所以||+||=412(x1+x2)=3.故2||=||+||,即||,||,||成等差数列.设该数列的公差为d,则2|d|=||||||=12|x1x2|=12将m=34代入①所以l的方程为y=x+74并整理得7x214x+14故x1+x2=2,x1x2=128,代入②解得|d|=3所以该数列的公差为32128或……20分钟40分1.(5分)(2020·丽水模拟)已知圆M:(x1)2+y2=38,椭圆C:x23+y2=1,若直线l与椭圆交于A,B两点,与圆M相切于点P,且P为AB的中点,则这样的直线条 条 条 条【解析】选C.当直线AB斜率不存在时且与圆M相切时,P在x轴上,故满足条件的直线有2条;当直线AB斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),由x123+y12整理得:y1-y2x则kAB=x03y0,kMP=y0x0-1,kMP·kAB=1,kMP·kAB由32<3综上可得,直线l有4条.故选C.2.(5分)已知椭圆x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,在长轴A1A2上任取一点M,过M作垂直于A1A2的直线,与椭圆的一个交点为P,则使得·<0的点M的概率为 ()A.22 B.223 C.6【解析】选C.设P(x,y),=(cx,y),=(cx,y),因为·=(cx,y)·(cx,y)=x2+y2c2=x2+1-x243=3x所以263<x<263.所以使得·<0的点M的概率为2×3.(5分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),F(2,0)为其右焦点,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为【解析】由题意得c=2,所以椭圆C的方程为x24+答案:x24+4.(5分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点(1)若∠F1AB=90°,则椭圆的离心率为________.

(2)若=2,·=32,则椭圆的方程为______________.

【解析】(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=2c,e=ca=2(2)由题知A(0,b),F1(c,0),F2(c,0),其中c=a2由=2,得(c,b)=2(xc,y),解得x=3c2,y=b2将B点坐标代入x2a2+y2b即9c24a2+14又由·=(c,b)·3c2,-3b得b2c2=1,即有a22c2=1②.由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆的方程为x23+答案:(1)22(2)x235.(10分)(2020·柳州模拟)设椭圆x2a2+y23=1(a>3)的右焦点为F,右顶点为A,已知1|OF|+1|(1)求椭圆的方程.(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.【解析】(1)设F(c,0),由1|OF|+1即1c+1a=可得a2c2=3c2,又a2c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4,所以椭圆的方程为x24+(2)设B(xB,yB),直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x2),由方程组x24+y23=1,y解得x=2或x=8k由题意得xB=8k2-64设H(0,yH),由(1)知F(1,0),有=(1,yH),=9-4由BF⊥HF,得·=0,所以4k2-94k2因此直线MH的方程为y=1kx+9设M(xM,yM),由方程组y消去y,得xM=20k在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(xM2)2+yM2=xM2+即20k2+912(所以直线l的斜率为64或66.(10分)已知椭圆C:x2a2+y2b2(1)求椭圆C的标准方程.(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,若kOM·kON=54,求原点O到直线l的距离的取值范围【解析】(1)由题意知2b=2,所以b=1.因为e=ca=32,a2=b2+c所以椭圆C的标准方程为x24+y(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程,得y=kx+m,x24+y2=1,消去y,得(4k2化简得m2<4k2+1①,x1+x2=8km4k2+1,x1y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.若kOM·kON=54