七年级数学上册专题3.20 实际问题与一元一次方程（二）（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）

/专题3.20实际问题与一元一次方程（二）（知识讲解）【学习目标】熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；熟悉日历、利润、方案选择、数字问题及几何问题的解题思路．【要点梳理】【知识点一】用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．特别说明：“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；“解”就是解方程，求出未知数的值；“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．【知识点二】常见列方程解应用题的几种类型【类型1】和、差、倍、分问题此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。审题时要抓住关键词,确定标准量与比校量,并注意每个词的细微差别。【类型2】等积变形问题。此类问题的关键在“等积”上,是等量关系的所在,必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为:①形状面积变了,周长没变;②原料体积=成品体积。【类型3】调配问题,从调配后的数量关系中找等量关系,常见是“和、差、倍、分”关系,要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化,常见题型有:①既有调入又有调出:②只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;③只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。【类型4】行程问题要掌握行程中的基本关系:路程=速度×时间。相遇问题:相向而行：等量关系：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题同向而行：等量关系：甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程【类型5】工程问题基本数量关系:工作总量=工作效率×工作时间;合做的效率=各单独做的效率的和。当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”,分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。【类型6】利润问题标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)实际售价＝标价×打折率利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．【类型7】存贷款问题（1）利息=本金×利率×期数（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)（3）实得利息=利息-利息税（4）利息税=利息×利息税率（5）年利率＝月利率×12（6）月利率＝年利率×【类型8】数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a【类型9】方案问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．【典型例题】【类型一】日历问题 1．2022年是共青团建团100周年．1922年5月5日，中国社会主义青年团第一次全国代表大会在广州召开，标志中国青年团组织的正式成立．从此，青年团作为中国共产党的助手和后备军，在党的领导下团结带领全国各族青年，积极投身到振兴中华，实现中华民族伟大复兴的事业中．在5月日历表上随意用一个正方形方框圈出4个数（如图所示），若圈出的这四个数的和是64，求这个最小数（请用方程知识解答）．【答案】这个最小数是12【分析】设这个最小数为x，则四个数分别为x，x+1，x+7，x+8，根据圈出的这四个数的和是64，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．解：设这个最小的数是.根据题意，得.解，得.答：这个最小数是12.【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．举一反三：【变式1】把正整数1，2，3，4，…，排列成如图1所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、第3行……，从左到右分别称为第1列、第2列、第3列……．用如图2所示的方框在图1中框住16个数，把其中没有被阴影覆盖的四个数分别记为a，b，c，d．设a＝x．

(1)在图1中，数2022排在第几行第几列？若，求出d所表示的数；将图1中的奇数都改为原数的相反数，偶数不变，此时的值能否为2700？如果能，请求出a所表示的数，并求出a在图1中排在第几行第几列；如果不能，请说明理由．【答案】(1)第225行第6列；(2)80；(3)所表示的数为660，在图1中排在第74行第3列．【分析】（1）每一行有9个数，则2022÷9＝224……6，则可判断2022的位置；（2）分别用含x的式子表示出b，c，d，再由所给的等式可求出x的值，即可确定d的值；（3）不难看出奇数行第1个数为负，偶数行第1个数为正，分两种情况进行讨论：①a为奇数；②a为偶数，从而可求得相应的a值，再进行判断即可．（1）因为余6所以在图1中，数2022排在第225行第6列．（2）设，则，，因为所以解得所以即所表示的数为80.假设的值为2700由题意可知，，同号，，同号则，为正数，，为负数设，则，，所以解得因为余3所以660在图1中排在第74行第3列答：所表示的数为660，在图1中排在第74行第3列.【点拨】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是理解清楚题意，得到a，b，c，d之间的关系．【变式2】如图，将1，2，3，…，40这40个数按照下表进行排列，现用一个Z字框（图中阴影部分）框住表中的4个数，移动该框，设框中最小的数为．(1)请用含的代数式表示框中4个数的和．(2)框中4个数的和可能是132吗？若能，请求出最小的数．【答案】(1)4x+24(2)能，最小的数为27【分析】（1）若框中最小的一个数为x，则其它四个数分别是x+1、x+11、x+12．然后求和即可；（2）根据所给的数的和列方程计算，如果结果不是整数，则应舍去．(1)解：设框中最小的数为x，则x+x+1+x+11+x+12=4x+24；∴框中4个数的和为x+24．(2)解：根据题意，得4x+24=132．解得x=27．观察表格中的数据知，x=27符合题意．答：能，最小的数是27．【点拨】此题考查了一元一次方程的应用，列代数式和数字的变化规律，关键是根据所给的数的和列方程计算解答．【类型二】销售与利润问题2．小强（递上10元钱）：爷爷，我买一枝钢笔和一个笔记本．售货员（爷爷）：今天是“六一”儿童节，钢笔九折优惠，笔记本按标价卖给你，但如果你钢笔和笔记本都买，钱可不够了．小军：小强，钢笔的标价是笔记本的3倍．我借给你1.1元钱，就可以买这两样东西了．请你根据上述对话内容，算出钢笔和笔记本的标价．【答案】钢笔标价为9元，笔记本标价为3元【分析】设笔记本的标价为x元，则钢笔的标价为3x元，根据花费的总钱数为（10＋1.1）元列出方程即可．解：设笔记本的标价为x元，则钢笔的标价为3x元x＋0.93x＝10＋1.1解得：x＝3故钢笔的标价为：33＝9（元）答：钢笔标价为9元，笔记本标价为3元．【点拨】本题考查一元一次方程，设出恰当的未知数，准确抓住等量关系列出方程是解题的关键．举一反三：【变式1】2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩一开售，就深受大家的喜欢．某商店销售冰墩墩周边，每件冰墩墩周边进价60元，在销售过程中发现，当销售价为100元时，每天可售出30件，为庆祝冬奥会圆满落幕，该商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件冰墩墩周边降价1元，平均可多售出3件．(1)若每件冰墩墩周边降价5元，商家平均每天能盈利多少元？(2)每件冰墩墩周边降价多少元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元？【答案】(1)商家平均每天能盈利1575元(2)每件冰墩墩周边降价20元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元【分析】（1）利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润=每天的利润每天的销售量，即可求出结论；（2）设每件冰墩墩周边降价x元，则每件的销售利润为(100-60-x)元，每天的销售为(30+3x)件，利用商家每天销售冰墩墩周边获得的利润=每件的利润每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．解：（1）(100-60-5)(30+35)=3545=1575(元)；答：商家平均每天能盈利1575元．（2）设每件冰墩墩周边降价x元，则每件的销售利润为(100-60-x)元，每天的销售为(30+3x)件，依据题意得(100-60-x)(30+3x)=1800，整理得，解得，为能让利于顾客，取x=20．答：每件冰墩墩周边降价20元时，能让利于顾客并且让商家平均每天能盈利1800元．【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用（销售与盈亏），解决此题的关键是读懂题意并列出正确的式子．【变式2】小明去买纸杯蛋糕，售货员阿姨说：“一个纸杯蛋糕12元，如果你明天来多买一个，可以参加打九折活动，总费用比今天便宜24元．”问：小明今天计划买多少个纸杯蛋糕？若设小明今天计划买x个纸杯蛋糕，请你根据题意把表格补充完整，并列方程解答．单价数量总价今天12x明天【答案】12x、12×0.9、x+1、12×0.9（x+1）（表格填法不唯一），29个【分析】小明今天买蛋糕的单价是12元，数量为x个，则总价为12x元．明天比今天多买一个，可参与打九折活动，所以明天的单价是（12×0.9）元，数量为（x+1）个，总价为12×0.9（x+1），完成表格即可．然后根据题意列方程求出x的值即可．解：表格填写如下;单价数量总价今天12x12x明天12×0.9x+112×0.9(x+1)根据题意列方程得12×0.9（x+1）=12x-24，解得x=29．答：小明计划今天买29个纸杯蛋糕．【点拨】本题主要考查了列代数式和列一元一次方程解应用题，找等量关系列出正确的方程是解题的关键．【类型三】方案选择问题3、公园门票价格规定如下表：购票张数1-50张51-100张100张以上每张票的价格13元11元9元某校七年级一、二两个班共104人去游公园，其中二班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问：(1)两班各有多少学生？(2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？(3)如果七年级二班单独组织去游公园，班长作为组织者将如何购票才最省钱？【答案】(1)一班有56人，二班有48人(2)304元(3)购51张票【分析】（1）设二班有x人，则一班有(104−x)人，且，从而有13x+11（104-x）=1240，再解方程可得答案；（2）由题意可得购买104张票时，每张票的价格为9元一张，列式计算即可得到答案；（3）由于购买51张票时只要11元一张，从而可得购买51张票比购买48张票更省钱，从而可得答案．（1）解：设二班有x人，则一班有人，且，因此，一班人数大于50人，且小于100人．依题意，得解方程，得．答：一班有56人，二班有48人；（2），．答：两班合起来购团体票可省304元；（3）若按二班人数购票，需元，若购51张票，需元，可见，二班购51张票时，用钱最少，因此，组织者应购51张票最省线．【点拨】本题考查的是最优化设计问题，一元一次方程的应用，掌握利用一元一次方程解决分段费用问题是解题的关键．举一反三：【变式1】有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元．若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设计进货方案．【答案】进货方案为：甲种40台，乙种20台或甲种56台，丙种4台．【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即“购进其中两种不同型号的电视机共60台”和“两种不同型号的电视机共用去7万元”，根据这两个等量关系可列出方程求解即可．解：设购买甲种电视机x台，乙种y台，丙种z台，当购买甲、乙两种电视机时：由题意得：1100x＋1300（60−x）＝70000，解得x＝40，y＝60−40＝20；当购买乙、丙两种电视机时：由题意得：1300y＋2100（60−y）＝70000，解得y＝70，z＝−10，（舍去）；当购买甲、丙两种电视机时：由题意得：1100x＋2100（60−x）＝70000，解得x＝56，z＝4．答：进货方案为：甲种40台，乙种20台或甲种56台，丙种4台．【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，培养学生的分类讨论思想和对于实际问题中方程解的取舍情况．弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键．【变式2】小韩和同学们在一家快餐店吃饭，下表为快餐店的菜单：种类配餐价格（元）优惠活动A餐1份盖饭20消费满150元，减24元消费满300元，减48元……B餐1份盖饭＋1杯饮料28C餐1份盖饭＋1杯饮料＋1份小菜32小韩记录大家的点餐种类，并根据菜单一次点好，已知他们所点的餐共有11份盖饭，杯饮料和5份小菜．(1)他们共点了______份B餐；（用含x的式子表示）(2)若他们套餐共买6杯饮料，求实际花费多少元；(3)若他们点餐优惠后一共花费了256元，请通过计算分析他们点的套餐是如何搭配的．【答案】(1)(2)264元(3)A套餐6份，套餐5份或套餐3份，套餐3份，套餐5份，见分析【分析】(1)由三种套餐中均包含盖饭且只有C套餐中含小菜，即可得出他们点了(x−5)份B套餐；(2)依题意知：套餐5份，套餐1份，A套餐5份，据此即可解答；(3)依题意知：套餐5份，套餐份，A套餐份，再分两种情况，列方程即可分别求得．（1）解：因为三种套餐中均包含盖饭且只有C套餐中含小菜，有5份小菜，所以共点了5份C套餐，因为只有B和C套餐中有饮料，一共点了x杯饮料，C套餐有5份，所以他们点了(x−5)份B套餐．故答案为：(x−5)；（2）解：依题意：套餐5份，套餐1份，A套餐5份，所以(元)，因为满150元，减24元，所以实际花费为：(元)；（3）解：因为只有套餐含小菜，所以依题意套餐点了5份；因为有份饮料，所以套餐共份，因为共11份盖饭，所以A套餐份．当满150优惠时：，解得：，故A套餐6份，套餐5份；当满300优惠时：，解得：，故A套餐3份，套餐3份，套餐5份．综上，他们点的套餐是A套餐6份，套餐5份或A套餐3份，套餐3份，套餐5份．【点拨】本题考查了应用类问题，列代数式，一元一次方程的实际应用，根据各数量之间的关系，正确列出一共的花费及方程是解题的关键．【类型四】数字问题4、将化为分数形式，由于=0.7777…，设x＝0.7777…①则10x＝7.777…②②﹣①得9x＝7，解得x，于是得．同理可得，=7+=7．根据以上阅读，回答下列问题：（以下计算结果均用最简分数表示）基础训练（1）_______，_______；（2）将化为分数形式，写出推导过程．迁移应用（3）0.5_______；（注：0.50.153153…）探索发现（4）若已知0.1428，则2.8571_______．【答案】（1），；（2），过程见分析；（3）；（4）【分析】（1）根据题设推导的结果可知，得到；根据，得到；（2）将化为0．646464…，设x＝0．646464…，推出100x＝64．6464…，得到99x＝64，x，即得；（3）类比以上两个小问推导的结果得到，得到；（4）把0．1428两边乘以1000，得到714．85711000，把整数部分移项得到0．85711000﹣714，两边加2得到2．85712．解：（1）0．，故答案为：，；（2）将化为分数形式，由于=0．646464…，设x＝0．646464…①，则100x＝64．6464…②，②﹣①得99x＝64，解得x，于是得；（3）类比（1）（2）的方法可得，，故答案为：；（4）∵0．1428，∴714．85711000，∴0．85711000﹣714，∴2．85712，故答案为：．【点拨】本题主要考查了循环小数化成分数，解决问题的关键是熟练掌握循环小数的性质和结构特征和方程知识．举一反三：【变式1】用方程解答：x的3倍与1之和的二分之一等于x的四倍与1之差的三分之一，求x．【答案】【分析】首先列出一元一次方程，然后去分母，去括号，移项、合并同类项即可求解．解：由题意可得：，解得：x=-5．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系，列出方程是关键．【变式2】一个两位数，十位上的数字是3，把个位上的数字与十位上的数字对调，得到的新数比原数小18，求这个两位数．【答案】这个两位数是31【分析】设这个两位数个位上的数字为x，根据得到的新数比原数小18列方程求解即可解：设这个两位数个位上的数字为x，根据题意，得解方程，得答：这个两位数是31．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用-数字问题，考查了十位上的数字×10+个位数字的运用，解答时根据原数与新数的数量关系建立方程式是关键．【类型五】几何问题5、如图，中，，cm，cm，cm，若动点P从点C开始沿的路径运动，回到点C结束，且速度为每秒3cm，设运动的时间为t秒．试求：当t为何值时，CP把的周长分成相等的两部分？当t为何值时，CP把的面积分成相等的两部分？当t为何值时，的面积为18cm2？【答案】(1)4；(2)；(3)或．【分析】（1）用t表示出点P的路程，让路程等于三角形周长的一半，列方程计算即可；（2）当点P运动到AB中点时，CP平分三角形面积，根据路程列方程即可；（3）当点P在AC上时，△BCP的面积就等于，然后列和t有关的方程即可，当点P在AB上时，过C作AB的垂线，此时△ACB和△BCP高相同，即面积之比就等于底边之比，进而列和t有关的方程即可．解：（1）∵CP平分△ABC的周长，∴点C在AB上，∴AC+AP=△ABC的周长的一半，∴，解得；（2）∵CP平分△ABC的面积，∴点C在AB上且为AB的中点，∴，解得；（3）当点P在AC上时，,∴，解得；点P在AB上时，可过点C向AB作垂线，此时△ACB和△BCP高相同，∴面积之比就等于底边之比，即∴解得；综上所述，当或时，的面积为18cm2．【点拨】本题是三角形综合题目，考查了三角形周长和面积的计算等知识；本题综合性强，进行分类讨论是解决问题的关键．举一反三：【变式1】如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E为CD的中点，动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．若点P运动的时间为x秒，则当△APE的面积为5cm2时，x的值为__________．【答案】或5【分析】分P在AB上、P在BC上、P在CE上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可．解：①当P在AB上时，∵△APE的面积等于5cm2，∴x•3=5，解得：x=；当P在BC上时，∵△APE的面积等于5cm2，∴S矩形ABCD-S△CPE-S△ADE-S△ABP=5，∴3×4-（3+4-x）×2-×2×3-×4×（x-4）=5，解得：x=5；③当P在CE上时，∵△APE的面积为5cm2，∴（4+3+2-x）×3=5，解得：x=（不合题意舍去），综上所述，x的值为或5，故答案为：或5．【点拨】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键．【变式2】将一个圆分成3个扇形，其圆心角的度数之比为2∶3∶4，分别求这三个扇形的圆心角的度数．【答案】、、【分析】设三个圆心角的度数分别是、、，根据圆周角为360°，列出关于x的方程，解方程即可．解：设三个圆心角的度数分别是、、，根据题意得：，解得：，则，，，∴这三个扇形的圆心角分别是、、．【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据周角的度数是360°列出方程，是解题的关键．【类型六】电费、水费问题6、自来水公司为落实水资源节约活动，每月只给某单位计划内用水300吨，计划内用水每吨收费3.4元，超过计划内部分每吨按4.6元收费．(1)设某单位用水量为吨，用代数式表示：若用水量不超过300吨，该单位每月应缴纳水费元；若用水量超过300吨，该单位每月应缴纳水费元；(2)若某单位12月份缴纳水费1480元，求该单位用水多少吨?【答案】(1)3.4x；（4.6x-360）(2)该单位用水400吨【分析】（1）根据收费标准，找出当x≤300及x＞300两种情况下需付款数额；（2）先求出用水300吨时缴纳的水费，比较后可得出该单位4月份用水超过300吨，再根据（1）的结论可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（1）解：当x≤300时，需付款3.4x元；当x＞300时，需付款300×3.4+4.6（x-300）=（4.6x-360）元．故答案为：3.4x；（4.6x-360）；（2）解：由于3.4×300=1020<1480，所以该单位用水超过300吨．设该单位用水x吨，由题意得4.6x-360=1480，解得x=400，所以，该单位用水400吨．【点拨】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及代数式求值，解题的关键是：（1）根据收费标准找出结论；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．举一反三：【变式1】某市收取水费按以下规定：若每月每户不超过20立方米，则每立方米水价按1.2元收费；若超过20立方米，则超过部分按每立方米2元收费，那么(1)如果某户居民在某月用水x立方米，且x≤20，则所交水费为