矩阵分析在通信中的应用

基于多输入多输出技术（MIMO）信道容量的分析频谱资源的匮乏己经成为实现高速可靠传输通信系统的瓶颈。一方面，是可用的频谱有限;另一方面，是所使用的频谱利用率低下。因此，提高频谱利用率副接收天线进行无线传输的技术的提出很好地解决了这个问题。有巨大的指导意义。但是对信道容量的推导分析是一个很复杂的过程，但是应用以更直观正确的得出重要结论，这些结论的得出没有矩阵的知识是很难实现的。技术的核心是空时信号处理，利用在空间中分布的多个天线将时间域和空间域结合起来进行信号处理，有效地利用了信道的随机衰落和多径传播来成倍的提高传输速率，改善传输质量和提高系统容量，能在不额外增加信号带宽的前提下带来编码(STC,Space-TimeCodes)为典型的空间分集(diversity)和以BLAST(BellLAyeredSpace-Timearchitecture)为典型的空间复用(multiplexing)两个方源以提高频谱利用率的一个必然途径。法并评估系统性能就变得相当重要。其中矩阵知识的应用，极大地简化的问题的分析难度，更加直观的反映出系统的特性。3.1探讨选择模型过去的研究一般局限于用数学模型描述无线信道的时域衰落特征，重点在于建立存在于无线衰落信道中的散射体、折射体和绕射体的统计模型或几何模型，从而用于无线信道衰落分布的预测、估计和测量。针对大尺度衰落现象，研究学者们分别建立了相应的路径损耗模型、基于对数正态分布的阴影衰落模型；针对小尺度衰落现象，已经提出了Rayleigh、Ricean等分布来进行描述。研究中发现，存在于衰落信道中的散射体不仅影响信道衰落的时域特征，而且由于散射体的分布和位置的不同，导致在不同天线上的接收信号之间的空时相关特性，还反映出信道的空时衰落特征。从而基于散射体几何分布的建模方法、参数化统计建模和基于相关特征的建模方法被相继提出，大量的信道测量数据也被公布。人们逐渐发现在实际移动无线衰落信道中，最早用于描述散射体均匀分布的Clarke模型不再有效，围绕无线收发信机的散射体更多地呈现非均匀分布。已有的多数为均匀分布情形。实际上，在蜂窝移动无线通信环境中，存在大量的非均匀来波情形，比如狭窄的街道、地铁和室内情形。这些现象将会导致非均匀来波方向分布，从而影响不同天线上衰落的相关性。此外，在现有的蜂窝无线系统中，由于蜂窝微型化和小区扇形化，基站发送端的天线已由最初的全向辐射转为定向辐射，到达接收端的来波方向一般也呈非均匀分布。这些新特征急迫要求提出新的模型进行分析。中的基于散射体地理特征的建模方法和空时相关统计特性的建模方法又是统计建模中较多采用的两种方法。这两种方法都有各自的优缺点：行合理的假设，并给出收发两端之间的距离、散射体的数目和尺寸以及散射体与增加建模的复杂度，同时，不同的环境下这些参数的值也不尽相同，因此，这种建模方法限制了具体的应用场合。各种环境下的大量的测量值及其分布的数学描述。根据上面的模型对比可发现，采用基于空时相关统计特性的建模方法建立3.2模型的主要参数和数学描述(1)信道的功率与时延的分布、多普勒功率谱等表征信道时域和频域衰落特征的参数。的到达角(AOA)、信号的水平方向角度功率谱(PAS)、角度扩展(AS)等。(3)发射端和接收端天线的数目和天线阵列结构以及天线元之间的间距。在散程度。角度扩展越大，信道的空间相关性就越小，反之则相关性越大。天线的阵列结构是指天线的摆放方式，较普遍的阵列结构就是均匀线性阵列(ULA,UniformLinearArray)，另外还有均匀圆形阵列(UCA,UniformCircularArray)等其它阵列结构。天线元间距是指两个相邻天线元之间的距离，天线间距通常用载波的波长λ进行归一化。天线元间距越小则空间相关性就越大，反之则相关性越小。线阵列(ULA)，假定天线为全向辐射天线。发射端天线阵列上的发射信号记为：s(t)(t),s2(t),sN(t)]T（3.1）转置。同样地，接收端天线阵列上的接收信号可以表示为：(t),y2(t),yM(t)]TLH(t)=Als(t-tl)其中H(t)ÎCM´N，并且a(l)M1éa(l)11Aa(l)21a(l)M1a(l)12a(l)22Ma(l)M1Oa(l)1Na(l)2Nú(l)aMN(l)（3.2）（3.3）为描述收发两端天线阵列在时延tl下的复信道传输系数矩阵，hmnl表示从第S(t)S1(t)S2(t)。..。..。..。..。..。..。..。..。....。..。..。..。......Sn(t)y1(t)y2(t)ym(t)Y(t)天线元个数N散射介质天线元个数M发射信号矢量s(t)和接收信号矢量y(t)之间的关系可以表示为(不包括噪H(t)s(tt)dt（3.4）HT(t)y(tt)dt（3.5）假定在远场区有很少的空间独立的主要反射体，一个主要反射体有一个主要路径，此路径含有大量的引入波，这些波是由接收机和发射机附近的本地散射体的结构引起的，它们相对时延很小，接收机不能分离出来，即为不可分辨径。由于角度扩展不为零，所以将导致空时衰落。由于发射机和接收机附近的则接收端第个可分辨径的角度扩展σp(φpRx)为σp(φpRx)(φplRx)2(φplRx)2式中，φplRx表示第p个可分辨径中的第l个不可分辨径对应的到达角度；L标示不可分辨径的数目。对于发端的角度扩展σp(φpTx)同理可得。设接收天线在发送天线的远场区内，可以假设接收天线的信号是平面波。第r根接收天线Rx的接收信号相对于第1根接收天线的附加时延为Δp,rRx(r-1)dRxsinφpRxp,rc式中，dRx是相邻天线间的距离。对应第r根接收天线的接收信号相对于r接收端均匀线性阵列的传播响应向量可以表示为apeRx「-jΦape同样的可得发送端均匀线性阵列的传播响应向量可以表示为e-jΦe-jΦTxp,mcr考虑到判决时间有限，不是所有信号的到达反射波都能分离开来。假设移动台或散射体发生运动，每一个本地散射体的路径长度发生变化，产生时变复衰落，对于给定速率v，最大频率偏移为fd。第p个可分辨径的第m个发送天线和第r个接收天线之间的空时衰落系数βp,m,r(t)为：Lβp,m,r(t)=Lam(φ)ar(φ)vplej2πfdcos(φ)=vp,m,r(t)ejφp,m,r(t)每一个到达路径经历的衰减为vp,l，假定vp,l是由随机过程产生，且σv=1。)决定。记第p个空间主散射体产生的的时延tp，且一般假设它们之间的独立过程互相独立。不同的传播环境对应不分布。有上述分析可以知道：当本地散射体较少时，由于发射机周围本地散射体的作用，在主反射体和接收机之间的距离相对较大时，接收天线到达角的角度扩展较小，此时接收端仅仅引起时间衰落，而无空间衰落；而当接收天线周围的本地散射体较多时，造成较大的角度扩展，此时接收端产生空时衰落。3.3相关性矩阵MIMO信道中发射端和接收端天线之间的相关的程度就是相关性,相关系数p在数学上定义为：a,b=-Ea,b=(E2)(E(质的不同，可以定义3种不同的相关系数：复数相关系数、包络相关系数和功率复数相关系数rc，此时a=x,b=y：rc=x,y包络相关系数re，此时a=x,b=y：re=x,y功率相关系数rp，此时a=x2,b=y2：rp=x,y限于测量设备等因素，以前对信道相关系数的探讨更多的集中于包络相关系衰落信道，复数相关系数rc定义式和功率相关系数的定义式有如下关系：rp=rc2（3.18）为了保持信道模型的简单性，假设信道的传输系数a(l)mn服从零均值的复高一步作出如下假设：（1）同一多径下传输系数的平均功率相等Pl（2）信道为广义平稳非相关散射信道,不同的多径下(或者不同的时延下)的信道传输系数不相关（3）接收天线衰落的两个系数的相关性与发射天线是哪一个无关；同样，两个发射天线之间的相关性与接收天线是哪一个也没有关系。定义接收端第m1根天线和第m2根天线之间的相关系数为：上式间接地使用了上述的第3个假设，即接收端天线的相关系数与发射端的这个假设就是合理的。因为从这些天线上发射出去的电磁波照射到接收端周围相理，定义发射端第n1根天线和第n2根天线之间的相关系数为：TXaamn1,mn2由（3.21）和式（3.22分别定义接收端和发射端的两个对称相关矩阵RRX和RTX为：X|RXRRX=|RTX=|NNp]|2M|RXRX|pM2MMRXRX|p]TXTX|22…p2N||pN2pNNN但是，仅有发射端的空间相关矩阵和接收端的空间相关矩阵并不能为产生矩阵Hl提供足够的信息。因此，需要确定连接两组不同天线之间的任意两个传输p2n1m1TXRX1根据式（3.26MIMO信道的整体相关矩阵可以表示为发射端相关矩阵与RMIMO=RTX⑧RRX在对信道的空间相关性进行建模时，按照式（3.27）对RTX和RRX作矩阵的Kronecker乘积，得到MIMO信道的整体相关矩阵RMIMO，然后对RMIMO作相应的u=u,k-0,---0,u=u,k-0,---0,得PASu(φ)满足概率分布函数的要求：πPASu-PASu-πN(φ)dφ=Σk=1φ0,∫Qu,kdφ=∫Qu,kdφ=12Qu,kΔφ=1k=1令D=2πdλ,其中，d为天线元之间的间距，λ为载波波长，dλ为天线元之间的归一化间距。可以推出两根全向天线接收到的复基带信号的实部与虚部之间的互相关系函数：π-π-π虚部与虚部之间的互相关函数与上式相同。另一方面，实部与虚部之间的互相关函数定义为：π-π-πNRXX,U(D)=J0(D)+4N2m,2m,)ff]{(fk--ef-(fk同样可以推出其归一化常数QG,k应该满足：QG,kerf(k)=1NRXX,G(D)=J0(D)+QG,kJ2m(D)cos(2mf0,k)eNk=1m=1Reerfk-jm2sG,k-erf-k-jm2sG,k（3.37）和fk)s2G,k)2sG,kerf-jm2sG,k2sG,kerf-jm2sG,kx拉普拉斯分布的PAS谱被认为是与城区和农村地区的信道测量结果吻合得最好的一种分布。其表达式为：k--εkQL,k其归一化条件由下式给出：QL,k[1-expk]QLkJ2m(D),QLkJ2m(D),,σL,kσL,kσ2G,k)))(D))(D),,k=1和σL,k和φ]由表达式，可以定义复数相关系数pc(D)和功率相关系可见一般复数相关系数的性能要优于功率相关系数，因为后者失去了前者的相位信息。4软件计算信道矩阵产生的方法是：按照上一章所描述的方法产生MIMO信道接收和发送端的相关矩阵RRX和RTX，再按照式RMIMO=RTXÄRRX产生的MIMO信道的整体相关矩阵。由RMIMO进行相应的矩阵分解得到一个对称映射矩阵C，C就是MIMO信道的空间相关形成矩阵即：RMIMO=CCT(4.1)如果使用的是复数相关矩阵，则应该对RMIMO作矩阵的平方根分解。再按照仿真单入单出信道的方法产生信道的衰落系数h，即h为经过相应的多普勒功率谱成形后的零均值、单位方差的I.I.D复高斯变量，h反映了MIMO信道的时频衰落特性。vec(Al)=Al=PlCa(4.2)其中，vec(乓)表示把一个M´N的矩阵排成一个1´MN的矢量；LaMN]T即为MIMO信道的衰落系数；Pl为第l个可分图2MIMO信道中相关衰落的产生4.1信道矩阵的matlab计算为了产生带有相关性MIMO信道的信道冲激响应。设置：输入MIMO信道的信道冲激响应矩阵。forl=1:1h4.2信道相关性的matlab计算由模型可以知道通过波束到达角、角度扩展、天线之间的间隔和天线个数，波和离去波的到达角的均值。d天线间隔与波长的比，假设天线是均匀阵列。M端或接收端任意两个天线之间的相关系数矩阵。通过对模型进行仿真的设计思路、方法和仿真处理的流程，可以对该信道模型进行了相应的计算机仿真，得出了信道矩阵和和信道的相关相矩阵，并对这些结果进行了分析。我们选择选择典型的城区环境，天线结构为均匀线性阵列，发的类型为拉普拉斯分布。当接收端和发送端的天线间距分别为5λ和0.5λ,角度|||||L1.00000.42290.06220.22100.42291.00000.42290.42291.00000.4229信道的空间相关矩阵为：维持其它的参数不变，改变信道的参数可以看到各参数对MIMO信道特性的影响，将发射和接收端的天线间距分别变为6λ和1.5λ,从仿真得到的矩阵中发送端的相关矩阵为：0.1679接收端的相关矩阵为：信道的空间相关矩阵为信道的空间相关矩阵为0.06221.00000.06220.03260.03260.06221.00000.0622|||0.06220.01040.01040.0622|||0.00550.03260.06220.01041.00000.16790.06220.01040.01040.06221.00000.01040.06220.03260.00550.06220.01041.00000.00550.03260.01040.06220.00170.00030.03260.00550.06220.0104下面的矩阵是其它参数不变，角度扩展变为40度时的信道的相关性矩阵，将这几个矩阵与本节中最前面的矩阵比较，可以看到：相关系数随着角度扩展的增大而下降。发送端的相关矩阵为：0.0290接收端的相关矩阵为：|L1.00000.25240.00700.25241.00000.25240.25241.00000.2524信道的空间相关矩阵为：|0.02900.25240.00730.00360.00700.00020.02901.00000.00730.25240.00360.00020.00700.25240.00731.00000.02900.25240.00730.12430.00360.00730.25240.02901.00000.00730.25240.00360.00360.25240.00731.00000.02900.25240.00730.00360.00730.25240.02901.00000.00730.25240.00700.00020.00360.25240.00731.00000.0290图3直观地反映了角度扩展和天线间的距离对相关性的影响：110