第五章二元一次方程组

-PAGE1-第五章二元一次方程组3.应用二元一次方程组—鸡兔同笼授课人雷超一、学情分析：学生已了解二元一次方程组的基本概念，并能熟练解二元一次方程组，也能逐渐地审清题意，能从具体问题的数量关系中找出等量关系并列出二元一次方程组；基本能够运用方程的思想解决实际问题。初二学生已具备了初步的抽象、概括和分析问题解决问题能力，要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志.鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的看法，以从中获得成功的体验，激发学习激情.教学任务分析：1.能在简单问题中准确找出等量关系。（重点）2.掌握用方程组解决实际问题的一般步骤，发展数学模型思想和应用意识。3.体会从算术到代数，再从代数回到算术的一致性和统一性，充分体会数学的统一美和简洁美。4.通过“鸡兔同笼”，体会数学知识与生活的联系，感受数学的实际价值和人文精神.三、教学重点找出等量关系并根据等量关系列二元一次方程组解应用题四、教学难点1.读懂古算题；2.根据题意找出等量关系，列出方程（方程组）.五、教学过程设计本节课设计了五个教学环节：第一环节：引入课题；第二环节：典型例题；第三环节：课堂练习，第四环节：课堂小结、感悟和收获；第五环节：作业布置.第一环节：引入课题活动内容1：介绍孙子算经，并引出估算问题鸡兔同笼例1.今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？提问：（1）“上有三十五头”的意思是什么？“下有九十四足”呢？（2）问题当中都有哪些等量关系呢？（3）你能解决这个有趣的问题吗？（说明：多媒体展示“鸡兔同笼”问题后，说明该问题是古代著名的“难题”，以此激发学生解决问题的好奇心；提出问题，让学生先思考，后讨论，然后找学生说出他的解题思路,写出三种不同的解题方法，给出正确的答案.）1.用算术方法求解假如鸡与兔子都先抬起一只脚，再抬一只脚还剩下94－35－35=24只脚,这时候鸡的屁股坐在地上,地上只有兔子的脚,而且每只兔子有两只脚在地上,所以有24÷2=12只兔子,鸡的只数为35－12=23（只）。(94-35-35)÷2=12(九章算术经典解法)小结：算术方法优点：计算简单；不足：思维复杂。2.一元一次方程求解解：设有鸡x只，则有兔（35-x）只,得解得：∴所以有鸡23只，兔12只.小结：一元一次方程解法优点：思维便捷些；不足：计算较复杂.3.用二元一次方程求解：解：设有鸡x只，兔y只，则由①得：y=35-x,代入②，得：2x+4(35-x)=94①①解得：x=23把x=23代入①，得y=12.答：有鸡23只，有兔12只.（指出：实际上代入消元法本质上和一元一次方程的解题思路是相通的）对于二元一次方程组我们也可以采取加减消元法求解小结：用二元一次方程组解答优点：思维快速简单；不足：计算复杂些.讨论：求解方程组的三种加减消元法对应的算术思想方法是什么呢？（学生在老师的引领下，通过交流合作，探索思考，体会从算术到代数，再从代数回到算术的一致性和统一性，充分体会数学的统一美和简洁美）对于二元一次方程组的加减消元法解法：（1）→4y-2y=24→24÷2=12→(94-35×2)÷2=12(兔)（鸡兔同时抬起两只腿，剩下的是兔的腿的条数，再除以2得到鸡的只数）（2）→2y-y=12→(94÷2)-35=12(兔)（假设鸡兔同时抬起一半的腿的条数，鸡兔剩下的腿的条数是鸡1兔2，再减去鸡兔的只数也就是鸡1兔1，剩下的是兔的只数）（3）→4x-2x=46→46÷2=23→(4×35-94)÷2=23(鸡)（假设鸡兔都有四只腿，用腿的总数减去实有的腿的条数，再除以2，得到鸡的只数）设计目的：体会解决鸡兔同笼问题的不同思维过程，通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点，从而感受方程模型思想的必要性和优越性，与此同时，体会从算术到代数，再从代数回到算术的一致性和统一性，充分体会数学的统一美和简洁美。活动内容2：随堂练习1列方程解古算题："今有牛五、羊二，值金十两；有牛二、羊五，值金八两.牛、羊各值金几何？（在引例的基础上，学生已基本掌握了列二元一次方程组解决实际问题的方法，此题可由学生独立完成.当然由于本题是古文，可以先找学生说出题目的大意：5头牛、2只羊共价值10两“金”，2头牛、5只羊共价值8两“金”，每头牛、每只羊各价值多少“金”？解：设每头牛值“金”x两，设每只羊值“金”y两,根据题意：解得所以，每头牛值“金”两，设每只羊值“金”两.（在题的结果上强调只要分数表示即可；要学生板书整个解题过程.）活动意图：让学生通过练习巩固列二元一次方程组解应用题的技能。活动实际效果：学生能用方程的思想简化思维过程，解决同类古算题.第二环节：典型例题活动内容1：例2以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？提问：1.“将绳三折测之，绳多五尺”，什么意思？2."若将绳四折测之，绳多一尺"，又是什么意思？（注：三折即用绳长测量；四折即用绳长测量，为了避免学生在字义上产生歧义，此处辅以幻灯片演示.)5尺1尺（此时把时间留给学生充分讨论，5尺1尺（法一）解：设绳长x尺，井深y尺，则解得：答：绳长48尺，井深11尺.（法二）解：设绳长x尺，井深y尺，则解得：答：绳长48尺，井深11尺.特别指出：①、两种方程→是相通的②、此过程体现算术方法和代数方法的统一性和一致性，充分体会数学的统一美和简洁美。活动内容2：小结列二元一次方程组解应用题的步骤根据上面几例，总结列二元一次方程组解应用题的步骤：（1）审题；（2）设两个未知数，找两个等量关系；（3）根据等量关系列方程，联立方程组；（4）解方程组；（5）检验并作答并指出：列二元一次方程组解决实际问题的关键是，找出等量关系列方程.活动意图：此例用于巩固例一中用列二元一次方程组解应用题的思想以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤.学生在列方程组的建模过程中，一方面强化了方程的模型思想和其优于算术方法的地方即简化了思维过程，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能.活动内容3：随堂练习2用一根绳子环绕一棵大树.若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺.这根绳子有多长？环绕大树一周需要多少尺？设计目的：熟练有关“以绳测井”类似应用题的求解.让学生熟练掌握列方程组解应用题的步骤.第三环节：课堂小结1．通过前面几个问题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握的怎样？2．这里面应该注意的是什么？关键是什么？3．通过今天的学习，你能不能解决求两个量的问题？（可以用二元一次方程组解决的。4．列二元一次方程组解决实际问题的主要步骤是什么？5.谈谈你通过这节课的收获：①经历从数到式，从算术到方程的体验与比较，认识学习方程模型解决应用问题的必要性；②体验积极合作交流的重要性；③了解数学对于我国甚至世界古代文明做出的重要贡献。说明：通过以上五个问题，学生基本上掌握了列二元一次方程组解决实际问题的方法和步骤，可启发学生说出自己的心得体会及疑问，与此同时，进一步认识算术方法和代数方法中体现的数学的统一美和简洁美。活动意图：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化.说明：还可以建议有条件的学生去读一读《孙子算经》，可以在网上查，找出自己喜欢的问题，以此激发学生的学习兴趣和信心。第四环节：布置作业1、今年是我国建国七十周年，我校组织七八年级共900名师生奔赴绵阳市”两弹一星”爱国主义教育基地参观，旅游公司提供了两种租车方案：①大客16辆小客9辆②大客12辆小客18辆，程老师通过计算，发现这两种租车方案提供的座位都刚好够，请问大小客车的载客量各是多少？2、《算法统宗》中记载了一个问题，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚一人分3个，小和尚三人吃一个。大小和尚各多少人？3.《九章算术》中记载了一个问题,大意是：有几个人一起去买一件物品,每人出8元；多3元；每人出7元,少4元,问有多少人?该物品价值多少元?4.8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?（单位cm）6060四、教学设计说明与反思1、设计理念教师是学生学习的组织者、引导者、合作者，在本节的备课和教学过程中，教师要为学生的动脑思考，自主探索与合作交流提供机会，搭建平台；尊重每一位学生，鼓励每一位学生完成对自己的超越，尊重学生的个人感受和独特见解；帮助学生发现他们所学东西的个人意义和社会价值；通过恰当的教学方式引导学生学会自我调适，自我选择；学生是学习的主人，在教师指导下主动的、富有个性的学习，用自己的大脑去亲自探索。教学是师生交往、积极互动、共同发展的过程.当学生迷路的时候，教师应当引导他怎样去辨明方向；引导学生去完成思维的体操.2、突出重点、突破难点的策略二元一次方程组是初二数学的重点，而“鸡兔同笼”是中国古代《孙子算经》中的一个有趣的问题.通过古代的“鸡兔同笼”问题，进行列二元一次方程组解决实际问题的训练，这样，一方面在列方程组的建模过程中，强化了方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能。在教学进程中，由算术方法到一元一次方程再到二元一次方程组，遵照了学生的思维梯度逐步建立起学生的用二元一次方程组解应用题的思想，充分感受它的优点和思维的简化；教学中，还应根据学生的生活实际和认知实际，选择更贴近学生实际的素材进行教学，更多地关注学生的建模过程，在具体的古算问题理解过程中充分借助多媒体展示和实物演示形象化题目的概念.3、评价方式（1）通过课堂观察，关注学生在探讨思考讨论等活动中的主动参与程度与合作交流意识，及时