过点P12的直线与轴的正半轴y轴的正半轴分别交于AB两点当

1一题多解、变式与引申一般高中数学课程标准指出:提倡乐观主动,勇于探究的学习方式,设立数学探究等学习活动,为学生形成乐观主动的,多样的学习方式进一步制造有利的条件,让学生体验数学觉察和制造的历程,进展他们的创意识与力量.增加学申应成为数学探究教学的重要渠道.例题：过点P〔1，2〕的直线与xyA，BAOBl1、探究问题的不同解法分析：从问题入手，先回忆直线方程的几种形式，每种形式分别在何种条件下使用，同时提示学生留意要易于将△AOB思路1：突出条件直线过点〔，1：设直线l的斜率为k，由条件知k存在且k＜0，因此l的方程为：y－2＝k(x－1)令x＝0，得y＝2－k，令y＝0，得x＝12k则A1－2，B02〕k∴S＝1︱OA︱︱OB︱＝1︱12︱︱2－k︱△AOB 2 2 k＝1︱(1－2)(2－k〕︱2 k＝1︱－k＋4 ＋4︱2 k(k)4(k)4k2

＋4︱＝4

4 即＝2时，取“＝k∴△AOB4，此时直线l的方程为y－2＝－2(x－1)＋1〔一〕是否满足。当获得问题的一种解法后，不要为一假设对题中的条件从不同的角度进展思考，又可得以下两种思路。2：x，yA、Bxy

a b的解法。解法2：设点A，B0b，xa

y1，由条件知，a＞1，b＞2b由于点P〔1，2〕121由根本不等式，得1

12≥2a b

a b2abab2ab

＝1ab≥412a＝2，b＝4“＝”.△AOB 2 a b因此，△AOB4，此时直线lx2

y1，4＋3：212a b

1，从而a

bb2∴S＝1ab＝1 b2

1(b2)24(b2)4△AOB 2

2 b2 2 b2＝1[(b2)2

4 4]b2(b2)4∵b＞2∴b－2＞0，(b2)4b2 b2∴S≥1〔4＋4〕＝4△AOB 2当且仅当b－2＝4 ，即b＝4时，取“＝”.此时a＝2b2因此，△AOB4，此时lx2

y12x＋y－4＝042a b

1，1sin22

cos2，则a

1 ，b 2a b sin2 cos21 2 ＝ 1△AOB 2

2 sin2 cos2 sin2cos2＝ 4 ＝ 4(2sincos)2 ∵sin22≤1，∴ 4

≥4，即S≥4，当且仅当sin2＝±1

k

kZ时，取“＝”.此时a＝2，b＝42 4故△AOB4，此时直线lxy12x＋y－4＝02 4思路3：可以以角为变量，用角将所要用的量表示出来，转化为三角问题。解1,自点P作PN⊥y＝θ〔＝BPθ为锐角，则BNtanθ,A＝2coθ,易得，S＝S△AOB

＋SOMPN

＋S△PAM

△BPN＝2＋1×2×2cotθ＋1×1×tanθ2 22cot1tan2＝2＋2cotθ＋2cot1tan22yBNP(1,2)θMAx1当且仅当2cotθ＝1taθ，即taθyBNP(1,2)θMAx12k＝tan(π－θ)＝－2，可得直线方程为y－2＝－2(x－12x＋y－4＝0评注：2，3，423用的是变量代换的方法，将面积表达式中两个变量转化为只含有一个变量，这45变量的方法技巧性强，解决某些问题比较便利，但其适用范围小，用设斜率或截距的方法才是解决这一类问题的通法。从不同的角度打量该题并进展一题多解，可以培育学生思维的宽阔性。2、探究变式变换条件解题后，不能仅仅停留在外表上，要对问题开放广泛的思考与争论，尽可能地从条件与结论的变换中得出更多的相关问题。1:的直线l与x两点，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求直线l的方程。问2:的直线l与x两点，当︱PA︱与︱PB︱之积最小时，求直线l的方程。3:的直线l与x两点，当︱PA︱与︱PB︱之和最小时，求直线l的方程。以上三题都可以用与例题类似的某些方法解决,此处从略.4:假设将条件“lxyA，B为“l与xyA，B分析:画出草图可知直线l并不是与坐标轴在每个象限都可以围成三角形的,只在第一,二,四象限能围成三角形,所围成的△AOB并不是每种状况下都有最小值.画图并结合例题的求解过程可知:在其次四象限所围成的三角形面积可4.。解答过程略评注:对例题的条件与结论进展转变,有助于培育学生的探究力量与创意识,有利于学生发散性思维的培育.课程理念下的高中数学教学应当加强例习题的变式教学.构建开放性问题5:直线l过点P(1,2)且与xA，BAOB4,则这样的直线有多少条?yBP(1,2)OAx2yP(1,2)OAxyBP(1,2)OAx2yP(1,2)OAxByBP(1,2)AOx6:5435,状况又如何呢?由对问题53各有一个,即直线有两条;面积为5时,满足条件的三角形在第一象限有两个,其次,四象限各有一个,即直线共有四条.3、引申出一般性结论yDyDOCAxP象限内所截得的线段的中点是12，恰好是点P，也就是ABPAOB巧合吗？有局部学生指出：将例题中的点P线，观看结果是否也如此即可，教师可指出这只是特例验证的方法，能否用一般性理论证明呢？如右图，直线ABCD都过点P12，且P为线段AB的中点，当D在OB的BE∥xDPE,则△PCA≌△PEB，从而△AOB△DCOCOA〔DOB〕时，△AOB小于△DCO由上述分析可得下面的结论：1：在平面直角坐标系中，过点P〔m，n〕m＞0，n＞0x，y正半轴相交于A，B，当且仅当点P是ABAOB〔O〕的面积2mn，此时的直线方程为x

y11

2m 2n结论2：过角内部肯定点的直线与角的两边相交成三角形，当过定点的直线被角的两边所截得的线段以定点为中点时，所成三角形面积最小。本结论的证明见文[4]评注:上述引申,引导学生多角度思考,由特别猜测一般性结论,拓宽了思维的渠道,体验了数学觉察和制造的历程,有助于激发学生学习数