2022-2023学年江苏省徐州市高一下学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省徐州市高一下学期期中数学试题一、单选题1．若复数，则实数（

）A．2 B．3 C．0 D．1【答案】A【分析】根据复数相等可得出关于实数的方程组，即可解得实数的值.【详解】因为复数，则有，解得，故选：A.2．已知向量，，若，则实数（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.【详解】若，则，解得.故选：C.3．某科研单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为24的样本，则应抽取的老年人人数为（

）A．6 B．10 C．8 D．4【答案】D【分析】首先确定抽样比，再用抽样比乘以样本容量即可得到应抽取的老年人人数.【详解】首先确定抽样比，则抽取一个容量为24的样本，应抽取的老年人人数为，故选：D.4．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据两角和的正切公式计算直接得出结果.【详解】由，得，解得.故选：B5．已知向量，，若与垂直，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量的坐标运算求解.【详解】因为与垂直，则，解得，即，可得，则，所以与夹角的余弦值.故选：C.6．已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将条件中两式平方相加后整理即可得答案.【详解】，，两式相加得，.故选：D.7．已知，，分别表示中角，，所对边的长，若，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形的面积求出，利用余弦定理求出，然后求出进而得出的值．【详解】因为，所以，所以，由余弦定理可知：，所以，，所以由正弦定理得．故选：．8．已知正方形的边长为，为正方形内部（不含边界）的动点，且满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别取线段、的中点、，连接、，利用平面向量数量积的运算性质可得，求出的取值范围，可得出的取值范围.【详解】分别取线段、的中点、，连接、，则，所以，，所以，点在以线段为直径的半圆弧上，如下图所示：当点为线段与半圆弧的交点时，取最小值，结合图形可知，，故，同理可得，故选：B.二、多选题9．对一组数据，如果将它们改变为，其中，则下面结论中正确的是（

）A．均值变了B．方差不变C．均值与方差均不变D．均值与方差均变了【答案】AB【分析】根据均值、方差的性质分析判断.【详解】设数据的均值为，方差，则数据的均值为，方差，且，故均值改变，方差不变，故A、B正确，C、D错误.故选：AB.10．已知复数，则下列说法正确的是（

）A． B．的虚部为C．的共轭复数为 D．在复平面内对应的点在第一象限【答案】ACD【分析】根据复数的概念、模、共轭复数定义、几何意义判断各选项．【详解】由题意知，复数，所以，虚部为2，的共轭复数为，在复平面内对应的点在第一象限，故选：ACD.11．下列各式中，值为1的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】逆用差角的正切计算判断A；切化弦并降幂扩角计算判断B；凑特殊角并结合差角的余弦计算判断C；切化弦并利用辅助角公式、二倍角公式计算判断D作答.【详解】对于A，，A是；对于B，，B是；对于C，，C不是；对于D，，D是.故选：ABD12．已知，，分别表示中角，，所对边的长，则下列命题中正确的是（

）A．在中，的充要条件是B．在中，若，则必是等腰直角三角形C．在锐角中，不等式恒成立D．在中，若，，则必是等边三角形【答案】ACD【分析】根据正余弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可由选项逐一求解.【详解】对于A，由正弦定理得，故A正确；对于B，由得,所以或因此或，故为等腰三角形或者直角三角形，故B错误；对于C，因为锐角三角形，故,故，，故，故C正确；对于D，，即，结合得，故，又，故，故D正确．故选：ACD．三、填空题13．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：8，9，9，10，10，11，12，12，12，12，13，14，15，17，17.则这组数据的90百分位数是.【答案】17【分析】利用百分位数的求法即可.【详解】因为，所以90百分位数是第14个数据为17.故答案为：17.14．已知，与的夹角为120°，则在方向上的投影向量的模为.【答案】2【分析】由投影模长公式，代入数据即可求得在方向上的投影向量的模.【详解】在方向上的投影向量的模，故答案为：2.15．若，且，，则.【答案】【分析】由题意求出的范围，，的值，而，由两角差的余弦公式代入即可得出答案.【详解】因为，所以，，所以，所以，所以，，所以，因为，，则，，，所以所以，所以.故答案为：.16．在锐角中，，，分别表示角所对边的长，，且，则的取值范围是.【答案】【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得，利用正弦定理边化角结合三角恒等变换整理，结合三角函数求取值范围.【详解】因为，，由于，即，整理得，又因为，则，可得，即，且，可得，因为为锐角三角形，则，解得，由正弦定理可得，即，可得，因为，则，可得，所以，故的取值范围是.故答案为：.四、解答题17．已知复数，复数，(1)若，求实数的值；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据复数的加法结合复数的相关概念运算求解；（2）根据复数的乘法运算求解.【详解】（1）由已知，则，解得，（2）当时，.18．在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下样本数据的频率直方图.

(1)求的值；(2)试估计年龄在区间内的某种疾病患者的人数；(3)试估计该地区某种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.【答案】(1)(2)12(3)47.9【分析】（1）由概率之和为1即每个小长方形的面积之和为1可求得；（2）首先计算的小长方形的面积即概率，即可求得年龄在区间内的某种疾病患者的人数；（3）由平均值等于组中值乘以小长方形的面积之和即可求得平均年龄.【详解】（1）由，得.（2）从而估计年龄在区间内的某种疾病患者的人数为12人（3）设平均年龄为，则由频率直方图可得：从而估计本地区某种疾病患者的平均年龄为47.9岁.19．如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设，．(1)用，表示，；(2)如果，，且，求BC．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）利用向量的加减法法则结合图形求解；（2）先求得，由，可得，从而可得，结合已知可得即可.【详解】（1）因为，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，所以，.（2）因为，又因为，所以，所以，由，可得，所以的长为.20．在中，是上的点，平分，面积是面积的2倍.(1)求；(2)若，，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角形面积之间的关系结合正弦定理运算求解；（2）因为，分别在和中使用余弦定理，结合（1）中的，可解得，进而计算出△ABC的面积.【详解】（1）因为平分，则，即，又因为，则，所以，在中，由正弦定理可得.（2）因为，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又因为，所以，由（1）知，则，即，所以，因为，所以，由于，所以.21．已知函数(1)若，求的取值集合；(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合降幂公式以及辅助角公式化简整理后，解方程即可求出结果；（2）对任意的恒成立等价于对任意的恒成立，进而利用二倍角和同角的平方关系化简整理，再结合均值不等式即可求出结果.【详解】（1）因为，若，则，，所以的取值集合为（2）因为对任意的恒成立，所以对任意的恒成立.由，得，因此对任意的恒成立..因为，所以，由基本不等式得，当且仅当时，取到等号.所以的取值范围为.22．已知分别表示中角所对边的长，，(1)求；(2)若为的外接圆，若、分别切于点、，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边角变换，结合三角函数的和差公式化简求值即可；（2）结合图形，利用数