新教材2023-2024学年高中数学第六章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性分层作业新人教B版选择性必修第三册

第六章6.2利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性A级必备知识基础练1.[探究点一]设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是()2.[探究点二·2023山西吕梁期末]函数f(x)=2lnx-x的单调递增区间为()A.(-∞,2) B.(-2,2) C.(0,2) D.(2,+∞)3.[探究点三]已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3)∪[3,+∞)B.[-3,C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-3,4.[探究点三]若函数f(x)=(-x2+ax)ex在区间(-1,1)上存在单调递减区间,则实数a的取值范围是.

5.[探究点二·2023江苏淮安期末]已知定义在区间(0,π)内的函数f(x)=2x-2sinx,则f(x)的单调递增区间为.

6.[探究点三·2023河南新乡长垣月考]若函数f(x)=(x2+mx+1)ex在区间[-1,1]上单调递减,则实数m的取值范围为.

7.[探究点二、三·2023四川成都外国语学校校考阶段练习]已知函数f(x)=12x2-ax-2lnx(a∈R)(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[1,+∞)内单调递增,求实数a的取值范围.B级关键能力提升练8.[2023河北张家口期末]已知函数f(x)为偶函数,定义域为R,当x>0时,f'(x)<0,则不等式f(x2-x)-f(x)>0的解集为()A.(0,1) B.(0,2) C.(-1,1) D.(-2,2)9.[2023山东聊城高二校考阶段练习]设函数f(x)=2x-2x-alnx在(1,2)内单调递减,则实数a的取值范围是(A.[4,5] B.(5,+∞) C.[4,+∞) D.[5,+∞)10.(多选题)[2023广西梧州龙圩校级期末]已知正实数x,y满足log2x-log2y<(12)x-(12)y,则(A.1x<1y B.C.ln(y-x+1)>0 D.2x-y<111.(多选题)已知定义在0,π2上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且恒有cosxf'(x)+sinxf(x)<A.fπ6B.3fπC.fπ6D.212.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,3),则b+c=.

13.已知f(x)=-12x2+bln(x+2)在(-1,+∞)内单调递减,则实数b的取值范围是.14.已知函数y=f(x)的定义域为-32,3,且y=f(x)的图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式x·f'(x)<15.[2023江苏苏州模拟改编]已知函数f(x)=(x+1)lnx-2(x-1),讨论f(x)的单调性.16.[2023重庆高二月考]已知函数f(x)=x-(a+2)lnx-2ax(a>(1)若曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线l与x-y+1=0平行,求切线l的方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.C级学科素养创新练17.[2023重庆渝中校级一模]已知奇函数f(x)的定义域为R,当x>0时,2f(x)+xf'(x)>0,且f(2)=0,则不等式f(x)>0的解集为.

6.2.1导数与函数的单调性1.D根据导函数图象,y=f(x)的单调递增区间为(-3,-1),(0,1),单调递减区间为(-1,0),(1,3),观察选项可得D符合,故选D.2.Cf'(x)=2x-1=2-xx,令f'(x)>0,则所以0<x<2,所以函数f(x)的单调递增区间是(0,2).故选C.3.Bf'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)内恒成立,且不恒为0,则Δ=4a2-12≤0,解得-3≤a≤3.4.-∞,32f(x)=(-x2+ax)ex,则f'(x)=ex(-x2+ax-2x+a),函数f(x)=(-x2+ax)ex在区间(-1,1)内存在单调递减区间,只需-x2+ax+a-2x≤0在区间(-1,1)内有解,记g(x)=-x2+(a-2)x+a,其图象的对称轴为直线x=a-g(-1)=-1-(a-2)+a=1>0,只需g(1)<0,所以-1+a-2+a<0,解得a<325.π4,π已知函数f(x)=2x-2sinx,则f'(x)=2-2cosx.令f'(x)≥0,即cosx≤22又x∈(0,π),则π4≤x<π即f(x)的单调递增区间为π4,π.6.(-∞,-2]f'(x)=[x2+(m+2)x+m+1]ex=(x+m+1)(x+1)ex.由题意得f'(x)=(x+m+1)(x+1)ex≤0在[-1,1]上恒成立.因为(x+1)ex≥0,所以x+m+1≤0在[-1,1]上恒成立,即m≤-x-1在[-1,1]上恒成立.设g(x)=-x-1,x∈[-1,1],只需m≤g(x)min,易知g(x)=-x-1在[-1,1]上单调递减,所以g(x)min=-2,所以m≤-2,即m的取值范围是(-∞,-2].7.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),当a=1时,f(x)=12x2-x-2lnx求导得f'(x)=x-1-2x,整理,得f'(x)=(令f'(x)>0,得x>2,令f'(x)<0,得0<x<2.从而,函数f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).(2)由题意知当x∈[1,+∞)时,f'(x)≥0恒成立,即x-a-2x≥0恒成立,即a≤x-2x设g(x)=x-2x(x≥1),由g'(x)=1+2x2>0,知g(x)在[1,+∞)内单调递增,所以g(x)min=g(1)从而a≤g(x)min,即a≤-1.所以实数a的取值范围是(-∞,-1].8.B因为当x>0时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,又函数f(x)是偶函数,所以当自变量取值的绝对值越小时,函数值越大.由f(x2-x)-f(x)>0,得f(x2-x)>f(x),所以|x2-x|<|x|,显然x≠0,所以可化简为|x-1|<1,则-1<x-1<1,即0<x<2,所以不等式的解集是(0,2).故选B.9.D因为函数f(x)=2x-2x-alnx在(1,2)内单调递减,所以f'(x)=2+2所以a≥2x+2x在(1,2)内恒成立.设函数h(x)=2x+2x,则h'(x)=2-所以h'(x)>0在(1,2)内恒成立,所以h(x)在(1,2)内单调递增,所以h(x)<h(2)=5,所以a≥5,则实数a的取值范围是[5,+∞).故选D.10.BC根据题意,设f(x)=log2x-12x,x∈(0,+∞),函数y=log2x和函数y=-12x在(0,+∞)内都是增函数,则函数f(x)在(0,+∞)内为增函数.若log2x-log2y<12x-12y,则有log2x-12x<log2y-12y,即f(x)<f(y),故有0<x<y,由此分析选项:对于A,若0<x<y,有1x对于B,若x<y,必有x3<y3,B正确;对于C,x<y,则有y-x+1>1,必有ln(y-x+1)>0,C正确;对于D,x<y,则x-y<0,则2x-y<1,D错误.故选BC.11.CD设g(x)=f(则g'(x)=f'(因为x∈0,π2时,cosxf'(x)+sinxf(x)<0,所以x∈0,π2时,g'(因此g(x)在0,所以gπ6>gπ3,gπ6即fπ即fπ6即2f故选CD.12.-12由题意f'(x)=3x2+2bx+c,所以3x2+2bx+c=0的两根为-1和3,所以-所以b=-3,c=-9,b+c=-12.13.(-∞,-1]由题意,可知f'(x)=-x+bx+2≤0在x∈(-1,+即b≤x(x+2)在x∈(-1,+∞)内恒成立,令f(x)=x(x+2)=x2+2x,x∈(-1,+∞),∴f(x)>-1,∴要使b≤x(x+2),则b≤-1,故实数b的取值范围为(-∞,-1].14.-32,-12∪(0,1)当x<0时,y=f(x)在-32,-12内单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0成立;y=f(x)在-12,0内单调递减,因此当x>0时,y=f(x)在(0,1)内单调递减,因此f'(x)<0,故x·f'(x)<0成立;y=f(x)在(1,3)内单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0不成立,所以x·f'(x)<0的解集是-32,-12∪(0,1).15.解由f(x)=(x+1)lnx-2(x-1),求导可得,f'(x)=lnx+(x+1)1x-2=lnx+1x令g(x)=f'(x)=lnx+1x-1,则g'(x)=1令g'(x)<0,解得0<x<1,则g(x)在(0,1)内单调递减,令g'(x)>0,解得x>1,则g(x)在(1,+∞)内单调递增,所以g(x)≥g(1)=0,当且仅当x=1时等号成立,所以f'(x)≥0,当且仅当x=1时等号成立,故f(x)在(0,+∞)内单调递增.16.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),由f(x)=x-(a+2)lnx-2ax(a>0),得f'(x)=1-a+2因为曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线l与x-y+1=0平行,所以f'(1)=1,即1-(a+2)+2a=1,解得a=2.所以f(x)=x-4lnx-4x,所以f(1)=-所以f(x)在点(1,f(1))处的切线l的方程为y+3=x-1,即x-y-4=0.(2)f'(x)=1-a+2x+2ax2令f'(x)=0,则x=2或x=a.当a=2时,f'(x)=(x-2)2x2≥0,所以函数当a>2时,当x>a或0<x<2时,f'(x)>0,当2<x<a时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,2)和(a,+∞)内单调递增,在(2,a)内单调递减;当0<a<2时,当x>2或0<x<a时,f'(x)>0,当a<x<2时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,a)和(2,+∞)内单调递增,在(a,2)内单调递减,综上所述,当a=2时,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;当a>2时,函数f(x)在(0,2)和(a,+∞)内单调递增,在(2,a)内单调递减;当0<a<2时,函数f(x)在(0,a)和(2,+∞)内单调递增,在(a,2)内单调递减.17.(-2,0)∪(2,+∞)设g(x)=x2f(x),x∈R.∵f(x)为R上的奇函数,∴易得g(x)为R上的奇函数.∵g'