力系的平衡条件与平衡方程资料

一、平面任意力系的平衡条件平面任意力系平衡的充要条件1.基本平衡方程

Fx

=0

Fy=0

Mo(F

)=0能解

3

个未知量（一矩式）§3.1平面任意力系的平衡条件与平衡方程第一页第二页，共59页。（1）二矩式投影轴x

不能与矩心A和B

的连线垂直.

MA(Fi)=0

MB(Fi)=0

Fx

=02.平面任意力系平衡方程的其它形式ABx第二页第三页，共59页。(2)三矩式三个矩心A,B

和C

不在一直线上

MA(Fi)=0

MB(Fi)=0

MC(Fi)=0ABC第三页第四页，共59页。l/2l/2ABCMP

例：在水平梁AB上作用一力偶矩为M

的力偶，在梁长的中点C处作用一集中力

P

，它与水平的夹角为，梁长为l

且自重不计。求支座A和B的反力。第四页第五页，共59页。l/2l/2ABCMP

解:取水平梁AB为研究对象画受力图l/2l/2ABCMP

FAxFAyFB第五页第六页，共59页。l/2l/2ABCMP

l/2l/2ABCMP

FAxFAyFB

Fx

=0FAx-Pcos

=0FAx=Pcos

M

A

(Fi)=0

Fy

=0FAy-Psin

+FB=0第六页第七页，共59页。例：已知：求：铰链

和

杆受力.解：取

梁，画受力图.第七页第八页，共59页。已知：系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN；求：系统平衡时，杆AB，BC受力.例：第八页第九页，共59页。AB、BC杆为二力杆，取滑轮B（或点B），画受力图.巧建图示坐标系解：第九页第十页，共59页。图示为一悬臂式起重机简图，A、B、C处均为光滑铰链。水平梁AB自重

P=4kN,荷载Q=10kN,有关尺寸如图所示，BC杆自重不计。求BC杆所受的拉力和铰链A给梁的反力。例ABDEPQ2m1m1mc第十页第十一页，共59页。解：（1）取AB梁为研究对象。（2）画受力图。未知量三个：

XA、YA、T独立的平衡方程数也是三个。（3）列平衡方程，选坐标如图所示。å030cos00=-=TXXA（1）å030sin00=--+=QPTYYA（2）å030sin0)(0=×-×-××=AEQADPABTFmA（3）ABDEPQXAYAT第十一页第十二页，共59页。由（3）解得以

T

之值代入（1）、（2），可得XA=16.5kN,YA=4.5kN第十二页第十三页，共59页。可否求出T、YA、XA；（1）由下图所示的受力图，试按思考题1ABDEPQXAYAT第十三页第十四页，共59页。可否求出T、YA、XA。（2）由下图所示的受力图，试按ABDEPQXAYATC思考题2第十四页第十五页，共59页。由下图所示的受力图，可否列出下列四个独立的平衡方程？为什么其中必有一个是从属的？思考题3ABDEPQXAYATC第十五页第十六页，共59页。如图4-19所示简支梁AB。梁的自重及各处摩擦均不计。试求A、B处的支座反力。例解：（1）选AB梁为研究对象。（2）画受力图如右下图所示。（3）取坐标如图。图4-19qmACBD2aaaqmACBD2aaaYBYAXAXY第十六页第十七页，共59页。（4）列平衡方程联合求解得到：024=××--×BaaqmaYå0)(=AFm.02=+×-BAYaqYå0=Y，0=AX0=åX，qmACBD2aaaYBYAXAXY第十七页第十八页，共59页。在图4-20中，试以下列三个方程求解，看会有什么问题，并说明原因。思考题qmACBD2aaaYBYAXAXY图4-20第十八页第十九页，共59页。例：已知：尺寸如图。解：取起重机，画受力图.求：轴承

处的约束力.第十九页第二十页，共59页。利用“力偶只能由力偶来平衡”的概念解题有时较方便：[例1]

：(书)P47

例3-4第二十页第二十一页，共59页。

[例2]

如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为M1＝2kN·m，OA＝r＝0.5m。图示位置时OA与OB垂直，，且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶矩M2及铰链O、B处的约束反力。第二十一页第二十二页，共59页。22

解

(1)先选取圆轮为研究对象。圆轮受有力偶矩M1及光滑导槽对销子A的作用力FA和铰链O处的约束反力FO的作用。由于力偶只能由力偶来平衡，因而FO与FA必组成一力偶，其FO、FA大小相等，方向相反。圆轮受力图如图b）所示。由力偶系的平衡条件知解得：M1-FA（rsin

）=0第二十二页第二十三页，共59页。23

将代入上式解得由于FO与FA组成一力偶，FB与F'A组成一力偶，故有方向如图b)、c)所示。

(2)再以摇杆BC为研究对象。其上受有力偶矩M2及F′A和铰链B处的约束反力FB的作用。FB与F′A必组成一力偶，其FB、

F′A大小相等，方向相反。摇杆BC受力图如图c）所示。由力偶系的平衡条件知：第二十三页第二十四页，共59页。§3.2简单的刚体系统平衡问题第二十四页第二十五页，共59页。一、静定与静不定问题的概念平面汇交力系 两个独立方程，只能求两个独立未知数。 一个独立方程，只能求一个独立未知数。 三个独立方程，只能求三个独立未知数。力偶系平面任意力系第二十五页第二十六页，共59页。

静定问题：一个静力平衡问题，如果未知量的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就能解出这些未知量。如图所示结构。qACBm2aa2aP6a第二十六页第二十七页，共59页。

超静定问题：一个静力平衡问题，如果未知量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力学方法就不能解出所有的未知量。如图所示结构。ACBm2aaP4a4a2aqD第二十七页第二十八页，共59页。[例]静定（未知数三个）静不定（未知数四个）第二十八页第二十九页，共59页。第二十九页第三十页，共59页。二.物体系统的平衡问题

当物体系统处于平衡时，其中的每一个物体都必须处于平衡。第三十页第三十一页，共59页。三铰拱ABC

的支承及荷载情况如图所示。已知P=20kN，均布荷载q=4kN/m。求：铰链支座A和B的约束力。1m2m2m3mABCqP例题：第三十一页第三十二页，共59页。1m2m2m3mABCqP解:(1)取整体为研究对象，画受力图.YAXAXBYB第三十二页第三十三页，共59页。1m2m2m3mABCqPYAXAXBYB

MA(F

)=0-4×3×1.5-20×3+4YB=0YB=19.5kN第三十三页第三十四页，共59页。1m2m2m3mABCqPYAXAXBYB

Fy

=0YA-20+19.5=0YA=0.5kN第三十四页第三十五页，共59页。(2)

取BC为研究对象画受力图1m3mBCPXCYCXBYB第三十五页第三十六页，共59页。1m3mBCPXCYCXBYB-1×20+2×19.5+3XB=0XB=-6.33kN

MC

(F

)=0第三十六页第三十七页，共59页。

Fx

=04×3+XA+XB=0XA=-5.67kN(3)取整体为研究对象1m2m2m3mABCqPYAXAXBYB第三十七页第三十八页，共59页。

图示三铰拱上，作用着均匀分布于左半跨内的铅直荷载，其集度为q(kN/m),拱重及摩擦均不计。求铰链A、B处的约束力。CABFAxFAyFBxFBy

q例题qCABhl/2l/2第三十八页第三十九页，共59页。解：(1)研究整体其受力如图所示。CABFAxFAyFBxFBy

q第三十九页第四十页，共59页。(2)研究AC,并画其受力图。qCAFAxFAyFCyFCxCABFAxFAyFBxFBy

q第四十页第四十一页，共59页。判断图中受力图是否正确？qChABFAy=0.5qlFBy=0.5ql?思考题:qCABhl/2l/2第四十一页第四十二页，共59页。由左半部分受力图可知，AC不能平衡，(a)图是错的。qCAFCyFCxFAy=0.5ql(b)0.5qlChABFAy=0.5qlFBy=0.5ql(a)第四十二页第四十三页，共59页。§3.3考虑摩擦时的平衡问题第四十三页第四十四页，共59页。

一切物体表面都具有不同程度的粗糙度或物体变形，当两物体相接触且有相对运动或相对运动趋势时，由于接触面间的凹凸不平或变形，就产生了相对运动的阻力，这种阻力称为摩擦力。1.摩擦力也可分为静摩擦和动摩擦。(1)

静摩擦：两物体仍保持静止,仅有相对运动的趋势时的摩擦。(2)动摩擦：两物体有相对运动时的摩擦。第四十四页第四十五页，共59页。静滑动摩擦力的特点方向：沿接触处的公切线，

与相对滑动趋势反向；大小：（库仑摩擦定律）第四十五页第四十六页，共59页。

重量为P

的物体置于斜面上，如图所示。已知物块与斜面之间的静摩擦因数f

s，问：

(1)斜面的倾角j

增大到多少时（以j1表示），物块将下滑？PxyFFN(a)Pxy例题1第四十六页第四十七页，共59页。(2)在j<j1的情况下，须在物块上沿斜面至少施加多大的力FT

才能使物块下滑？PxyFFNFT(b)(3)欲使物体沿斜面向上滑动，须在物块上沿斜面至少施加多大的力FT？PxyFFNFT(c)第四十七页第四十八页，共59页。解：(1)画受力图如右。列平衡方程考虑极限平衡状态有：(1)(2)从而得到：PxyFFN(a)第四十八页第四十九页，共59页。(2)画受力图如右列平衡方程从而得到：PxyFFNFT(b)考虑极限平衡状态有：当时,物块才能下滑。第四十九页第五十页，共59页。(3)画受力图如右列平衡方程PxyFFNFT(c)考虑极限平衡状态有：从而得到：当时，物块才能上滑。第五十页第五十一页，共59页。1静摩擦角---全约束力

物体处于临界平衡状态时，全约束力和法线间的夹