聚焦新中考数学(含11真题带解析)第3章自我测试

第三章《函数及其图象》自我测试[时间：90分钟分值：100分]一、选择题(每小题3分，满分30分)1．(2011·衡阳)函数y＝eq\f(\r(x＋3),x－1)中自变量x的取值范围是()A．x≥－3B．x≥－3且x≠1C．x≠1D．x≠－3且x≠1答案B解析由x＋3≥0且x－1≠0，得x≥－3且x≠1.2．(2011·芜湖)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则反比例函数y＝eq\f(a,x)与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中的大致图象是()答案D解析由抛物线的位置，得a<0，b<0，c＝0，所以双曲线y＝eq\f(a,x)分布在第二、四象限，直线y＝bx＋c过原点，且经过第二、四象限．3．(2011·广州)下列函数中，当x>0时，y值随x值增大而减小的是()A．y＝x2B．y＝x－1C．y＝eq\f(3,4)xD．y＝eq\f(1,x)答案D解析y＝eq\f(1,x)分布第一、三象限，当x>0时，y随x的增大而减小．答案如：y＝eq\f(2,x)，y＝－x＋3，y＝－x2＋5等，写出一个即可17．(2011·内江)在直角坐标系中，正方形A1B1C1O1、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…、AnBnCnCn－1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y＝kx＋b的图象上，点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上．若点B1的坐标为(1,1)，点B2的坐标为(3,答案(2n－1－1,2n－1)解析可求得A1(0,1)，A2(1,2)，A3(3,4)，A4(7,8)，…，其横坐标0,1,3,7…的规律为2n－1－1，纵坐标1,2,4,8…的规律为2n－1，所以点An的坐标为(2n－1－1,2n－1)．18．(2011·衢州)在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO＝10，sin∠AOB＝eq\f(3,5)，反比例函数y＝eq\f(k,x)(k>0)的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标为_______________．答案(8，eq\f(3,2))解析在Rt△AOB中，AO＝10.sin∠AOB＝eq\f(AB,AO)＝eq\f(3,5)，则AB＝6，OB＝8.又点C是AC中点，得C(4,3)，k＝4×3＝12，y＝eq\f(12,x).当x＝8时，y＝eq\f(12,8)＝eq\f(3,2).∴D坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(3,2))).19．(2011·广安)如图所示，直线OP经过点P(4,4eq\r(3))，过x轴上的点1、3、5、7、9、11……分别作x轴的垂线，与直线OP相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S1、S2、S3……Sn则Sn关于n的函数关系式是________．答案(8n－4)eq\r(3)解析设直线OP的解析式为y＝kx，由P(4,4eq\r(3))，得4eq\r(3)＝4k，k＝eq\r(3)，∴y＝eq\r(3)x.则S1＝eq\f(1,2)×(3－1)×(eq\r(3)＋3eq\r(3))＝4eq\r(3)，S2＝eq\f(1,2)×(7－5)×(5eq\r(3)＋7eq\r(3))＝12eq\r(3)，S3＝eq\f(1,2)×(11－9)×(9eq\r(3)＋11eq\r(3))＝20eq\r(3)，……，所以Sn＝4(2n－1)eq\r(3)＝(8n－4)eq\r(3).[来源:Zxxk.Com]20．(2010·兰州)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为__________米．答案0.5解析如下图，建立平面直角坐标系，可得抛物线y＝ax2＋c经过点(－0.5,1)，(1,2.5)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)a＋c＝1，a＋c＝2.5，))解之，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，c＝0.5，))∴y＝2x2＋0.5，抛物线顶点坐标为(0,0.5)，距地面的距离为0.5米．三、解答题(21～22题各6分，23题8分，24～25题各10分)21．(2011·菏泽)已知一次函数y＝x＋2与反比例函数y＝eq\f(k,x)，其中一次函数y＝x＋2的图象经过点P(k,5)．(1)试确定反比例函数的表达式；(2)若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标．解(1)因为直线y＝x＋2过点P(k,5)，∴5＝k＋2，k＝3.∴反比例函数的表达式为y＝eq\f(3,x).(2)解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，y＝\f(3,x)，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝1，y＝3，)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝－3，y＝－1.)))故第三象限的交点Q的坐标为(－3，－1)．22．(2011·日照)某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润(元)如下表：空调机电冰箱甲连锁店200170乙连锁店160150设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y(元)．(1)求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；(2)为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？解(1)根据题意知，调配给甲连锁店电冰箱(70－x)台，调配给乙连锁店空调机(40－x)台，电冰箱(x－10)台，则y＝200x＋170(70－x)＋160(40－x)＋150(x－10)，即y＝20x＋16800.∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,70－x≥0，,40－x≥0，,x－10≥0，))∴10≤x≤40.∴y＝20x＋16800(10≤x≤40)．(2)按题意知：y＝(200－a)x＋170(70－x)＋160(40－x)＋150(x－10)，即y＝(20－a)x＋16800.∵200－a＞170，∴a＜30.当0＜a＜20时，y随x增大而增大，则x＝40时，利润最大，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱30台；当a＝20时，x的取值在10≤x≤40内的所有方案利润相同；当20＜a＜30时，y随x增大而减小，x＝10时，利润最大，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调30台，电冰箱0台．23．(2011·扬州)如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放其中(圆柱形铁块的下底面完全落在水槽底面上)现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y(厘米)与注水时间x(分钟)之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)图2中折线ABC表示______槽中的深度与注水时间之间的关系，线段DE表示________槽中的深度与注水时间之间的关系(以上两空选填“甲”、或“乙”)，点B的纵坐标表示的实际意义是______________________________________________________；(2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中的水的深度相同？(3)若乙槽底面积为36平方厘米(壁厚不计)，求乙槽中铁块的体积；(4)若乙槽中铁块的体积为112立方厘米(壁厚不计)，求甲槽底面积(直接写结果)．[来源:Zxxk.Com]解(1)乙，甲；乙槽内的圆柱形铁块的高度为14厘米．(2)设线段AB的解析式为y1＝kx＋b，由过点(0,2)、(4,14)，可求得解析式为y1＝3x＋2；设线段DE的解析式为y2＝mx＋n，由过点(0,12)、(6,0)，可求得解析式为y2＝－2x＋12；当y1＝y2时，3x＋2＝－2x＋12，∴x＝2.∴注水2分钟时，甲、乙两水槽中水的深度相同．(3)∵水由甲槽匀速注入乙槽，∴乙槽前4分钟注入水的体积是后2分钟的2倍．设乙槽底面积与铁块底面积之差为S，则(14－2)S＝2×36×(19－14)，解得S＝30cm2.∴铁块底面积为36－30＝6cm2.∴铁块的体积为6×14＝84cm3.(4)甲槽底面积为60cm2.∵铁块的体积为112cm2，∴铁块底面积为112÷14＝8(cm2)．设甲槽底面积为s(cm2)，则注水的速度为eq\f(12s,6)＝2s(cm3/min)．由题意得eq\f(2s×6－4,19－14)－eq\f(2s×4,14－2)＝8，解得s＝60.∴甲槽底面积为60cm2.24．(2011·温州)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4,0)，点B的坐标为(0，b)(b>0).P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C.记点P关于y轴的对称点为P′(点P′不在y轴上)，连结PP′、P′A、P′C.设点P的横坐标为a.(1)当b＝3时，①求直线AB的解析式；②若点P′的坐标是(－1，m)，求m的值；(2)若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D.当P′D∶DC＝1∶3时，求a的值；(3)是否同时存在a、b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a、b的值；若不存在，请说明理由．解(1)①设直线AB的解析式为y＝kx＋3，把x＝－4，y＝0代入上式，得－4k＋3＝0，∴k＝eq\f(3,4)，∴y＝eq\f(3,4)x＋3.②由已知得，点P的坐标是(1，m)，∴m＝eq\f(3,4)×1＋3，∴m＝3eq\f(3,4).(2)∵PP′∥AC，∴△PP′D∽△ACD，∴eq\f(P′D,DC)＝eq\f(P′P,CA)，即eq\f(2a,a＋4)＝eq\f(1,3)，∴a＝eq\f(4,5).(3)以下分三种情况讨论．①当点P在第一象限时，i)若∠AP′C＝90°，P′A＝P′C(如图1)，过点P′作P′H⊥x轴于点H，∴PP′＝CH＝AH＝P′H＝eq\f(1,2)AC，∴2a＝eq\f(1,2)(a＋4)，∴a＝eq\f(4,3).∵P′H＝PC＝eq\f(1,2)AC，△ACP∽△AOB，∴eq\f(OB,OA)＝eq\f(PC,AC)＝eq\f(1,2)，即eq\f(b,4)＝eq\f(1,2)，[来源:学_科_网]∴b＝2.ii)若∠P′AC＝90°，P′A＝CA(如图2)，则PP′＝AC，∴2a＝a＋4，∴a＝4.∵P′A＝PC＝AC，△ACP∽△AOB，∴eq\f(OB,OA)＝eq\f(PC,AC)＝1，即eq\f(b,4)＝1，∴b＝4.iii)若∠P′CA＝90°，则点P′、P都在第一象限，这与前提条件矛盾，∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．②当点P在第二象限时，∠P′CA为锐角(如图3)，此时△P′CA不可能是等腰直角三角形．③当点P在第三象限时，∠P′AC为钝角(如图4)，此时△P′CA不可能是等腰直角三角形．[来源:学&科&网][来源:学.科.网Z.X.X.K]∴所有满足条件的a、b的值为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,3)，,b＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝4.))[来源:Z|xx|k.Com]25．(2011·安徽)如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3(h1＞0，h2＞0，h3＞0).(1)求证h1＝h3;(2)设正方形ABCD的面积为S，求证S＝(h2＋h3)2＋h12；(3)若eq\f(3,2)h1＋h2＝1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积为S随h1的变化情况．解(1)过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，利用两角一边对应相等，证△ABE≌△CDG即可．[来源:学#科#网](2)易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF，且两直角边长分别为h1、h3＋h2，四边形EFGH是边长为h2的正方形，所以S＝4×eq\f(1,2)h1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(h3＋h2))＋h22＝2h1h3＋2h1h2＋h22＝2h12＋2h1h2＋h22＝(h1＋h2)2＋h12.(3)由题意，得h2＝1－eq\f(3,2)h1，所以S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\