新教材北师大版第3章12建筑物高度的测量测量和自选建模的汇报交流课件（34张）

第三章数学建模活动

§1建筑物高度的测量§2测量和自选建模作业的汇报交流课程标准核心素养在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、构建模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题.重点提升数学建模、数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理和直观想象素养.必备知识•探新知关键能力•攻重难必备知识•探新知

新知探究情境引入珠穆朗玛峰是喜马拉雅山脉的主峰，是地球上的第一高峰，位于东经86.9°，北纬27.9°.8848.86米——2020年12月8日，国家主席同尼泊尔总统互致信函，共同宣布珠穆朗玛峰最新高程.8848.86米——这个珠峰“身高”是如何测定的，以及在此次珠峰测高过程中我国所采用的技术与方法我们可能感到不可思议，从简单处说，那就是数字的测量与解三角形的应用．关键能力•攻重难操作建议：(1)学生自由分组，讨论本小组的测量目标、小组成员的分工、需要准备的测量工具，如果有需要，也可以自制一些简单的测量工具．(2)小组成员采用“头脑风暴”的形式集思广益，充分讨论，对需要测量的对象给出不同的测量方案，最好能有两套方案来测量同一个建筑物．小组成员需要事先相对精细地分工，弄清楚需要测量什么数据，测量几次，需要多少数据，如何分析和减小可能产生的测量和计算误差等．(3)分工合作完成测量，及时记录好测量的数据．(4)完成“测量工作报告表”的计算和报告，并利用多种形式表现小组的成果和创意．测量方案测量方案优缺点分析数学原理图示测量数据计算方法方案建构原理

三、启发与提示通过前面的讨论我们发现，要测量的对象按照测量的情境可分为以下两类：第一类，观测点与测量对象的水平距离可测量．第二类，观测点与测量对象的水平距离比较远或者不可测量．显然，第一类是测量高度中最基本、最简单的情形，而第二类是测量高度中较为复杂，却是在生活实践中更为常见的情形．我们先考虑如图1所示的情形，测量物体的高度记为AB，显然AB＝BC·tan∠ACB，因此测量观测点与被测量对象之间的水平距离是测量高度的重要“桥梁”．如果你想利用物理学中光学的有关知识，也可以采用“镜面反射”的办法来测量高度，其基本操作如下：如图3所示，在水平地面的某点A处水平放置一面平面镜子M1(或一盆水)，观测人员在同一水平面上移动，直到能在平面镜中看到楼顶端，测量并记录此时镜子中的楼顶与观测人员之间的水平距离a1，注意此时保持镜子M1(或一盆水)位置不动，将第二面平面镜子M2(或一盆水)水平放置在水平地面的点B处，观测人员在同一水平面上移动，直到能在平面镜M2中看到楼顶端，同时测量并记录此时镜子中的楼顶与观测人员之间的水平距离a2，测量两面镜子M1和

M2之间的水平距离a，最后就能计算出楼高．其测量原理如图3所示．图3四、简要参与解通过以上的分析，我们给出几种测量方案及简要分析供师生参考，如下表所示：几种不同的测量方案及简要分析五、反思与拓展在本节中，我们提供了几种不同的方案来测量高度，你是否还有其他的测量方案或者想法？下面是学生在实际测量旗杆高度时出现的一种做法，大家可以思考一下他的做法是否合理．测量方案：让一个学生站在旗杆下，然后照一张含有这个人的完整照片．照片就是一个很好的比例尺，按照片中的人高与旗杆的比例，求出旗杆高度．如图4所示，用计算机显示拍摄的照片，量出旗杆有6.3个学生的高度，这个学生的身高为1.73m，于是得到旗杆的高度约为6.3×1．73＝10.9(m)．(1)你认为这种测量方法如何？如果认为正确，请说明理由以及这种方法的优点；如果认为有问题，请说明问题出在何处，结果偏大还是偏小？(2)你认为测量中如何做就能减少误差，得到正确的结果？需要注意的是，这个方案虽然操作简单，但却容易出现较大偏差．如果拍照者与参照物、测量对象之间的距离较近，得到的测量结果与实际真实的结果相比会偏小．拍照者离旗杆越近，误差越大．事实上，根据“近大远小”的视觉规律，教学楼下面的“一人高”和教学楼顶端的“一人高”对应的真实高度是不一样的，这个方案把它当成一样的来计算了．如果拍照者与参照物之间的距离较近，显然顶端的“一人高”比下端的“一人高”所对应的实际尺寸要大，所以容易造成测量结果比实际结果小．那么如何减小这个方案的误差呢？大家可以思考一下．减少误差的思路有以下两种：反思1在本文中，我们提到了很多种测量的方法，经过实践就会发现，测量结果与实际高度之间存在误差，甚至误差还比较大，仔细分析误差产生的原因并找到尽可能减小误差的办法是测量中必不可少的一部分工作．在实际测量中可能产生误差的原因有：(1)测量工具的问题．例如，自己制作的测量角的工具相对比较粗糙、刻度不够精确．(2)在利用“镜面反射”的方法测量时，测量对环境的要求比较高，放置镜子的地面需要保证足够平，同时在两次观测点放置的镜子与观测人员所站的位置要在一条直线上，观测人员在观测镜子中的楼顶时要保证垂直状态且两次观测的高度保持一致，而这些在实际测量的过程中很难精确保证，从而造成误差．(3)在利用“镜面反射”的方法来测量时，图3中的a值(两次镜间距)如果太小，使测量的角度差或人镜距离太小，从而造成较大的计算误差．解决的方法是可以利用实际测量时的场地环境，尽可能增大a值，从而提高测量精度，当然还有一个办法就是通过多次测量取平均数，这也是减小误差的必要手段．反思2具备一些测量上的常识性知识，对身边的事物有一个正确的数量估算，会更利于我们完成此项工作．例如一座20多层的写字楼的高度大约为80m.六、测量和自选建模作业的汇报交流1．根据完成的测量要求，按小组或个人，完成一个测量结题报告或者写一篇建模小论文，在班级中宣讲交流．请特别注意说明，测量模型或测量原理的选取，测量误差的减