2012年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）

第1页（共1页）2012年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）一、填空题1．（8分）计算：（2012﹣284+135）×7÷69＝．2．（8分）小明发现在2012年3月的日历某一列上的5个日期的数字之和是80，那么这一列上的第二个日期是号．3．（8分）40只脚的蜈蚣和9个头的龙同在一个笼子里，共有50个头和220只脚，若每只蜈蚣有一个头，则每条龙有只脚．4．（8分）在右面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，使得算式成立．那么四位数“望子成龙”是．5．（8分）有一个奇妙的国家，叫“﹣0国”，他们只有1和0两个数字，所以，当遇到比较大的数时，他们就要用好多个1和0组合相加来表示，比如说：12可以表示成三个数的和10+1+1，也可以表示成两个数的和11+1，那么在“﹣0国”，20120204最少要用个数相加来表示．二、填空题6．（10分）农历龙年的第一天（即大年初一）是01月23日，如果用四个数字来表示这天的日期，应该是0123．我们会发现，这四个数字正好是四个连续数字，类似的日期还有02月13日，03月12日等．那么2012年最后一个用四个连续数字表示的日期是农历龙年的第天．7．（10分）一串珠子共31个，正中间一个最贵．从一端算起，后一个比前一个贵3元，到中间那个为止．从另一端算起，后一个比前一个贵4元，到中间那个为止．这串珠子总价值2012元，那么中间的一颗珠子价值元．8．（10分）如图，蕾蕾用12根小木棍摆成一个3×3的正方形，凡凡摆了9根小木棍将它切割成3个1×2的小长方形和3个1×1的小正方形．如果蕾蕾用40根小木棍摆成一个8×12的矩形，那么凡凡再摆根小木棍，才能将它切割成40个小长方形，使得每个小长方形要么是1×2的，要么是1×3的．9．（10分）某次考试，得分不超过30分的有153人，平均24分；得分不低于80分的有59人，平均92分；得分超过30分的平均62分，得分低于80分的平均54分．那么这次考试共有人参加．10．（10分）2012位同学排成一列依次报数．若某位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若某位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1，到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了．三、填空题11．（12分）桌面上放有四张大小不同的正方形纸片边长分别为2，3，4，5，若分别取走边长为2，3，4，5的正方形纸片中的一个，则剩下的三张纸片覆盖的面积分别减少2，3，4，5，那么四张纸片覆盖的面积是多少？12．（12分）红、黄、蓝三种颜色的球共2012个排成一排，相邻2球之间的距离为1厘米．每相邻的4个球中都有1个红球、1个黄球和2个蓝球．左数第100个红球和右数第100个黄球之间的距离是1213厘米．那么左数第100个蓝球和右数第100个蓝球之间的距离是厘米．13．（12分）将给定的所有数字串填入方格内，每个数字串恰好用一次，每个格内恰好填一个数字，同一个数字串中的数字不能被阴影断开，数字串的方向都是从上到下或者从左到右的．如图中给出了一个例子，图2是图1的唯一填法．请根据以上的规则，将图3填写完整，那么是．14．（12分）池塘中10片莲叶如图排列．青蛙在莲叶间跳跃，每次只能从一片莲叶跳到相邻的另一片莲叶．一只青蛙盘算着从其中一片莲叶上起跳，连跳4步，那么它有种不同的跳法．

2012年“迎春杯”数学解题能力展示复赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、填空题1．（8分）计算：（2012﹣284+135）×7÷69＝189．【解答】解：（2012﹣284+135）×7÷69＝（1728+135）×7÷69＝1063÷69×7＝27×7＝189；故答案为：189．2．（8分）小明发现在2012年3月的日历某一列上的5个日期的数字之和是80，那么这一列上的第二个日期是9号．【解答】解：根据分析，设此5个数分别为：a1，a2，a3，a4，a5，数字之和为：Sn，由等差数列性质可知，Sn＝a1+a2+a3+a4+a5＝5×a3＝80，这一列上中间的日期为：a3＝80÷5＝16号，因此第二个日期应为：a2＝16﹣7＝9号，故答案为：9．3．（8分）40只脚的蜈蚣和9个头的龙同在一个笼子里，共有50个头和220只脚，若每只蜈蚣有一个头，则每条龙有4只脚．【解答】解：设蜈蚣和龙的个数分别为x、y，9个头的龙的脚数为n，x、y、n均为正整数；则，整理，可得（360﹣n）y＝1780，y能被1780整除，1780＝2×2×5×89，又因为9y＜x+9y＝50，所以y≤5，y只能为1、2、5，（1）将y＝1代入到（360﹣n）y＝1780，解得n＝﹣1420＜0，不符合题意；（2）将y＝2代入到（360﹣n）y＝1780，解得n＝﹣530＜0，不符合题意；所以y＝5，解得n＝4．答：每条龙有4只脚．故答案为：4．4．（8分）在右面的算式中，不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，使得算式成立．那么四位数“望子成龙”是1468．【解答】解：依题意可知：龙+龙+龙的尾数是2，那么有3+3+3+3或者8+8+8+8．当龙＝3时，成+成+成加上一个进位尾数为1，没有进位尾数为0，没有符合条件的数字．当龙＝8时，成+成+成加上3个进位尾数为1，那么成+成+成尾数为8，那么6+6+6满足条件．子+子加上2个进位尾数为0，同时子+子加上2个进位得数不能向千位进位2，那么子＝4满足条件．望加上1个进位等于2，望＝1．故答案为：14685．（8分）有一个奇妙的国家，叫“﹣0国”，他们只有1和0两个数字，所以，当遇到比较大的数时，他们就要用好多个1和0组合相加来表示，比如说：12可以表示成三个数的和10+1+1，也可以表示成两个数的和11+1，那么在“﹣0国”，20120204最少要用4个数相加来表示．【解答】解：20120204＝10110101+10010101+1+1所以20120204最少要用4个数相加来表示．故答案为：4．二、填空题6．（10分）农历龙年的第一天（即大年初一）是01月23日，如果用四个数字来表示这天的日期，应该是0123．我们会发现，这四个数字正好是四个连续数字，类似的日期还有02月13日，03月12日等．那么2012年最后一个用四个连续数字表示的日期是农历龙年的第343天．【解答】解：依题意可知：2012年12月份最后的四个连续数字为12月30日．2012年是润年有366天那么从1月23日到12月30日．经过366﹣22﹣1＝343．故答案为：3437．（10分）一串珠子共31个，正中间一个最贵．从一端算起，后一个比前一个贵3元，到中间那个为止．从另一端算起，后一个比前一个贵4元，到中间那个为止．这串珠子总价值2012元，那么中间的一颗珠子价值92元．【解答】解：根据分析，假设正中间珠子价值为a，由等差数列的性质得：前15个珠子的总价值为：（a﹣3×8）×15元，后15个珠子的总价值为：（a﹣4×8）×15元，∴（a﹣3×8）×15+（a﹣4×8）×15+a＝2012，解得：a＝92，中间的一颗珠子价值92元．故答案是：92．8．（10分）如图，蕾蕾用12根小木棍摆成一个3×3的正方形，凡凡摆了9根小木棍将它切割成3个1×2的小长方形和3个1×1的小正方形．如果蕾蕾用40根小木棍摆成一个8×12的矩形，那么凡凡再摆116根小木棍，才能将它切割成40个小长方形，使得每个小长方形要么是1×2的，要么是1×3的．【解答】解：根据分析，假设40个小长方形均是1×3的，则总面积为40×3＝120，而长方形面积为8×12＝96，所以1×2的小长方形有（120﹣96）÷（3﹣2）＝24个，1×3的小长方形有40﹣24＝16，这些小长方形的总周长为：8×16+6×24＝272，除矩形最外一周，每条边长位于两个小长方形中，所以矩形内部增加的总长为：（272﹣40）÷2＝116．即需要摆116根木棍．故答案是：116．9．（10分）某次考试，得分不超过30分的有153人，平均24分；得分不低于80分的有59人，平均92分；得分超过30分的平均62分，得分低于80分的平均54分．那么这次考试共有1007人参加．【解答】解：[153×（54﹣24）+59×（92﹣62）]÷（62﹣54）+153+59＝[4590+1770]÷8+212＝6360÷8+212＝795+212＝1007（人）答：这次考试共有1007人参加．故答案为：1007．10．（10分）2012位同学排成一列依次报数．若某位同学报的是一位数，后面的同学就报这个数的2倍；若某位同学报的是两位数，后面的同学就报其个位数字与5的和．已知第一位同学报1，到了第100位同学，他却把前面那位同学报的数加上了另一个一位自然数，其他人都没有注意到，仍然按以前的规则继续报数，直到最后一位同学报的数是5．那么第100位同学所报的数是把前一位同学报的数加上了8．【解答】解：按照规则将前面几位同学所报数写出：1，2，4，8，16，11，6，12，7，14，9，18，13，8，16…可以发现从第5位同学开始，每10位同学为一个周期，所以第99位同学报的数为7；由于最后一位同学报的数是5，则倒数第2位只能报10，倒数第3位只能报5或15…以此类推可知，第100位同学报的数只能为15，是把前一位同学报的数加上了8．故答案为8．三、填空题11．（12分）桌面上放有四张大小不同的正方形纸片边长分别为2，3，4，5，若分别取走边长为2，3，4，5的正方形纸片中的一个，则剩下的三张纸片覆盖的面积分别减少2，3，4，5，那么四张纸片覆盖的面积是多少？【解答】解：如图：四张纸的面积分别为4、9、16、25，每张纸片与其他纸片重叠部分的面积分别为2、6、12、20，由于2+6+12＝20，所以只能前3张纸片与第四张分别重叠，没有三张重叠在一起的部分，重叠部分的面积是20，最大的正方形纸片与其他三张纸片都重叠，而其他三张纸片彼此都不重叠．也就是只存在两两重叠的情况，并且重叠的面积是20平方米．所以覆盖面积用四张正方形纸片总面积减去20平方米，所以总的覆盖面积为：4+9+16+25﹣20＝34答：四张纸片覆盖的面积是34．12．（12分）红、黄、蓝三种颜色的球共2012个排成一排，相邻2球之间的距离为1厘米．每相邻的4个球中都有1个红球、1个黄球和2个蓝球．左数第100个红球和右数第100个黄球之间的距离是1213厘米．那么左数第100个蓝球和右数第100个蓝球之间的距离是1615厘米．【解答】解：根据分析，每4个球有1个红球、1个黄球，那么左数第100个红球应在（3979，398，399，400）中；右数第100个黄球应在（1613，1614，1615，1616）中，由于两球之间的距离是1213厘米只能是400和1613，即第400个为红球，第1613个为黄球，所以从第一个球起，球的颜色按照“黄，蓝，蓝，红”循环，左数第100个篮球应为（197，198，199，200）中的第199个，右数第100个篮球应为（1813，1814，1815，1816）中的第1814个，之间的距离是1814﹣199＝1615厘米．故答案是：1615．13．（12分）将给定的所有数字串填入方格内，每个数字串恰好用一次，每个格内恰好填一个数字，同一个数字串中的数字不能被阴影断开，数字串的方向都是从上到下或者从左到右的．如图中给出了一个例子，图2是图1的唯一填法．请根据以上的规则，将图3填写完整，那么是12204．【解答】解：两个五位数只有中间的数不同，因此可以确定4个数；每个三位数末位均为0，均可以确定填出；末位为0的两位数只有40，所以E只能为4，首位为4的只有40和42，40已用，因此C左侧只能为2，如图1：以1为首的四位数只有两个，且前三位均为102，所以第1列可以确定为102；以2为首的四位数只有一个，所以2224可以确定；以4为首的三位数只有410，1可以确定；以10结尾的三位数只剩下210，所以2可以确定；以2为首、0结尾的三位数只有220，所以C可以确定为2；以2为首的两位数只有21，所以C下方只能填1，如图2：第3列，以22结尾的四位数只有1022和0022，两个五位数的第3位只能是0或2，所以第1行的五位数中间数只能为0，第3列的四位数为0022，所以B为2；以0为首、2结尾的四位数只剩0102，所以第5列下方的四位数可以确定，进而以01为首的四位数只剩下0110，所以D只能为0，如图3：三位数220、410、210均出现过，所以倒数第2行的三位数只能是120，剩下的两个两位数12和11，12只能在第2列下方，所以A为1，如图4：至此可确定这个五位数为12204，故答案为：12204．14．（12分）池塘中10片莲叶如图排列．青蛙在莲叶间