现代通信原理答案(-罗新民)

第一章绪论1-1英文字母中e出现概率为0.105,c出现的概率为0.023,j出现的概率为0.001。试分别计算它们的信息量。解题思路：考查信息量的基本概念，用公式。底数a一般采用2，这时信息量单位为bit解：，，1-2有一组12个符号组成的消息，每个符号平均有四种电平，设四种电平发生的概率相等，试求这一组消息所包含的信息量。若每秒传输10组消息，则一分钟传输多少信息量？解题思路：考查平均信息量及信息量叠加的概念。每个符号有四种等概电平可能，因此先用计算其平均信息量。整个消息的总信息量是12个符号的各自平均信息量（相等）的和。解：（1），。每个符号的平均信息量为比特/符号，则由12个符号组成的一组消息的信息量为（2）每秒传输10组消息，则一分钟传输10×60组信息，因此信息传输速率为10×60×24比特/分钟＝14400比特/分钟1-3消息序列是由4种符号0、1、2、3组成的，四种符号出现的概率分别为3/8、1/4、1/4、1/8，而且每个符号出现都是相互独立的，求下列长度为58个符号组成的消息序列“2010201303213001203210100321010023102002010312032100120210”的信息量和每个符号的平均信息量。解题思路：考查平均信息量的概念。可以先求出每个符号的信息量，根据消息序列中各符号出现的次数得到消息序列的总信息量，再用符号数平均从而得到符号平均信息量。也可以先根据直接求出这四种符号的平均信息量，再根据消息序列中符号个数得到消息序列的总平均信息量。解：方法一：0，1，2，3每符号各自携带的信息量分别为；；；；则这58个符号所带的总信息量为；而每个符号的平均信息量方法二：每符号平均信息量为消息序列总平均信息量为1-4某气象员用明码报告气象状态，有四种可能的消息：晴、云、雨、雾。若每个消息是等概率的，则发送每个消息所需的最少二进制脉冲数是多少？若该4个消息出现的概率不等，且分别为1/4、1/8、1/8、1/2，试计算每个消息的平均信息量。解题思路：考查从工程角度对信息量的定义。传输两个相互等概的消息时，要区别这两种消息，至少需要1位二进制脉冲；若要传输4个独立等概的消息之一，则至少需要2位二进制脉冲。解：（1）需个（2）比特/消息1-5设数字信源发送-1.0V和0.0V电平的概率均为0.15，发送+3.0V和+4.0V电平的概率均为0.35。试计算该信源的平均信息量。解题思路：考查信源平均信息量计算方法，采用计算。解：1-6对二进制信源，证明当发送二进制码元1的概率和发送二进制码元0的概率相同时，信源熵最大，并求最大的信源熵。解题思路：设发“1”的概率和发“0”的概率分别为P和1-P，则信源熵可表达为P的函数H(P)，问题转化为求H(P)的最值及取到最值时P的取值。（1）证明：设发“1”的概率为P，则发“0”的概率为1-P。这时信源熵为欲使信源熵H(P)取最大值，令，则得到由此得到，求得。即当发送二进制码元“1”的概率和发送二进制码元“0”的概率相同时，信源熵最大。（2）解：将代入H(P)的表达式，得到。1-7一个由字母A、B、C、D组成的信源，对传输的每一个字母用二进制脉冲编码：00代表A，01代表B，10代表C，11代表D。又知每个二进制脉冲的宽度为5ms。=1\*GB3①不同字母等概率出现时，试计算传输的平均信息速率以及传输的符号速率；=2\*GB3②若各字母出现的概率分别为：，试计算平均信息传输速率。解题思路：考查信息传输速率和符号传输速率的概念及其关系。由每个脉冲的时间宽度可得每个字母（符号）的时间宽度，其倒数就是符号传输速率r。无论4个字母等概与否，符号传输速率是一定的。根据教材式（1.10），分别计算出=1\*GB3①、=2\*GB3②中的字母（符号）平均信息量H(x)，就可以得到平均信息传输速率R。解：（1）每个脉冲宽5ms，则每个字母（符号）占时宽为2×5×10－3＝10－2秒每秒传送符号数为符号/秒每个字母的平均信息量为比特/符号平均信息速率为（2）平均信息量为比特/符号平均信息速率为1-8设数字键盘上有数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，发送任一数字的概率都相同。试问应以多快的速率发送数字，才能达到2b/s的信息速率？解题思路：仍然考查的是对的理解。解：信源平均信息量为由可以得到所以，至少应以0.603符号/秒的速率发送数字，才能达到2比特/秒的信息速率。1-9=1\*GB3①假设计算机的终端键盘上有110个字符，每个字符用二进制码元来表示。问每个字符需要用几位二进制码元来表示？=2\*GB3②在一条带宽为300Hz，信噪比（SNR）为20dB的电话线路上，能以多快的速度（字符/秒）发送字符？=3\*GB3③如果以相同的概率发送每个字符，试求每个字符包含的信息量。解题思路：=2\*GB3②考查信道容量的含义和香农公式的应用。信道容量表示信道的信息量传输速率上界。已知信道的信噪比和带宽，就可以由香农公式求出信道容量。再求得每个字符的信息量，由就可以求得符号传输速率r的上界。解：(1)(位)（表示不超过x的最大整数）（2）信噪比（倍），带宽B=300Hz，由香农公式可以得到每个字符用7位二进制码元表示。对于110个7位二进制码元，可以认为每个码元（“0”或“1”）是等概出现，因此每个二进制码元的信息量是1比特，所以每个符号的信息量是7比特，因此可以得到（3）等概率发送时，每个字符的出现概率是，因此每个字符包含的信息量是1-10什么是模拟通信？什么是数字通信？数字通信有哪些主要优点？你对今后“数字通信系统将取代模拟通信系统”有什么看法？解：传递连续消息（信号）的通信过程称为模拟通信。传递数字消息（信号）的通信过程称为数字通信。数字通信的优点是=1\*GB3①抗干扰能力强，可靠性好；=2\*GB3②体积小，功耗低，易于集成；=3\*GB3③便于进行各种数字信号处理；=4\*GB3④有利于实现综合业务传输；=5\*GB3⑤便于加密。1-11数字通信系统模型中各主要组成部分的功能是什么？解：信源－把原始消息转化为电信号。发送设备－把信源发出的电信号转换为适于信道传输的信号形式。信道－传输信号的媒质。接受设备－把接收的信号恢复为原信号。信宿－把信号还原为原始消息。1-12由信道容量公式)，讨论C与B和之间的关系，并证明：当时，信息传输速率达到信道容量极限，即R=C时，试证明码元能量与噪声功率谱密度之比为（分贝）是极限最小信噪比。证明：由教材（1.19）式，当且时，S表示信号（码元）平均功率，表示每比特码元的时宽T，则表示每比特码元能量。并且R=C时R取到最大值，对应取到最小值，故是极限最小信噪比。1-13一个平均功率受限制的理想信道，带宽为1MHz，受高斯白噪声干扰，信噪比为（倍），试求：=1\*GB3①信道容量；=2\*GB3②若信噪比降为5（倍），在信道容量相同时的信道带宽；=3\*GB3③若带宽降到0.5MHz，保持同样信道容量时的信噪比。解题思路：考查香农公式中带宽、信噪比和信道容量三个量之间的相互关系。解：（1）（2）（3）(倍)1-14具有1MHz带宽的高斯信道，若信号功率与噪声的功率谱密度之比为Hz，试计算信道容量。解题思路：考查香农信道公式之外，还考查白噪声功率谱密度与带限噪声功率之间的计算关系。高斯白噪声的功率谱在整个频域（到）上是常数，该常数通常用表示，称为双边功率谱密度。高斯白噪声通过带宽为B的理想带通滤波器后称为带限噪声。这种带限噪声的功率。解：故1-15一个系统传输四脉冲组，每个脉冲宽度为1ms，高度分别为：0、1V、2V和3V，且等概率出现。每四个脉冲之后紧跟一个宽度为1ms的-1V脉冲（即不带信息的同步脉冲）把各组脉冲分开。试计算系统传输信息的平均速率。解题思路：考查平均信息传输速率的概念。包括同步脉冲在内的5个脉冲的时间宽度内传输了四脉冲组包含的总信息量。平均信息传输速率应为总信息量被传输这些信息量所花费的时间除。解：四脉冲组中每个脉冲的平均信息量比特/脉冲，四脉冲组总信息量为8比特。每组脉冲中，信息脉冲及同步脉冲共5个，占时5ms，传送8比特信息。故信息传输平均速率为1-16设一数字传输系统传输二进制码元，码元速率为2400Baud，试求该系统的信息传输速率。若该系统改为传输十六进制码元，码元速率为2400Baud，该系统的信息传输速率又为多少？解题思路：考查传信率和传码率之间的换算关系，即解：（1）对二进制，（2）对十六进制，1-17一个多进制数字通信系统每隔0.8ms向信道发送16种可能取的电平值中的一个。试问：=1\*GB3①每个电平值所对应的比特数是多少？=2\*GB3②符号率（波特）为多少？=3\*GB3③比特率为多少？解题思路：=1\*GB3①考查信息量的定义；=2\*GB3②、=3\*GB3③分别考查传码率和传信率的定义。解：（1）电平数L=16，当各电平等概出现时，每个电平值对应的信息量（平均信息量），即比特数为。（2）每隔0.8ms向信道发送一个多进制符号，因此符号率为（3）1-18计算机终端通过电话信道传输数据，设该终端输出128个符号，各符号相互独立。等概出现。已知电话信道带宽为3.4kHz，信道输出信噪比为20dB。试求：=1\*GB3①信道容量；=2\*GB3②无误传输的最高符号速率。解题思路：将信噪比的dB值转化为比值倍数，代入香农公式，就可以求得信道容量；信道容量C是信道信息传输速率R的最大值，由就可以求得对应无误传输的最高符号速率。解：（1）每个符号的平均信息量为比特/符号因此无误传输的最高符号速率为1-19一通信系统的接收机收到的信号功率为-134dBm，接收到的噪声功率谱密度为-164dBm/Hz，系统带宽为2000Hz，求系统无错误信息传送的最大速率。解题思路：将题目所给信号功率和噪声功率谱密度的dBm值换算后就可以计算得到，和带宽B一起代入香农公式，就可以求得信道容量，也就是信息传输速率的最大值。解：信号功率：，噪声功率谱密度：，噪声功率：（这里认为P是单边功率谱密度）因此，信噪比为由香农公式得到第二章确定信号分析2-1图E2.1中给出了三种函数。-4-4-4-444411-11-1图E2.1=1\*GB3①证明这些函数在区间（-4，4）内是相互正交的。=2\*GB3②求相应的标准正交函数集。=3\*GB3③用（2）中的标准正交函数集将下面的波形展开为标准正交级数：=4\*GB3④利用下式计算（3）中展开的标准正交级数的均方误差：=5\*GB3⑤对下面的波形重复（3）和（4）：=6\*GB3⑥图E2.1中所示的三种标准正交函数是否组成了完备正交集？解：=1\*GB3①证明：由正交的定义分别计算，得到，，，得证。=2\*GB3②解：，对应标准正交函数应为因此标准正交函数集为=3\*GB3③解：用标准正交函数集展开的系数为，由此可以得到，，。所以，=4\*GB3④解：先计算得到=5\*GB3⑤解：用标准正交集展开的系数分别为，，的标准正交展开式为。误差函数，均方误差。=6\*GB3⑥解：对=3\*GB3③中的，均方误差为0，图中所示的三个函数对组成完备正交函数集。对=4\*GB3④中的，均方误差不为0，图中所示的三个函数不构成完备正交函数集2-2试证明任意函总可以表示为偶函数和奇函数之和，即，并求阶越函数及的奇偶分量。（提示：）解题思路：根据提示，对任意函数，分别将和中的自变量t变为-t，可以得到：，可以令该函数为偶函数；，可以令该函数为奇函数，由此得证。证明：=1\*GB3①因为令，，则有，即为偶函数，为奇函数，这说明任意函数总可以表示为偶函数和奇函数之和。=2\*GB3②阶越函数：(为符号函数，)指数函数：复指数函数：2-3证明一个偶周期性函数的指数傅立叶级数的系数是实数，而一个奇周期函数的指数傅立叶级数的系数是虚数。解题思路：题目所要证明的奇、偶函数均指实函数。对于复函数，如果它满足，称其为共轭对称函数。当是实函数时，它就是偶函数。同样，对于复函数，如果它满足，称其为共轭反对称函数。当是实函数时，它就是奇函数。因此可以运用偶函数和奇函数的上述共轭对称性质和共轭反对称性质证明。证明：=1\*GB3①设为一周期性函数，则其傅里叶级数展开为；也为周期性函数，并且有。同时，满足，则有，，故为实数，得证。=2\*GB3②周期性奇函数可以做傅里叶展开，即，奇函数满足，同上得，故是虚数，得证。2-4利用周期信号的傅里叶级数证明下式成立：式中，。证明：是周期为的周期函数，因此其傅里叶级数展开式为，，即，是展开后的n次谐波系数，，得证。2-5证明=1\*GB3①的傅里叶变换可以表示为–j=2\*GB3②若为t的偶函数，有=3\*GB3③若为t的奇函数，有=4\*GB3④对一般的，有以下关系成立a．t的偶函数ω的实偶函数b．t的虚偶函数ω的偶函数c．t的奇函数ω的虚奇函数d．t的复函数ω的复函数e．t的复奇函数ω的复奇函数解题思路：=1\*GB3①直接由复指数函数的实部虚部展开式就可以得证。=2\*GB3②、=3\*GB3③在=1\*GB3①的结论的基础上，利用奇函数在上的积分为0、偶函数在上的积分是其在上的积分的两倍的性质就可以得证。=4\*GB3④的证明主要用到了=1\*GB3①的结论。=1\*GB3①证明：＝＝–j（1）得证。=2\*GB3②证明：为偶函数，则为偶函数，为奇函数。则，。 由=1\*GB3①中的（1）式可以得到（2）得证。=3\*GB3③证明：为奇函数，则为奇函数，为偶函数，所以，。由=1\*GB3①中的（1）式可以得到（3）得证。=4\*GB3④证明：a.由=2\*GB3②，是偶函数。又由均为实函数知为实函数。得证。b.令，则为实偶函数。由=2\*GB3②，，所以为偶函数。c．为实奇函数时，由=3\*GB3③知，而为实函数，所以为虚奇函数。d.由=1\*GB3①，为复函数时，令，则有=-j=，上式虚部不为0，故为复函数。e.为复奇函数时，由=4\*GB3④.d的结论可以得到为复函数，再由=1\*GB3①：＝–j，为奇函数，得证。2-6利用卷积性质，求下面波形的频谱：解：2-7由傅里叶变换式，求对应的，并用对偶性质验证所得的结果。（表示高度为1，宽度为2B，关于纵轴对称的矩形）解：验证：傅里叶变换的对偶性质为若，则。对于傅里叶变换对，其对偶式应为，一般令，则应有而，验证完毕。2-8求图E2.2所示的周期信号的傅里叶变换。1112-26-6t2-20610-6-10t解：=1\*GB3①根据周期信号的傅里叶级数展开的性质，可以得到其中，根据教材式（2.18），可以得到是在一个周期上的截断函数的傅里叶变换，是底宽为，高为1的等腰三角形，可以计算得到因此由此得到=2\*GB3②根据周期信号的傅里叶级数展开的性质，可以得到其中，根据教材式（2.18），可以得到是在一个周期上的截断函数的傅里叶变换，是底宽为T=4<，高为1的矩形，可以计算得到因此由此得到2-9证明下式成立：[提示：利用。]证明：2-10确定下面的信号是能量信号还是功率信号，并计算相应的能量或功率。=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③解题思路：根据能量信号和功率信号的定义来判断和计算。解：=1\*GB3①信号能量，所以该信号是能量信号。=2\*GB3②信号能量，所以该信号是能量信号。=3\*GB3③信号能量，所以信号是功率信号，并且信号是周期信号，周期为。信号平均功率为2-11按如下分类方法对下列信号进行分类：（1）功率有限或能量有限，（2）周期或非周期。并且指出功率信号的功率，能量信号的能量，以及周期信号的周期。=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③=4\*GB3④=5\*GB3⑤解题思路：根据信号能量和信号功率的定义进行分类和计算。解：=1\*GB3①由余弦信号和正弦信号的时间无限长的特性，可以知道该信号是能量无限信号。同时，该信号是周期信号。令其周期为，则可以得到（n、m均是自然数）因此，取n=10，m=13，可以得到信号周期为。信号功率为所以信号是功率信号。=2\*GB3②该信号是非周期信号。信号能量，所以信号是能量信号。=3\*GB3③该信号是非周期信号。信号能量为所以信号是能量信号。（函数是在上幅度为恒1的门函数）。=4\*GB3④该信号是非周期信号。信号能量所以信号是能量信号。=5\*GB3⑤该信号是非周期信号，证明如下：的最小周期，的最小周期。假设和信号具有周期，那么应有也就是不存在满足以上等式的自然数n、m，因此不存在。由余弦信号的时间无限长特性可以知道该信号是能量无限信号。信号功率为所以信号是功率信号。（注：）2-12试分别用相关定理及卷积定理推导帕斯瓦尔（Parseval）定理。证明：=1\*GB2⑴用相关定理：由于，所以而，令可得即为Parseval定理。=2\*GB2⑵用卷积定理：由于，所以而，令可得故可得即为Parseval定理。2-13求如图E2.3所示周期信号的频谱密度函数及功率谱密度函数。图E2.3解：对于周期，其周期，。在一个周期上的截断信号为该截断信号可看做两个三角形函数的和：其中表示底宽为，高为1的等腰三角形函数：其傅里叶变换为因此，可以得到时周期信号傅里叶级数展开的系数为n=0时因此，。2-14用图解法求图E2.4中波形和的相关函数。图E2.4解：(a)由于，，所以自相关函数的波形如下图a所示：tth(t)0图a(b)由于，，所以自相关函数的波形如下图b所示：图b(c)由于，所以自相关函数的波形如下图c所示：图c(d)由于，所以自相关函数的波形如下图d所示：图d(e)由于，所以自相关函数的波形如下图e所示：2-15试计算高斯函数的傅里叶变换，并比较和，从中能得出什么样的结论？[提示：]解：由可以得到，所以我们可以得出这样的结论：高斯函数的傅里叶变换仍为高斯型函数。2-16信号如图E2.5所示。试①用自相关函数的定义求出的自相关积分；②求的能谱密度及总能量，并验证：图E2.5解：（1）由自相关函数的定义有所以，f(t)的自相关函数为（2）对自相关函数做傅里叶变换即得能量谱密度如下，总能量为验证：总能量（注：）2-17设有两个正弦信号：及，试证明及具有相同的功率谱密度函数，并求出其功率谱密度函数和平均功率。证明：由于，所以，故同理可求得得证既然两者有相同的自相关函数，而功率谱密度函数是自相关函数的傅里叶变换，因此也有相同的功率谱密度函数。功率谱密度函数为平均功率为2-18给定，其中。试求：=1\*GB3①自相关函数；=2\*GB3②功率谱密度函数。解：=1\*GB3①是周期函数，其周期为。=2\*GB3②对做傅里叶变换就可以得到，2-19利用帕斯瓦尔定理计算下列定积分：①②③解：=1\*GB3①由于，所以由帕斯瓦尔定理有=2\*GB3②由于，所以由帕斯瓦尔定理有=3\*GB3③由于被积函数为奇函数，所以积分结果为0。2-20=1\*GB3①推导信号的希尔伯特变换式；=2\*GB3②利用=1\*GB3①中的结果求出所给信号f(t)的解析信号形式；=3\*GB3③画出=2\*GB3②中求出的解析信号的幅度谱图。解题思路：由可以看出，在时域求f(t)的希尔伯特变换式较简便。解：=1\*GB3①根据希尔伯特变换式的时域定义，可以得到=2\*GB3②根据解析信号的定义，可以得到f(t)的解析信号形式为=3\*GB3③由可以得到解析信号的频谱密度函数为因此解析信号的幅度谱为如下图所示2-21分别求出下列两个脉冲信号的希尔伯特变换。①，②,解题思路：根据两个脉冲信号的时域和频域特性的不同，对=1\*GB3①选择先求出其希尔伯特变换式的频谱密度函数，再做傅里叶反变换求其时域希尔伯特变换式；对=2\*GB3②选择直接在时域求出其希尔伯特变换式。解:（1）由于，所以，于是（2）由于，所以2-22设，试求①的频谱密度函数；②取多大时，可认为是窄带信号；③若满足窄带条件，写出其解析信号表达式。解：=1\*GB3①可以用两种方法求f(t)的频谱密度函数。方法一：直接对f(t)做傅里叶变换：方法二：，则的傅里叶变换为=2\*GB3②由于，它相当于把向左右搬移至中心角频率处，而的3dB带宽为,因此，只要中心频率，即可把看作窄带信号。=3\*GB3③当满足窄带条件时，它的复信号形式就是其解析形式，即这时其解析信号的频谱密度函数为2-23设信号通过一截止频率为1rad/s的理想LPF（低通滤波器），试求输出信号的能量谱密度，并确定输入信号与输出信号能量之间的关系。解：由于，所以输出信号的频谱为，于是输出信号的能量谱密度为输入信号能量为输出信号能量为显然，输出信号的能量小于输入信号的能量。2-24如图E2.6所示的信号通过传输函数为的线性系统，试计算当，及时，该系统输入、输出信号的功率谱密度及平均功率。图E2.6解：由于为周期为T的周期信号，，其一个周期为一底宽为T的三角形信号，因此可以得到其截断函数的傅立叶变换为因此，其傅里叶级数展开的系数为=1\*GB2⑴当时，输入信号功率谱密度：平均输入功率：输出信号功率谱密度：平均输出功率：=2\*GB2⑵当时，输入信号功率谱密度：平均输入功率：输出信号功率谱密度：平均输出功率：=3\*GB2⑶当时，输入信号功率谱密度：平均输入功率：输出信号功率谱密度：平均输出功率：（注：上面的证明用到了两个常用信号和的傅里叶变换。信号和的波形分别如下，1t1tt1）2-25设某一线性网络的传输函数为，是网络的冲激响应，当t<0，，若及分别是的实部和虚部，且在原点不包含冲激函数，试证明：及即、是频域内的Hilbert变换对。[提示：]解题思路：由2－2题的结论可以得到，。对其进行傅里叶变换，则有，。再根据提示：，对上式两边做傅里叶变换，即得证。证明：由于，而所以运用傅里叶变换性质——频域卷积定理，可以得到得证。2-26设有一FM-AM信号，其复数形式为。试证明在一定条件下必为解析信号，并说明该条件是什么？证明：设的傅里叶变换是。为复基带信号，因此是一个基带频谱。设带宽为，则的傅里叶变换为所以，当时，只在时非零，即为解析信号。2-27求窄带信号的复包络。解：由于所以的复包络为。2-28试用图解法画出下列给定的脉冲信号的自相关函数。①；②；③；④。解：=1\*GB3①当时由于自相关函数为偶函数，故有。（2）当时由于自相关函数为偶函数，故有。（3）当时由于自相关函数为偶函数，故有。（4）当时当时由于自相关函数为偶函数，故有。第三章随机信号与噪声分析3-1设某微波中继站由5个站组成，每个站故障率为P，求该线路正常工作的概率及故障概率。解：每个站的正常工作概率为1-P，则5个站均正常工作即线路正常工作的概率为，线路故障概率为。3-2令随机过程定义为：=1\*GB3①若B为常数，A在-1和+1之间均匀分布，画出一些样本函数。=2\*GB3②若A为常数，B在0和2之间均匀分布，画出一些样本函数。解：=1\*GB3①样本函数是一簇通过（0，B）点、均匀分布在图中虚线确定的区域内的直线。BBt-BBA=0A=1A=-1=2\*GB3②样本函数是一簇斜率均为A、均匀分布在图中区域内的平行直线002t3-3给定随机过程，定义另一个随机过程为式中，是任一实数。试证明：的均值和自相关函数分别为随机过程的一维和二维分布函数。解题思路：根据均值的定义可以证明第一问。证明第二问时，由于自相关函数定义为，可以把它看做两个随机变量和乘积的均值。根据Y(t)的分布可以写出这两个随机变量各自的分布，从而可以得到一个新的随机变量的分布。再根据均值的定义就可以求出Z的均值，即Y(t)的自相关函数。证明：由均值的定义可以得到恰为的一维分布函数。由Y(t)的分布，可以得到因此所以可以得到Y(t)的自相关函数为恰为的二维分布函数。得证。3-4给定一随机过程和常数，试以的自相关函数表示随机过程的自相关函数。证明：得证。3-5给定随机过程为：，式中，ω为常数，A、B是两个独立的正态随机变量，而且E[A]=E[B]=0，，试求的均值和自相关函数。解：直接对X(t)求均值，可以得到将代入其自相关函数表达式，可以得到3-6平稳随机过程的功率谱密度如图E3.1所示。试求①的自相关函数，并画出其图形；②中含有的直流功率；③中含有的交流功率；④对进行抽样，若要求抽样值不相关时，最高抽样率为多少？这些抽样值是否统计独立？图E3.1解：=1\*GB3①根据维纳-欣钦定理，可以得到=2\*GB3②直流功率为=3\*GB3③交流功率为=4\*GB3④若要抽样间隔为的抽样值之间不相关，则应有此时，最小抽样间隔为所以最高抽样速率为。这些抽样值是否独立取决于随机过程X(t)的分布。若X(t)服从高斯分布，那么任意间隔的抽样值均是高斯变量。当这些抽样值之间互不相关时，也是统计独立的。3-7设随机变量服从均匀分布，其概率密度函数为其他现按下列关系构造两个新的随机变量和：，①试分别写出和的概率密度函数；②试证明和是两个互不相关的随机变量；③试问和是否统计独立？解题思路：根据分布函数的定义求出X和Y的分布函数和，然后对其求导可以得到各自的概率密度函数；证明X和Y不相关只需运用互相关的定义即可；由于X和Y是随机变量z的函数，当时、，并且两者的关系是，由此可以得到X和Y的联合概率密度函数为。将联合概率密度函数与X和Y的各自一维概率密度函数的乘积比较，可以判断X和Y是否统计独立。解：①同样，②由互相关的定义，可以得到故X和Y互不相关。③由于因此由Z的概率密度函数可以得到X和Y的联合概率密度为所以X和Y不是相互统计独立。3-8随机过程由下式定义：，式中为一随机变量，其概率密度函数为试问随机过程是否是平稳的。解题思路：判断一个随机过程是否平稳，主要是看该随机过程的数学期望（均值）是否是常数，同时其自相关是否仅与时间间隔有关而与t无关。解：E[X(t)]是t的函数。自相关函数是t和的函数。所以X(t)是非平稳的。3-9令随机过程为：式中A和是常数，是随机变量。令=1\*GB3①计算X(t)的统计平均。由此对该过程的平稳性有什么结论？=2\*GB3②分别计算该过程的时间均方值和统计均方值。解：=1\*GB3①随机过程X(t)是随机变量的函数，因此可以计算其均值为E[X(t)]是与t有关的量，因此随机过程X(t)是非平稳的。=2\*GB3②根据时间均方值的定义，可以得到同样可以得到统计均方值为可以看到，尽管该过程是非平稳的，但是该过程的时间均方值和统计均方值相等。3-10已知平稳随机过程的自相关函数为试求的功率谱密度函数。解题思路：根据维纳-欣钦定理，对X(t)的自相关函数求傅里叶变换就得到X(t)的功率谱密度函数。在做傅立叶变换时，可以采用常用傅里叶变换对和傅里叶变换性质以简化计算。解：已知X(t)的自相关函数为由于所以可以得到＝3-11已知平稳随机过程的功率谱密度函数为其他试求的自相关函数。解题思路：与3-10题相反，本题是已知随机过程X(t)的功率谱密度函数，求其自相关函数。对X(t)的功率谱密度函数做傅里叶反变换，就可以求得其自相关函数。在做傅里叶反变换时，可以采用傅里叶变换的性质和常用傅立叶变换对简化计算。解：令，，则有而，故应用傅里叶频率卷积定理，可以得到：3-12令，式中和是常数。假设是广义平稳随机噪声过程，均值为0，其自相关函数为。=1\*GB3①确定的统计均值。=2\*GB3②确定的自相关函数。=3\*GB3③判断是否为广义平稳的。解：=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③r(t)的统计均值与t有关，自相关函数与t、有关，因此r(t)不是广义平稳随机过程。3-13假设是各态历经的，令，其中是的直流分量，是的交流分量。证明：=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③可以从中确定的直流分量吗？证明：=1\*GB3①由于是各态历经的，那么它是平稳随机过程，而且它的自相关函数只与有关，因此可以得到对两边同时取统计均值，可以得到因此等式两边应相等，故有因此得证。=2\*GB3②由上题的结论可以得到和是随机过程在t、两个时间点上的两个随机变量，当时两者在时间上相距无穷远，认为是互不相关的。因此由此可以得到=3\*GB3③由可以得到3-14令随机过程为：式中，A和是常数，是随机变量。令的概率密度函数为试确定的自相关谱密度（PSD）。解：对自相关函数做傅里叶变换，可以得到随机过程X(t)的功率谱密度为3-15若是周期函数（或者含有周期成分），证明：=1\*GB3①是周期函数（或者含有周期成分）。=2\*GB3②含有函数。解题思路：用随机过程的统计自相关函数的定义进行证明，并且假设x(t)是平稳随机过程。证明：=1\*GB3①若x(t)是周期函数，令，是周期，则有若x(t)含有周期成分，可以令，是以为周期的平稳随机过程，为平稳过程，两者平稳相联系，则有由前述证明可知是周期函数，另外因此也是周期函数。所以，含有周期成分。得证。3-16设通信系统由等式描述。=1\*GB3①证明=2\*GB3②当和相互独立，且均值为0时，简化=1\*GB3①的结论。证明：=1\*GB3①不失一般性，假设和均为平稳随机过程。由自相关函数的定义，可以得到r(t)的自相关函数为得证。=2\*GB3②当和相互独立时，可以得到而均值为零，即E[n(t)]=0，所以因此得证。3-17如图E3.2所示的RC电路系统中，如果输入信号的自相关函数为，试用时域方法求系统输出信号的自相关函数和均方值。E3.2解题思路：该系统为线性系统。首先由系统的频响函数求得其脉冲响应函数。根据平稳随机过程通过线性系统后其输出的自相关函数与输入过程的自相关函数、系统脉冲响应函数之间的关系（教材式（3.76））可以得到输出信号的自相关函数和均方值。解：RC电路系统的频率响应函数为，对其做傅立叶反变换，得RC电路系统的脉冲响应函数为所以，输出过程Y(t)的自相关函数为其均方值为3-18如图E3.2所示的RC系统中，若系统输入是功率谱为的白噪声，试用频域法求系统的输出的自相关函数，并计算其自相关时间。解题思路：由教材式（3.78）可以得到输出信号的功率谱密度，求其傅里叶反变换即可得到的自相关函数。由自相关时间的定义式（3.40）可以得到。解：RC电路系统的频率响应函数为（其中）则有因此由式（3.78）得到同样，由式（3.40）得到3-19设随机过程和是统计独立且平稳的。①试求的自相关函数，并证明是平稳随机过程；②若，其中，为常数，相位是在区间内均匀分的随机变量。试证明的自相关函数为式中，为的自相关函数。解题思路：证明一个随机过程是否（广义）平稳，主要是看其数学期望是否是常数、自相关函数是否只与时间间隔有关。解：=1\*GB3①均值（数学期望）为与时间t无关。自相关函数为只与时间间隔有关。综上，是平稳随机过程。=2\*GB3②Y(t)的自相关函数为因此Z(t)的自相关函数为得证。3-20证明若两随机过程和是相互独立的，则它们是互不相关的，即。解：根据互相关函数的定义，和的互相关函数可写为欲证明两随机过程相不相关，只需证明两过程的互协方差函数为0。和的互协方差函数为当随机过程和相互独立时，对任意t及，均有随机变量和相互独立。根据随机变量的特性“相互统计独立的随机变量的乘积的均值等于各自均值的乘积”，则有得证。（注：、分别表示随机过程和的数学期望。）3-21令两个随机过程和是具有零均值的联合高斯过程。互相关函数为：=1\*GB3①何时随机变量和相互独立？=2\*GB3②证明和是或不是独立随机过程。=1\*GB3①解：由于随机过程和均是高斯过程，所以随机变量和均是高斯变量。当两个高斯变量互不相关时，两者也是相互统计独立的。当时，和互不相关。这时即时，和互不相关，也就是相互统计独立。=2\*GB3②证明：由于和均是零均值，因此其互协方差函数只有在时互协方差函数为零，不是对所有均有。因此两过程是相关的。对两个随机过程，“若两过程相互独立，则两过程互不相关”。其逆否命题“若两过程相关，则两过程不是相互统计独立”也成立。因此，和不是相互统计独立的。得证。3-22如图E3.3所示的系统中，若为平稳随机过程，试证明系统的输出的功率谱密度函数。P3.12P3.12闻+大写图E3.3解题思路：应用“平稳随机过程通过线性系统，其输出随机过程的功率谱密度等于输入随机过程的功率谱密度与网络函数模平方的乘积”证明。证明：此系统的传输函数为其模平方为所以3-23如图E3.4所示的RL系统中，输入是功率谱密度为的白噪声，试用频域法求系统输出的自相关函数。图E3.4解题思路：利用求出输出过程的功率谱密度后，对其做傅里叶反变换，得到输出随机过程的自相关函数。解：此RL电路系统的频率响应函数为其模平方为因此，输出过程的功率谱密度为所以有3-24设线性系统的传输函数如图E3.5所示。若输入x(t)是高斯随机过程，其功率谱密度为图E3.5=1\*GB3①确定输出y(t)的自相关函数；=2\*GB3②确定y(t)的概率密度函数；=3\*GB3③何时两随机变量y1=y(t1)和y2=y(t2)相互独立？解：=1\*GB3①y(t)是高斯随机过程x(t)通过线性系统后的输出过程，因此有其中函数的定义请见习题2-24的解。y(t)的自相关函数为=2\*GB3②由于E[y(t)]=E[x(t)]H(o)=E[x(t)]而由于所以另外，y(t)的方差为由于高斯过程x(t)通过线性系统后的输出y(t)仍然是高斯过程，其均值为零，方差为，因此y(t)的概率密度函数为=3\*GB3③随机变量的均值为令可以得到时，有这表明的互相关（y(t)的自相关函数），即是互不相关的。对于高斯变量，互不相关意味着相互统计独立。因此，此时相互独立。3-25已知线性系统的传输函数（冲激响应）及输入信号的自相关函数（功率谱密度）如下所示：=1\*GB3①，B和为正常数=2\*GB3②，为正常数试求系统输出信号的自相关函数和功率谱密度。解：=1\*GB3①由于输入信号的功率谱密度为所以输出过程的功率谱密度为对其做傅里叶反变换，得到输出信号的自相关函数为=2\*GB3②对h(t)做傅里叶变换，可以得到系统传输函数为所以输出信号的功率谱密度为对其做傅里叶反变换得到输出信号的自相关函数为3-26如图E3.6所示的真空二极管，运用于温度为27℃的电路系统环境中，，。设系统的工作带宽为10kHz。试求①由二极管引起的在上的均方根噪声电压值；②由电阻性负载引起的在上的均方根噪声电压值；③由二极管及电阻性负载共同引起的在上的总的均方根噪声电压值。图E3.6解：=1\*GB3①二极管引起的是散弹噪声。电流功率谱密度为电流功率为均方根噪声电流值均方根噪声电压值=2\*GB3②电阻性负载引起的是热噪声。环境绝对温度T=273+27=300K。由式（3.84），均方根电压为：=3\*GB3③总电压功率为：3-27由一电阻源产生的有效噪声功率为W，其中是波尔兹曼常数，T为热力学温度。请计算在室温时（T=290K）由电阻产生的有效功率谱密度（每赫兹的功率）。解：电阻热噪声的频率范围为，噪声功率在该范围内近似均匀分布，所以有效噪声功率谱密度为3-28测得某线性系统输出噪声的均方根电压值为2mV，噪声为高斯型起伏噪声，试求噪声电压在–4mV~+4mV之间变化的概率为多少？解：设噪声均值为0。已知均方根电压＝2mV，则噪声方差由此可以写出高斯噪声的概率密度函数为噪声电压在–4mV~+4mV之间变化的概率为3-29设随机变量是图E3.7中所示的四种不同器件的输入电压，是对应的输出电压。若随机变量具有以下不同的概率密度函数，试分别求出相应的输出电压y的概率密度函数，并画出图形。图E3.7①；②；③（即为标准正态分布的随机变量）。解题思路：由概率知识：若随机变量X的函数为Y=g(X)，X的概率密度函数为，函数y=g(x)可微且是单调函数，其反函数x=h(y)也是单调函数，则Y=g(X)的概率密度函数为。由此可以解出a、c。b、d中y不是x的单调函数。因此采用其他方法：利用概率分布函数与概率密度函数之间的导数关系，先求出Y的分布函数（用X的分布函数表示），然后求导得到Y的概率密度函数。解：（a）y=g(x)=ax＋b是单调函数，所以也是单调函数。（为简化计算，假设a>0）=1\*GB3①＝10<x<1：，即。=2\*GB3②＝：，=3\*GB3③：b）y的分布函数为所以y的概率密度函数可表示为。=1\*GB3①f(x)=10<x<1：=2\*GB3②f(x)=e-xx>0：=3\*GB3③：c）：因此。（为简化计算，假设k>0）=1\*GB3①f(x)=10<x<1：=2\*GB3②f(x)=e-xx>0：=3\*GB3③：d）由图分析可得y与x的关系为同样由图分析可以得到所以=1\*GB3①：=2\*GB3②=3\*GB3③：3-30某服从瑞利分布的随机变量的概率密度函数为。=1\*GB3①求随机变量的分布函数；=2\*GB3②求概率P（），这里；=3\*GB3③当x为何值时，有最大值？=4\*GB3④证明：该瑞利分布的随机变量的均值为。解：=1\*GB3①设该随机变量为X，根据随机变量分布函数的定义，可以得到=2\*GB3②=3\*GB3③欲找到f(x)的最值点，令，得到由于，所以x=1时f(x)有最大值。=4\*GB3④根据，可以得到。得证。3-31窄带高斯噪声，已知其功率谱密度函数为，试证明的同相分量与正交分量的自相关函数相等，且为并思考从上式中得到什么结论。解：由教材式（3.99）得到对上面第一个式子两边乘以，得到即是窄带过程，其功率谱密度P(f)及的傅里叶变换如下图所示：ffP(f)ff由于同相分量和正交分量是低通过程，因此由上图可以看到，表示的低频分量（LP，LowPass），表示的高频分量。可以将表示作对上式做傅里叶变换，有对于P(f)，定义一个新的功率谱密度函数，它与P(f)的关系是图示如下：ff因此所以令，因此有再由，就可将上式化简为同理也可得到正交分量的自相关函数也为得证。3-32设有一频带受限的高斯白噪声，其功率谱密度为，频率范围为–100~+100kHz。①试证明该噪声的均方根电压值约为0.45V；②试求该噪声的自相关函数。当取何值时，与是不相关的？③试求在任一时刻，超过0.45V和0.9V的概率各为多少？④写出的二维概率密度函数，并与以下两种情况下的一维概率密度函数和相比较：（a）=2.5s；（b）=5s。解：=1\*GB3①电压功率为均方根电压值＝=2\*GB3②因噪声的均值=，故当时，即时（），，与是不相关的。=3\*GB3③=4\*GB3④=2.5s时：，另有，。因此，可以写出的二维概率密度函数为=5s时：，不相关，因此相互统计独立，所以3-33如图E3.8所示，余弦波和窄带高斯噪声混合加到同步检波器上。设窄带高斯高斯噪声的数学期望为零，方差为1。=1\*GB3①写出检波器输出的表示式；=2\*GB3②求的一维概率密度函数；=3\*GB3③求小于的概率；=4\*GB3④求小于0的概率。理想低通理想低通图E3.8解：=1\*GB3①余弦波信号通过乘法器后的输出为窄带噪声通过乘法器后的输出为两者均通过理想低通滤波器后得到的和输出为=2\*GB3②是数学期望为0，方差为1的高斯过程，因此是数学期望为1.5，方差为1的高斯过程。所以，的一维概率密度函数为=3\*GB3③=4\*GB3④3-34设理想低通滤波器的输入是功率谱密度为的白噪声，理想低通滤波器的带宽为BHz，传输函数的幅度为A，试求：低通滤波器输出噪声的自相关函数；输出噪声的平均功率，并将结果与相比较。解：=1\*GB3①=2\*GB3②输出噪声平均功率3-35功率谱密度为、均值为零的高斯白噪声，通过一个中心频率为、带宽为2B的理想带通滤波器，求输出自相关函数。解：输出过程的功率谱密度为的傅里叶反变换为，因此输出过程的自相关函数为3-36设噪声的功率谱如图E3.9所示。①试求的自相关函数，并画出波形；②试求的均方值（功率）；③若把写成窄带噪声形式，试分别求出、、和。图E3.9解：=1\*GB3①图示如下：=2\*GB3②=3\*GB3③是n(t)的同相分量和正交分量，根据习题3-31中的推导，可以得到所以，第五章幅度调制系统5-1以占空比为1:1、峰—峰值为的方波为调制信号，对幅度为的正弦载波进行标准幅度调制，试①写出已调波的表示式，并画出已调信号的波形图；②求出已调波的频谱,并画图说明。解：①令方波信号为，则其中。②取方波信号一个周期的截断信号，求得其傅里叶变换为则根据式（2.17）可以得到方波信号的傅里叶变换为所以已调信号的傅里叶变换为时域及频域图如下所示：5-2已知线性调制信号表示如下：①②设，试分别画出S1(t)和S2(t)的波形图和频谱图。解题思路：对于形如题目所给信号，即可以表达为两个正弦波乘积的形式，一个为载频信号（频率较高，快变化）、一个为基带调制信号（频率较低，慢变化），均可以将慢变化基带信号看作包络，快变化载频看做高频振荡载波，以此作图。解：=两信号的波形图和频谱图如下所示：5-3已知调制信号的频谱为载波信号为画出下列已调信号频谱的草图：=1\*GB3①双边带调制；=2\*GB3②调制指数为0.5的AM调制；=3\*GB3③传输上边带的单边带调制；=4\*GB3④传输下边带的单边带调制。解：=1\*GB3①已调信号频谱如图所示：=2\*GB3②由于因此调制指数这时的载波幅度应为因此作图如下：=3\*GB3③已调信号频谱如图所示：=4\*GB3④已调信号频谱如图所示：5-4已知调制信号，载波，实现DSB调制，试画出该信号加到包络解调器后的输出波形。解：DSB已调信号波形及包络解调器输出波形如下图所示：5-5试分析DSB解调当解调载波存在相位误差时对解调性能的影响解：设调制载波为，存在相位误差的解调载波为。已调信号为解调时：分析：当时，，正确解调；当时，：5-6若基带信号如图E5.1所示，用该信号对载波进行DSB调制，并将已调信号送入一包络检波器的输入端。试确定检波器的输出波形，并说明输出波形是否产生失真？若产生失真原因何在？怎么才能作到不失真检出？图E5.1解：检波器的输出波形如下图所示：输出波形有失真。原因是已调信号包络没有包含全部幅度信息，信号有过零点，幅度信息还包含在已调信号相位上。当采用包络检波时，，只得到了部分幅度信息，因此有失真。要想无失真，应对DSB－SC信号插入同频大载波，A0。5-7用双音测试信号计算一个50kW（未调制时）的AM广播发射机。发射机外接50Ω负载，测试信号m(t)=A1cosω1t＋A1cos2ω1t，f1=500HZ。试：=1\*GB3①计算AM信号的包络；=2\*GB3②确定90%调制（调幅指数m=90%）下的A1值=3\*GB3③确定90%调制时通过50Ω负载的电流峰值和电流有效值。解：=1\*GB3①未调制载波信号为，在外接50Ω负载的情况下信号功率为因此得到AM已调信号为因此AM信号包络为=2\*GB3②根据定义，调幅指数可表示为因此=3\*GB3③通过50Ω负载的峰值电压为，因此电流峰值为，电流有效值为。5-8对基带信号m(t)进行DSB调制，m(t)=cosω1t＋2cos2ω1t，ω1=2πf1，f1=500HZ，载波幅度为1。试：=1\*GB3①写出该DSB信号的表达式，画出该波形；=2\*GB3②计算并画出该DSB信号的频谱；=3\*GB3③确定已调信号的平均功率。解：=1\*GB3①DSB信号的表达式为=2\*GB3②该DSB信号的频谱为=3\*GB3③已调信号的平均功率为5-9设SSB发射机被一正弦信号m(t)调制，m(t)=5cosω1t，ω1=2πf1，f1=500Hz，载波幅度为1。试：=1\*GB3①计算m(t)的希尔伯特变换m^(t)；=2\*GB3②确定下边带SSB信号的表达式；=3\*GB3③确定SSB信号的均方根（rms）值；=4\*GB3④确定SSB信号的峰值；=5\*GB3⑤确定SSB信号的平均功率。解：=1\*GB3①m(t)=5cosω1t，其傅里叶变换为其希尔伯特变换的频谱为因此m(t)的希尔伯特变换为=2\*GB3②下边带SSB信号的表达式为=3\*GB3③以LSB信号为例：=4\*GB3④由LSB信号的表达式可以知道SSB信号峰值为=5\*GB3⑤SSB信号平均功率为5-10若基带信号是由频率为及、幅度均为1V的正弦波组成的双音频信号。用该基带信号对频率为100kHz，振幅为2V的正弦载波进行SSB调制。①试求已调波的表达式及其对应的频谱；②画出已调波的波形。解：①已知基带信号为载波信号为则DSB信号为滤去下边带，得；滤去上边带，得其频谱分别为②以为为例：，画图如下：5-11设调制系统如图E5.2所示，为了在输出端分别得到f1（t）和f2（t），试确定接收端的c1(t)和c2(t)。解：图中相加器的输出为，时，右边上半支路输出为：时，右边下半支路输出为：5-12设调制信号为，载波为，用该调制信号对载波进行标准幅度调制，试求当时，已调波的总