初三数学三角函数应用

初三数学三角函数应用1.小楠家附近的公路上通行车辆限速为千米/小时．小楠家住在距离公路米的居民楼（如图8中的P点处），在他家前有一道路指示牌正好挡住公路上的段（即点和点分别在一直线上），已知∥，，，小楠看见一辆卡车通过处，秒后他在处再次看见这辆卡车，他认定这辆卡车一定超速，你同意小楠的结论吗请说明理由．ABPMN（图8）(参考数据：ABPMN（图8）2.如图是某货站传送货物的平面示意图，AD与地面的夹角为60°．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°成为37°，因此传送带的落地点由点B到点C向前移动了2米．（1）求点A与地面的高度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米，那么请判断距离D点14米的货物(参考数据：sin37°取，cos37°取，tan37°取，取)BB第4题图BC37°A45°DⅡⅠ60°3.如图10，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点到球心的长度为厘米，小球在左、右两个最高位置时（不考虑阻力等其他因素），细绳相应所成的角为.OEOEFG图10（2）联结，求的余切值.4.通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can，如图（1）在△ABC中，AB=AC，底角B的邻对记作canB，这时canB，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的。根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°=；（2）如图（2），已知在△ABC中，AB=AC，canB，，求△ABC的周长．BBAA第10题（2）BCC第10题（1）B5.如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2千米，点B位于点A北偏东60°方向且与点A相距10千米处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A正北方向的点D处．北东CDBE北东CDBEAl（第12题图）（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，，，）6.冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机。某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼。该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼前面15米处要盖一栋高20米的新楼.已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°.(参考数据：sin29°≈；cos29°≈；tan29°≈(1)中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么(2)若要使得超市采光不受影响，两楼应至少相距多少米（结果保留整数）7.如图，要在宽为28米的公路AB路边安装路灯，路灯的灯臂CD长为3米，且与灯柱BC成150°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DE与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DE能过公路路面的中点时照效果最理想。问应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果。（结果保留根号）AADB灯柱3米150°第18题图公路轴线CE年5月，第42届世博会将在上海隆重开幕，为了体现“城市让生活更美好”的理念，市政府对许多基础设施进行修缮。如图，某地下车库的入口处有斜坡长为5米，其坡度为，为增加行车安全，现将斜坡的坡角改造为．（参考数据：，，，）（1）求车库的高度；（2）求斜坡新起点与原起点的距离（结果精确到0.1米）．、9.林场工作人员王护林要在一个坡度为5∶12的山坡上种植水杉树，他想根据水杉的树高与光照情况来确定植树的间距.他决定在冬至日（北半球太阳最偏南），去测量一棵成年水杉树，测得其在水平地面上的影长AB=16米，测得光线与水平地面夹角为，已知.（如图1）（1）请根据测得的数据求出这棵成年水杉树的高度（即AT的长）；NM光线水平线山坡TNM光线水平线山坡TTTBA光线水平线（图1）（图2）10.小明是世博志愿者，前不久到世博园区参观。园区的核心区域“一轴四馆”（如左图所示）引起了他的关注。小明发现，世博轴大致上为南北走向，演艺中心在中国馆的正北方向，世博中心在中国馆的北偏西45°方向，且演艺中心、世博中心到中国馆的距离相等.从中国馆出发向西走大约200米，到达世博轴上的点E处，这时测得世博中心在北偏西°方向。小明把该核心区域抽象成右侧的示意图（图中只显示了部分信息）.（1）把题中的数据在示意图上标出，有关信息用几何语言加以描述（如AB∥MN等）；（2）试求出中国馆与演艺中心的距离（精确到1米）．NME..NME..A中国馆世博轴.B演艺中心世博中心C.主题馆D.东北（世博核心区域的示意图） 11.高速公路BC(公路视为直线)的最高限速为120千米／时(即米／秒)．在该公路正上方离地面20米的点A处设置了一个测速仪（如图九所示）．已知点A到点B的距离与点A离地面的距离之比为13:5，点A测得点C的俯角为30°．(1)求点B与点C的距离；(2)测速仪监测到一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是秒，试通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速(参考数据：)BBC。。（图九）Ａ12..教材中第25章锐角的三角比，在这章的小结中有如下一段话：锐角三角比定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系.在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.BCBCA（1）sad的值为（▼）A.B.1 C. D.2（2）对于，∠A的正对值sadA的取值范围是▼.（3）已知，其中为锐角，试求sad的值.三角函数的应用复习题1.小楠家附近的公路上通行车辆限速为千米/小时．小楠家住在距离公路米的居民楼（如图8中的P点处），在他家前有一道路指示牌正好挡住公路上的段（即点和点分别在一直线上），已知∥，，，小楠看见一辆卡车通过处，秒后他在处再次看见这辆卡车，他认定这辆卡车一定超速，你同意小楠的结论吗请说明理由．ABPMN（图8）(参考数据：ABPMN（图8）解：同意小楠的结论．过点作，垂足为．∵MN∥AB，∴，在Rt△PQA中，∵，∴在Rt△PQB中，∵，∴∴≈，∵千米/小时＞千米/小时．（1分）∴小楠的结论是正确的AAPBCQ（第2题图）2.已知：如图，斜坡AP的坡度为1∶，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈，cos76°≈，tan76°≈）解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．∵斜坡AP的坡度为1∶，∴．设AH=5k，则PH=12k，由勾股定理，得AP=13k．∴13k=26．解得k=2．∴AH=10．答：坡顶A到地面PQ的距离为10米．（2）延长BC交PQ于点D．∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ．∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH．∵∠BPD=45°，∴PD=BD．设BC=x，则x+10=24+DH．∴AC=DH=x-14．在Rt△ABC中，，即．解得，即．答：古塔BC的高度约为19米．第3题图3.小明在电视塔上高度为米的处，测得大楼楼顶的俯角为。小杰在大楼楼底处测得处的仰角为.第3题图（1）求大楼与电视塔之间的距离；（2）求大楼的高度（精确到1米）．（参考数据：解：(1)由题意可知：，，在中,∴，解得∴大楼与电视塔之间的距离的长为。(2)过点D点作DF⊥AB，垂足为F．由题意可知：，，，在中,∴∴∴大楼的高度约为。4．.如图是某货站传送货物的平面示意图，AD与地面的夹角为60°．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°成为37°，因此传送带的落地点由点B到点C向前移动了2米．（1）求点A与地面的高度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米，那么请判断距离D点14米的货物(参考数据：sin37°取，cos37°取，tan37°取，取)BB第4题图BC37°A45°DⅡⅠ60°解：（1）作AE⊥BC于点E，设,在Rt△ACE中，，在Rt△ABE中，，∵BC=CE-BE，解得．答：点A与地面的高度为6米．（2）结论：货物Ⅱ不用挪走．在Rt△ADE中，∴CD=CE+ED=∴货物Ⅱ不用挪走．5，一艘轮船自南向北航行，在处测得北偏东方向有一座小岛，继续向北航行60海里到达处，测得小岛此时在轮船的北偏东°方向上．之后，轮船继续向北航行约多少海里，距离小岛最近（第5题图）北东（参考数据：，，，）（第5题图）北东解：过点作的垂线，垂足为点．设，在Rt中，，∴．在Rt中，，∵，∴．∴，∵，，解，得．答：轮船继续向东航行约15海里，距离小岛C最近.6．如图7，小岛正好在深水港口的东南方向，一艘集装箱货船从港口出发，沿正东方向以每小时30千米的速度行驶，分钟后在处测得小岛在它的南偏东方向，求小岛离开深水港口的距离.（精确到千米）ABC北北（图7）参考数据：，，，，.ABC北北（图7） 【方法一】过点作，垂足为．在中，，∴，在中，，∴∴≈．【方法二】过点作，交延长线于．在中，，设，∴．∵∴，∴，得∴答：小岛离开深水港口的距离是千米．（图六）HFE（图六）HFEDABCCH的高度，在地面的点E处用测角器测得旗杆顶点C的仰角∠CAD＝45°，再沿直线EF向着旗杆方向行走10米到点F处，在点F又用测角器测得旗杆顶点C的仰角∠CBA＝60°；已知测角器的高度为1.6米，求旗杆CH的高度（结果保留根号）．解：根据题意，设DB=米在Rt△CBD中，∠CBD=60°∴CD=DB·tan60°=米在Rt△ACD中，∠CAD=45°∴CD=AD=米∴+=10解得米CD=米∴CH=米答：旗杆CH的高度是米．8．将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=12，求（1）重叠的边DF的长度（2）重叠部分四边形DBCF的面积解8。.

12-4√3；48√3-60

9。如图10，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点到球心的长度为厘米，小球在左、右两个最高位置时（不考虑阻力等其他因素），细绳相应所成的角为.OEOEFG图10（2）联结，求的余切值..解：（1）过点作，垂足为点.OEFG图10HOEFG图10H根据题意，可知在中，∵，∴.∴.（2）联结.在中，∴.10．通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的，因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can，如图（1）在△ABC中，AB=AC，底角B的邻对记作canB，这时canB，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应的。根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）can30°=；（2）如图（2），已知在△ABC中，AB=AC，canB，，求△ABC的周长．BBAA第10题（2）BCC第10题（1）B解：（1）can30°=-（2）∵在△ABC中，canB，∴-设过点A作AH垂足为点H，∵AB=AC∴∵∴∴∴△ABC的周长=．-11。解：过点C作CD⊥AE，垂足为点D，此时轮船离小岛最近，BD即为所求．由题意可知：∠A=°，AB=80海里，∠CBE=°．在Rt△ACD中，tan∠A=，；同理：；∴，解得：．12．如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2千米，点B位于点A北偏东60°方向且与点A相距10千米处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A正北方向的点D处．北东CDBE北东CDBEAl（第12题图）（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，，，）12．解：（1）作BH⊥l，垂足为点H，则线段BH的长度就是点B到航线l的距离．根据题意，得∠ADE=90°，∠A=60°，∴∠AED=30°．又∵AD=2，∴AE=4，．∵AB=10，∴BE=6．∵∠BEH=∠AED=30°，∴BH=3，．（2）在Rt△BCH中，∵∠CBH=76°，∴．∴．又∵，∴CD=CH-DH=．∴．答：该轮船航行的速度约为每小时40.6千米．13．如图11，世博园段的浦江两岸互相平行，C、D是浦西江边间隔200m的两个场馆．海宝在浦东江边的宝钢大舞台处，测得，然后沿江边走了500m到达世博文化中心处，测得，求世博园段黄浦江的宽度(结果可保留根号)．BBDCF浦西浦东A（图11）13，解：过点作∥交于点,∵∥，∴四边形是平行四边形∴，，∵,又，∴，∴在中，==答：世博园段黄浦江的宽度为．14．．冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机。某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼。该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房.在该楼前面15米处要盖一栋高20米的新楼.已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°.(参考数据：sin29°≈；cos29°≈；tan29°≈(1)中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么(2)若要使得超市采光不受影响，两楼应至少相距多少米（结果保留整数）14解：（1）沿着光线作射线AE交CD于点F,过点F作FG⊥AB于点G由题意,在Rt△AFG中，GF=BC=12,∴，∴∵，∴居民住房会受影响（2）沿着光线作射线AE交直线BC于点E.由题意,在Rt△ABE中，AB=20,∴，∴至少要相距37米660ABCGFHD1米E（第15题图）15．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，每级小台阶都为0.4米.现要做一个不锈钢的扶手AB660ABCGFHD1E（第15题图）（1）求点D与点C的高度差DH的长度；（2）求所用不锈钢材料的总长度（即AD＋AB＋BC，结果精确到0.1米（参考数据：，，，）15．解：（1）DH＝＝（米）.（2）过点B作BM⊥AH，垂足为M.由题意得：MH＝BC＝AD=1，.∴AM＝AH－MH＝＝.在Rt△AMB中，∵，∴AB＝（米）.∴＝AD＋AB＋BC（米）.答：点D与点C的高度差DH为米；所用不锈钢材料的总长度约为米.66660ABCGFHD1EM16.教材中第25章锐角的三角比，在这章的小结中有如下一段话：锐角三角比定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系.在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.BCBCA（1）sad的值为（▼）A.B.1 C. D.2（2）对于，∠A的正对值sadA的取值范围是▼.（3）已知，其中为锐角，试求sad的值.16、解：（1）B；（2）；BCDHA(3)如图，在△ABC中，∠ACB=，sin∠BCDHA在AB上取点D，使AD=AC，作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，则AD=AC==4k，又在△ADH中，∠AHD=，sin∠A.∴，.则在△CDH中，，.于是在△ACD中，AD=AC=4k，.由正对定义可得：sadA=，即sad.17如图9，小杰在高层楼点处，测得多层楼最高点的俯角为，小杰从高层楼处乘电梯往下到达处，又测得多层楼最低点的俯角为，高层楼与多层楼之间的距离为．已知米，求多层楼的高度．（结果精确到1米）参考数据：，，，，．CCEABD图917.解：过点作，垂足为由题意，得：，……1分，在Rt△中，∴∴∴∵∴在Rt△中，∴∴∴（米）答：多层楼的高度约米.18．如图，要在宽为28米的公路AB路边安装路灯，路灯的灯臂CD长为3米，且与灯柱BC成150°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DE与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DE能过公路路面的中点时照效果最理想。问应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果。（结果保留根号）ADADB灯柱3米150°第18题图公路轴线CEFGADB灯柱3米150°第18题图公路轴线CE18解：过点C作CFBADEF（第19题图）50.1米18.66米决定在冬至日（北半球太阳最偏南），去测量一棵成年水杉树，测得其在水平地面上的影长AB=16米，测得光线与水平地面夹角为，已知.（如图1）BADEF（第19题图）（1）请根据测得的数据求出这棵成年水杉树的高度（即AT的长）；（2）如图2，他以这棵成年水杉树的高度为标准，以冬至日阳光照射时前排的树影不遮挡到后排的树为基本要求，那么他在该山坡上种植水杉树的间距（指MN的长）至少多少米(精确到米)TTBA光线水平线NMNM光线水平线山坡T（图2）21、解：（1）在中，，令则,即，解得，∴.答：这棵成年水杉树的高度为12米.（2）作,垂足为，在中,，令，则，又在中，，∴，，由，解得，∴≈.答：在该山坡上种植水杉树的间距至少11.2米.图7BADCH22．如图7：某水坝的横断面为梯形，坝顶宽为米，坝高为米，斜坡的坡度，斜坡的坡角为．图7BADCH求（1）斜坡的坡角；（2）坝底宽（精确到米）．（参考数据：，）22.解：（1）斜坡的坡角是，即.∵，∴.∴.（2）过点作，垂足为点.由题意可知：（米），（米）.在中，∵，∴（米）.在中，∵，∴.∴（米）.∴.（米）.答：斜坡的坡角为，坝底宽约为米.DC23．如图8，沙泾河的一段两岸、互相平行，、是河岸上间隔60米的两个电线杆．小明在河岸上的处测得，然后沿河岸走了120米到达处，测得，求该段河流的宽度的值．（结果精确到0．1米，计算中可能用到的数据如下表）DC角度35°0．570．820．7070°0．940．342．75ABABF图823．解：过作,交.（如图）∴四边形是平行四边形）答：河流的宽度的值约为米.24．小明是世博志愿者，前不久到世博园区参观。园区的核心区域“一轴四馆”（如左图所示）