因式分解法直接开平方法

解一元二次方程的算法本节内容1.2——1.2.1因式分解法，直接开平方法

如何解1.1节问题一中的方程：探究

(35-2x)2-900=0．①可以用平方差公式，把方程①的左边因式分解．

我们已经会解一元一次方程，

首先，观察方程①的左边，可不可以通过因式分解把它表示成两个一次多项式的乘积？

自然会想：能不能把一元二次方程降低次数，转化为若干个一元一次方程呢？先把方程①写成(35-2x)2-302=0.(35-2x)2-900=0．①把此方程的左边因式分解

(35-2x+30)(35-2x-30)=0，即(65-2x)(5-2x)=0.②因此，从方程②得

65-2x=0或5-2x=0．③得x=32.5或x=2.5.即方程①有两个解，通常把它们记成x1=32.5，x2=2.5.其次，我们知道:“如果pq=0，那么p=0或q=0.”最后分别解③中的两个一元一次方程

对于问题一，x2=2.5符合题意，即人行道的宽度为2.5m．上述解一元二次方程的方法叫作因式分解法.(35-2x)2-900=0．①

容易看出

x1=32.5不符合题意(为什么?)，应当舍去；方程①还有其他解法吗？

动脑筋

(35-2x)2-900=0．①这种解一元二次方程的方法，叫作直接开平方法．把方程①写成(35-2x)2=900，这表明35-2x是900的平方根，因此

或

，即35-2x=30

或35-2x=-30．解得x=2.5或x=32.5．举例例1解方程：

4x2-25=0.

原方程可以写成

(2x)2-52=0，解:(解法一)把方程左边因式分解，得

(2x+5)(2x-5)=0.由此得出

2x+5=0或2x-5=0.解得

，

4x2-25=0.直接开平方，得

或即

原方程可以写成

解:(解法二)可以直接开平方计算举例例2解方程：

(x+1)2-2=0.原方程可以写成解:(解法一)把方程左边因式分解，得

=0.由此得出

或

.解得

x1=

，x2=

.我们可以用因式分解法解这个方程。直接开平方，得

=

，或

=

.原方程可以写成

解:(解法二)

(x+1)2-2=0.

=

.解得

x1=

，x2=

.(x+1)2x+1x+1我们可以用直接开平方法解这个方程。小提示在解方程时，只要写出一种解法就行．请同学自己小结这两种解法，并应用你的小结去解下面的练习题．练习解下列方程：（1）9x2-49=0；（2）36-x2=0；（3）(x+3)2-16=0；（4）(1-2x)2-3=0.

原方程可以写成

62-x2=0，（1）9x2-49=0

，解

原方程可以写成

(3x)2-72=0，把方程左边因式分解，得

(3x+7)(3x-7)=0.由此得出

3x+7=0或3x-7=0.解得

，

（2）36-x2=0

，解把方程左边因式分解，得

(6+x)(6-x)=0.由此得出

6+x=0或6-x=0.解得

，

（3）(x+3)2-16=0

，

解

原方程可以写成

(x+3)2-42=0，把方程左边因式分解，得

(x+3+4)(x+3-4)=0.由此得出

x+7=0或x-1=0.解得

，

（4）(1-2x)2-3=0

，解

原方程可以写成

(1-2x)2-=0，把方程左边因式分解，得

(1-2x+)(1-2x-)=0.由此得出

1-2x+=0或1-2x-

=0.解得

，

如何解1.1节问题二中的方程：动脑筋0.01t2-2t=0. ④

可以用提公因式法把方程④的左边因式分解．把方程④的左边因式分解，得

t(0.01t-2)=0.⑤

由此得出

t=0或

0.01t-2=0 解得

t1=0，

t2=200. t1=0表明小明与小亮第一次相遇；t2=200表明经过200s小明与小亮再次相遇．

举例例3解下列方程：

（1）5x2+15x=0；（2）x2=4x.

（1）5x2+15x=0

把方程左边因式分解，得

5x(x+3)=0.解:由此得出

5x=0或x+3=0.解得

x1=0

，x2=-3.

（2）x2=4x

把方程左边因式分解，得

x(x-4)=0.由此得出

x=0或x-4=0.解得

x1=0

，x2=4.

原方程可以写成

x2-4x=0.解:说一说

小刚在解例3第(2)题的方程时，把方程两边同除以x，得x=4.这样做对吗？为什么？

不对，因为在方程x2=4x中，x可以为0.如果方程两边除以x，而0不能作除数，所以是不对的，还会造成增根.举例例4解下列方程：

（1）x(x-5)=3x；（2）2x(5x-1)=3(5x-1).

（1）x(x-5)=3x

原方程可以写成

x(x-5)-3x=0.解:由此得出

x=0或x-5-3=0.解得

x1=0

，x2=8.

把方程左边因式分解，得

x(x-5-3)=0.

（2）2x(5x-1)=3(5x-1)

把方程左边因式分解，得

(5x-1)(2x-3)=0.由此得出

5x-1=0或2x-3=0.

原方程可以写成

2x(5x-1)-3(5x-1)=0.解:解得

小提示

从例1至例4看到，解一元二次方程的基本方法之一是因式分解法，即通过移项使方程右边为0，然后把左边分解成两个一次因式的乘积，从而转化成一元一次方程，进行求解．练习1.解下列方程：（1）x2-7x=0；（2）3x2=5x.（1）x2-7x=0

，解把方程左边因式分解，得

x(x-7)=0.由此得出

x=0或x-7=0.解得

x1=0，

x2=7.

（2）

3x2=5x

，

原方程可以写成

3x2-5x=0，把方程左边因式分解，得

x(3x-5)=0.由此得出

x=0或3x-5=0.解得

，

解2.解下列方程：（1）2x(x-1)=1-x；（2）5x(x+2)=4x+8.（2）5x(x+2)=4x+8

，

解原方程可以写成

5x(x+2)-4(x+2)=0，把方程左边因式分解，得

(5x-4)(x+2)=0.由此得出

5x-4=0或x+2=0.解得

，.

（1）2x(x-1)=1-x

，解

原方程可以写成