高中数学同步讲义（人教A版必修一）：第02讲 1.2集合间的基本关系（教师版）

第02讲1.2集合间的基本关系课程标准学习目标①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集;②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。2．在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。3.能利用Venn图表达集合间的关系。4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。知识点01：图（韦恩图）在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。对图的理解(1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.(2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.知识点02：子集1子集：一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集（1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”)（2）性质：①任何一个集合是它本身的子集，即.②对于集合，，，若，且，则（3）图表示：2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系.【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）写出集合的所有子集．【答案】【详解】集合的所有子集有：知识点03：集合相等一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.

（1）的图表示（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关【即学即练2】（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）下面说法中不正确的为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A，因，，即，A正确；对于B，因集合的元素为有序数对，而的元素为实数，两个集合的对象不同，B不正确；对于C，因集合与都表示大于2的数形成的集合，即，C正确；对于D，由列举法表示集合知正确，D正确.故选：B知识点04：真子集的含义如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集;（1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”)（2）性质：①任何一个集合都不是是它本身的真子集.②对于集合，，，若，且，则（3）图表示：【即学即练3】（2023·全国·高三专题练习）满足条件：的集合M的个数为______.【答案】7【详解】由可知，M中的元素个数多于中的元素个数，不多于中的元素个数因此M中的元素来自于b,c,d中，即在b,c,d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个，故足条件：的集合M的个数有7个，故答案为：7.知识点05：空集的含义我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作：规定：空集是任何集合的子集，即;性质：①空集只有一个子集，即它的本身，(2)，则和和和相同点都表示无都是集合都是集合不同点表示集合；是实数不含任何元素含有一个元素不含任何元素含有一个元素，该元素为：关系或者【即学即练4】（2023·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）有下列四个命题：①＝{0}；②{0}；③{1}{1，2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，故①错误，②正确；，故③正确，④错误，正确的个数为2.故选：B题型01判断两个集合的包含关系【典例1】（2023·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】对于A：集合为点集，含有元素，集合含有两个元素，，所以不包含于，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：因为，所以，故D正确；故选：A【典例2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知，，所以.故选：B.【典例3】（2023·高三课时练习）已知集合，，，则、、的关系满足（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，，，所以.故选：B．【典例4】（2023·高一单元测试）设集合，，则集合与的关系是______．【答案】【详解】因为，，显然，而，所以中元素都属于，而中元素，所以.【变式1】（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意，，，，而，{偶数}，因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即，所以.故选：C题型02判断子集（真子集）的个数【典例1】（2023·陕西咸阳·统考三模）设集合，则集合的真子集个数是（

）A．6 B．7 C．8 D．15【答案】B【详解】因为，所以，所以集合A的真子集个数是，故选：B．【典例2】（2023·高一单元测试）已知集合，，则满足条件的集合的个数为_____个.【答案】31【详解】集合，，由得,所以是的真子集故有，故答案为：31【变式1】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知，，且，满足这样的集合的个数（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【详解】根据题意可知，集合还应包含集合中除元素1，2之外的其他元素；若集合中有三个元素，则可以是；若集合中有四个元素，则可以是；若集合中有五个元素，则可以是；即这样的集合的个数为7个.故选：B【变式2】（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（

）A．4 B．8 C．15 D．16【答案】D【详解】集合，,，故有个子集.故选：D．题型03求集合中子集（真子集）【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若使成立的实数的取值集合为，则的一个真子集可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】由题意集合，，因为，所以当时，，即；当时，有，解得，故,则M的一个真子集可以是或，故选：BC.【典例2】（2023·高一课时练习）设，若用列举法表示，则集合是________.【答案】{∅，{1}，{2}，{1,2}}【详解】由题意得，A＝{1,2}，B＝{x|x⊆A}，则集合B中的元素是集合A的子集：∅，{1}，{2}，{1,2}，所以集合B＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，故答案为：{∅，{1}，{2}，{1,2}}.【变式1】（多选）（2023秋·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）已知集合，集合是的真子集，则集合N可以是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】集合，集合，则集合中至少包含2，4两个元素，又不能等于或多于，2，3，4，中的元素，所以集合可以是,,,故选：ABC题型04空集的概念集判断【典例1】（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是(

)A． B．C． D．【答案】D【详解】A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集；C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x|x>6且x<1}=.故选：D【典例2】（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；③空集是任意集合的子集，故，正确；④空集没有任何元素，故，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.【变式1】（2023·上海·高一专题练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（

）A．1 B．3 C．4 D．6【答案】C【详解】①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，表示空集，而表示的是含这个元素的集合，所以不成立.④错误，表示空集，而表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以不成立；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，由元素与集合的关系知，．故选：C.【变式1】（多选）（2023·全国·高一校联考阶段练习）下列关系中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】选项A：空集中没有元素，故A错误；选项B：中只有一个元素，故B正确；选项C，D：空集是任意集合的子集，故C，D正确故选：BCD题型05空集的性质及应用【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知集合，且，则实数的取值范围是____.【答案】m≥1【详解】∵M＝∅，∴2m≥m＋1，∴m≥1.故答案为m≥1【典例2】（2023·高一课时练习）不等式组的解集为，则实数的取值范围是_____________.【答案】【详解】解：∵不等式组的解集为，①当时，由求得；由，求得，故不等式组的解集为，故不满足条件；②当时，由求得；由，求得，若，即时，不等式组的解集为，满足条件；若，即时，不等式组的解集为，不满足条件，综上可得实数的取值范围是，故答案为：．【变式1】（2022秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合为空集，则实数的取值范围是______.【答案】或【详解】因为集合为空集，所以，即或.故答案为：或题型06判断两个集合是否相等【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】对AD，两集合的元素类型不一致，则，AD错；对B，由集合元素的无序性可知，，B对；对C，两集合的唯一元素不相等，则，C错；故选：B【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列与集合表示同一个集合的有（

）A． B． C． D．【答案】AC【详解】由解得,所以，所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合，集合的元素是和两个数，的元素是和这两个等式，与集合M的元素是有序数对(可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点)不同,故BD错误.故选：．【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下面说法中，正确的为（

）A． B．C． D．【答案】ACD【详解】解：方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确；表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误；集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确．故选：ACD．题型07根据两个集合相等求参数【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则等于（

）A．1或2 B．或 C．2 D．1【答案】C【详解】解：因为，所以，解得或.当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.经检验可知符合.故选：C【典例2】（2023秋·广东广州·高一秀全中学校考期末）已知集合，.(1)若，求实数的值；【答案】(1)【详解】（1）由已知得，解得；【变式1】（2023秋·广东江门·高一统考期末）设，，，若P=Q，则_________.【答案】-2【详解】，，若P=Q，则有，.故答案为：-2.题型08根据集合的包含关系求参数【典例1】（2023·吉林·统考模拟预测）已知集合，若，则实数（

）A．或1 B．0或1 C．1 D．【答案】B【详解】解：由集合，对于方程，当时，此时方程无解，可得集合，满足；当时，解得，要使得，则满足，可得，所以实数的值为或.故选：B.【典例2】（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知集合，且，则实数的值是_________．【答案】-3【详解】因为，，，所以是方程的解，即，解得.经检验，符合题意，所以.故答案为：.【典例3】（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）已知集合（1）当时，求实数的值；（2）当时，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【详解】分析：利用一元二次不等式的解法，化简集合化简集合（1）利用集合相等的定义可得结果；（2）利用子集的定义可得结果.详解：由，可得，所以由可得，集合（1）因为，所以；（2）因为，所以，即实数的范围是.【变式1】（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）已知集合，，则使成立的实数a的取值范围是_____．【答案】【详解】因为，所以，解得，故实数a的取值范围是.故答案为：【变式2】（2023·高一课时练习）已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B⊆A，求实数a，b的值．【答案】a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝1或a＝0，b＝﹣1或a2﹣4b＜0．【详解】因为B={x|x2﹣ax+b＝0}，且B⊆A，①当B中有一个元素时，B＝{1}或B＝{﹣1}当B＝{1}时，，解得a＝2，b＝1；当B＝{﹣1}时，，解得a＝﹣2，b＝1；②当B中有两个元素时，B＝A，即B＝{﹣1，1}，，解得a＝0，b＝﹣1；③当时，只需满足a2﹣4b＜0，题型09新定义题【典例1】（2023·全国·高一专题练习）给定集合，对于，如果，那么是的一个“好元素”，由的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【答案】6【详解】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有，共有6个.故答案为：6．【典例2】（2023·高一课时练习）设是整数集的一个非空子集，对于，若且，则是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个．【答案】7【详解】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是，，，，，，，共7个．故答案为：7.本节重点方法（数轴辅助法）【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．【答案】或【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，或要使，只需或，解得或．所以实数的取值范围或.故答案为：或【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围是________．【答案】或【详解】当时，，即，满足要求；当时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或，解得或．

综上，实数的取值范围为或.故答案为或.本节数学思想方法（分类讨论法）【典例1】（2023·高一课时练习）已知集合，，且，求实数的取值范围．【答案】或【详解】由题意知，若，则，解得，若，，解得或，当时，则方程为，解得，此时，不合题意，舍去，当时，则方程为，解得，，不合题意，舍去，当，即，解得或，则由题意知，则1,4为方程两根，根据韦达定理得，综上所述的范围是或.【典例2】（2023·高一课时练习）已知集合.(1)若，，求实数的取值范围；(2)若，，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）①若，则，即，此时；②若，则，解得.综合①②，得实数的取值范围是.（2）（2）若，则，解得，所以实数的取值范围是.本节易错题（忽略空集）【典例1】（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）集合或，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为或，，当时，此时，符合题意；当时，若则，因为，所以，解得，又，所以，若则，因为，所以，解得，又，所以，综上可得，即实数的取值范围是.故选：C【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值构成的集合为___________.【答案】【详解】∵集合，∴集合，∵，，∴，或，或三种情况，当时，可得；当时，∵，∴，∴；当，，∴；∴实数m的取值构成的集合为，故答案为：1.2集合间的基本关系A夯实基础B能力提升C综合素养A夯实基础一、单选题1．（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）已知集合且，则集合A的子集的个数为（

）A．15 B．16 C．31 D．32【答案】D【详解】因为且，可知，集合中含有5个元素，所以集合的子集个数为.故选：D.2．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得，解得，故，因为，所以.故选：A3．（2023春·湖北孝感·高一统考开学考试）下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（

）A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤【答案】C【详解】解：①中，是集合中的一个元素，，所以①错误；②中，空集是任一集合的子集，所以②正确；③中，是的子集，，所以③错误；④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确；⑤中，是的元素，所以⑤正确.故选：C.4．（2023春·云南红河·高二校考阶段练习）已知集合，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，，所以由数轴法可知.故选：C．5．（2023·北京东城·高三专题练习）已知集合，集合.若，则实数的取值集合为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由于，所以，所以实数m的取值集合为.故选：C6．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考阶段练习）已知集合，且，则实数（

）A．1 B．2 C．1或2 D．0【答案】A【详解】因为集合，且，所以，且，则，解得：，故选：.二、多选题7．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）给出下列四个结论，其中正确的结论有（

）A．B．若，则C．集合是无限集D．集合的子集共有4个【答案】BCD【详解】对于A：是指不含任何元素的集合，故A错误；对于B：若，则，故B正确；对于C：有理数有无数个，则集合是无限集，故C正确；对于D：集合元素个数为2个，故集合的子集共有个，故D正确．故选：BCD．8．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则或 D．若时，则或【答案】ABC【详解】，若，则，且，故A正确.时，，故D不正确.若，则且，解得，故B正确.当时，，解得或，故C正确.故选：ABC．三、填空题9．（2023·全国·高一专题练习）已知集合M满足则集合M的个数为______．【答案】7【详解】因为，所以可以为：，，，，，，共计7个，故答案为：7.10．（2023·高一单元测试）已知集合有且仅有两个子集，则的取值集合为___________.【答案】【详解】由题意，集合有且仅有两个子集，则集合只有一个元素，当时，，解得，符合题意；当时，，解得或，当时，，符合题意，当时，，符合题意.综上所述，的取值集合为.故答案为：.四、解答题11．（2023·高一课时练习）设集合，，且．(1)若，求实数的值；(2)若，且，求实数的值．【答案】(1)，(2)或【详解】（1）由解得，所以，因为，所以是集合中元素，所以将代入得，解得，.（2）因为，由（1）得是集合中元素，当即时，此时符合题意；当时，①，此时符合题意；②，此时不满足集合元素的互异性，舍去；综上或.12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－<x≤2}．若B⊆A，求实数a的取值范围．【答案】实数a的取值范围.【详解】解：时，A＝R，B＝{x|－<x≤2}，满足B⊆A，符合题意；时，，因为B⊆A，所以，解得，时，，因为B⊆A，所以，解得，故综上可知，实数a的取值范围为.B能力提升1．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（

）A． B． C． D．与互不包含【答案】C【详解】对于集合，当时，，当时，，所以.故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】集合，或又，所以或即或，即所以的取值范围为故选：D3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（

）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】BCD【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，当时，，所以，所以，满足要求；当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，故选：BCD.4．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，则实数a的取值范围是________．【答案】a<－4或a>2【详解】①当a>3即2a>a＋3时，A＝，满足；.②当a3即2aa＋3时，若，则有，解得a<－4或2<a≤3综上，实数a的取值范围是a<－4或a>2.故答案为：a<－4或a>25．（2023·全国·高三专题练习）设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是______________(写成集合形式).【答案】【详解】由知，集合B为A的非空子集或空集，即或，解得或故答案为：C综合素养1．（2023·全国·高三专题练习）设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（

）A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集【答案】B【详解】解：对于集合，可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集；当时，，，可得是的子集；当时，，且，可得不是的子集；综上有，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集.故选：B.2．（2023·全国·高三专题