新疆巴州三中2024届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

新疆巴州三中2024届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在矩形中，，在该矩形内任取一点M，则事件“”发生的概率为（）A. B.C. D.2．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（）A（e，4） B.（e，4]C.（e，4） D.（，4]3．已知函数，则满足不等式的的取值范围是（）A. B.C. D.4．已知空间向量，则（）A. B.C. D.5．设各项均为正项的数列满足，，若，且数列的前项和为，则（）A. B.C.5 D.66．数列满足，对任意，都有，则（）A. B.C. D.7．设，则A.2 B.3C.4 D.58．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=09．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为A. B.C. D.10．设函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（）A.5.25 B.10.5C.5.5 D.1111．2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日12．直线的一个法向量为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知、是椭圆（）长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线，的斜率分别为，（）．若椭圆的离心率为，则的最小值为______14．如图，已知与所在平面垂直，且，，，点P、Q分别在线段BD、CD上，沿直线PQ将向上翻折，使D与A重合．则直线AP与平面ACQ所成角的正弦值为______15．一个高为2的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为.16．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到焦点的距离为2，则p＝__三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在一次重大军事联合演习中，以点为中心的海里以内海域被设为警戒区域，任何船只不得经过该区域．已知点正北方向海里处有一个雷达观测站，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东，且与点相距海里的位置，经过小时又测得该船已行驶到位于点北偏东，且与点相距海里的位置（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）该船能否不改变方向继续直线航行？请说明理由18．（12分）如图甲，在直角三角形中，已知，，，D，E分别是的中点.将沿折起，使点A到达点的位置，且，连接，得到如图乙所示的四棱锥，M为线段上一点.（1）证明：平面平面；（2）过B，C，M三点的平面与线段A'E相交于点N，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN与平面A'BC所成角的正弦值.①；②直线与所成角的大小为；③三棱锥的体积是三棱锥体积的注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．（12分）已知圆，直线（1）证明直线与圆C一定有两个交点；（2）求直线与圆相交的最短弦长，并求对应弦长最短时的直线方程20．（12分）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，且正四棱锥的体积为.（1）该正四棱锥的表面积的大小；（2）二面角的大小.(结果用反三角表示)21．（12分）如图，C是以为直径的圆上异于的点，平面平面分别是的中点.（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成角的正切值为2，求锐二面角的余弦值.22．（10分）已知圆台的上下底面半径分别为，母线长为．求：（1）圆台的高；（2）圆台的体积注：圆台体积公式：，其中，S分别为上下底面面积，h为圆台的高

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】利用几何概型的概率公式，转化为面积比直接求解.【详解】以AB为直径作圆，当点M在圆外时，.所以事件“”发生的概率为.故选：D2、B【解析】结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围.【详解】解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，，由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减，在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴，又，所以当时，，当时，，则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在，图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，，可得a–4≤0<e<，解得ea≤4故选:B【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化.3、A【解析】利用导数判断函数的单调性，根据单调性即可解不等式【详解】由则函数在上单调递增又，所以，解得故选：A4、C【解析】A利用向量模长的坐标表示判断；B根据向量平行的判定，是否存在实数使即可判断；C向量数量积的坐标表示求即可判断；D利用向量坐标的线性运算及数量积的坐标表示求即可.【详解】因为，所以A不正确：因为不存在实数使，所以B不正确；因为，故，所以C正确；因为，所以，所以D不正确故选：C5、D【解析】由利用因式分解可得，即可判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，从而得到数列，数列的通项公式，进而求出【详解】等价于，而，所以，即可知数列是以为首项，为公差的等差数列，即有，所以，故故选：D6、C【解析】首先根据题设条件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂项相消法求和即可.【详解】由，得，则，所以，.故选：C.【点睛】本题考查累加法求数列通项，考查利用错位相减法求数列的前n项和，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.7、B【解析】利用复数的除法运算求出，进而可得到.【详解】，则，故，选B.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题8、A【解析】设出直线方程，利用待定系数法得到结果.【详解】设与直线平行的直线方程为，将点代入直线方程可得，解得则所求直线方程为．故A正确【点睛】本题主要考查两直线的平行问题，属容易题．两直线平行倾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以与直线平行的直线方程可设为9、A【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=选A10、B【解析】利用平均变化率的公式即得.【详解】∵，∴.故选：B.11、C【解析】分析可得每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为，分析首次达到1万元的值，即得解【详解】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为.因为为增函数，且，所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.故选：C12、B【解析】直线化为，求出直线的方向向量，因为法向量与方向向量垂直，逐项验证可得答案.【详解】直线的方向向量为，化为，直线的方向向量为，因为法向量与方向向量垂直，设法向量为，所以，由于，A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误；故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】设出点，，，的坐标，表示出直线，的斜率，作和后利用基本不等式求最值，利用离心率求得与的关系，则答案可求详解】解：设，，，，，，，，，，，当且仅当，即时等号成立，是椭圆长轴的两个端点，，是椭圆上关于轴对称的两点，，，即，的最小值为，椭圆的离心率为，，即，得，的最小值为故答案为：14、##【解析】取的中点，的中点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，设，根据求出，再由空间向量的数量积即可求解.【详解】取的中点，的中点，如图以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，由，即，解得，所以，故，设为平面ACQ的一个法向量，因为，，由，即，所以，设直线AP与平面ACQ所成角为，则.故答案为：15、6【解析】2r=2，r=1，S表=2rh+2r2=4+2=6.16、2【解析】根据已知条件，结合抛物线的定义，即可求解【详解】解：∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点P（1，y0）（y0＞0）到焦点的距离为2，∴由抛物线的定义可得，，解得p＝2故答案为：2三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）海里/小时；（2）该船要改变航行方向，理由见解析.【解析】（1）设一个单位为海里，建立以为坐标原点，正东、正北方向分别为、轴的正方向建立平面直角坐标系，计算出，即可求得该船的行驶速度；（2）求出直线的方程，计算出点到直线的距离，可得出结论.【小问1详解】解：设一个单位为海里，建立以为坐标原点，正东、正北方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，则坐标平面中，，且，，则、、，，所以，所以、两地的距离为海里，所以该船行驶的速度为海里/小时.【小问2详解】解：直线的斜率为，所以直线的方程为，即，所以点到直线的距离为，所以直线会与以为圆心，以个单位长为半径的圆相交，因此该船要改变航行方向，否则会进入警戒区域18、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得证；（2）分别选①，②，③可求得为的中点，再以为坐标原点，向量的方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.利用空间向量求得所求的线面角.【小问1详解】分别为的中点，.，，.，，平面.又平面，∴平面平面.【小问2详解】（2）选①，；，，，，为的中点.选②，直线与所成角的大小为；，∴直线与所成角为.又直线与所成角的大小为，，，为的中点.选③，三棱锥的体积是三棱锥体积的，又，即，为的中点.∵过三点的平面与线段相交于点平面，平面.又平面平面，，为的中点.两两互相垂直，∴以为坐标原点，向量的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则；.设平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为.由，得.令，得.则.∴直线与平面所成角的正弦值为.19、（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】（1）由，变形为求解直线过的定点，即可得解；（2）法一：由圆心和连线与直线垂直求解；法二：由圆心到直线距离最大时求解.【小问1详解】解：，所以，令，所以直线经过定点，圆可变形为，因为，所以定点在圆内，所以直线和圆C相交，有两个交点；【小问2详解】法一：圆心为，到距离为，圆心与连线的斜率为，最短弦与圆心和的连线垂直，所以，所以最短弦长为，直线的方程为法二：圆心到直线距离：，，要求d的最大值，则，当且仅当时，d的最大值为，所以最短弦长为，直线的方程为.20、（1）（2）【解析】（1）首先求出球的半径，即可得到四棱锥的棱长，再根据锥体的表面积公式计算可得；（2）取中点，联结，即可得到，从而得到为二面角的平面角，再利用余弦定理计算可得.【小问1详解】解：设球的半径为，则解得，所以所有棱长均为，因此【小问2详解】解：取中点，联结，因为均为正三角形，因此，即为二面角的平面角.，因此二面角的大小为.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由分别是的中点，得到，在由是圆的直径，所以，结合面面垂直的性质定理，证得面，即可证得面；（2）以C为坐标原点，为x轴，为y轴，过C垂直于面直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：在，因为分别是的中点，所以，又因为是圆的直径，所以，又由平面平面，平面平面，且平面，所以面，因为，所以面.【小问2详解】解：由（1）知面，所以直线与平面所成角为，由题意知，以C为坐标原点，为x轴，为y轴，过