点和圆直线和圆的位置关系（一）

24.2点和圆、直线和圆的位置关系（一）1、点和圆的位置关系符号表示设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d<r。注：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。2、经过已知点作圆（1）经过一个点A作圆：以点A以外任意一点为圆心，以这一点与点A的距离为半径就可以作出，这样的圆有无数个（图1）；（2）经过两点A、B作圆：由于所作圆的圆心到A、B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线上，这样的圆可以作出无数个（图2）；（3）经过不在同一条直线上的三点作圆：所求的圆要经过A,B,C三点，所以圆心到这三点的距离要相等。因此，这个点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上。作圆步骤：①分别作出线段AB的垂直平分线l1和线段BC的垂直平分线l2，设它们的交点为O②以点O为圆心，OA(或OB、OC)为半径，作出经过A、B、C三点的圆。因为过A,B,C三点的圆的圆心只能是点O，半径等于OA，这样的圆只有一个（图3），即不在同一条直线上的三个点确定一个圆。3、三角形的外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。4、反证法：不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种方法叫做反证法。题型一判断点与圆的位置关系【例1】已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP=7cm时，点A与⊙O的位置关系是（A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上C．点A在⊙O外 D．不能确定【答案】A【解析】解：∵A为线段OP的中点，OP=7cm∴OA=1∴点A在⊙O内，故选A；【变式11】在平面直角坐标系中，将平行四边形ABCD的顶点A置于坐标原点，点B坐标为-10,0，点D坐标为2,4，以AB为直径画圆，则顶点C与这个圆的位置关系是()A．点C在圆内 B．点C在圆上 C．点C在圆外 D．不能确定【答案】B【解析】解：设AB的中点为E，∵四边形ABCD为平行四边形，A点坐标为0,0，点B坐标为-10,0，点D坐标为2,4，∴点A到点B向左移动10个单位长度，点D到点C也向左移动10个单位长度，∴C点坐标为-8,4，又∵AB的中点为E，∴E点坐标为-10+02,0+0∴EC=∵A点坐标为0,0，点B坐标为-10,0，以AB为直径画圆，∴⊙E的半径为1∴点C在⊙E上．故选：B【变式12】在平面直角坐标系中，⊙P是以点P(3,4)为圆心，5为半径的圆．则下列说法正确的是（

）A．原点O在⊙P外 B．原点O在⊙P内C．原点O在⊙P上 D．无法确定【答案】C【解析】解：∵点P的坐标是3,4，∴OP=而⊙O的半径为5∴OP等于圆的半径，∴点P在⊙O上．故选：C【变式13】在平面直角坐标系xOy中，作以原点O为圆心，半径为4的⊙O，则点4,2与圆的位置关系是：在圆．【答案】外【解析】解：点4,2到圆心O的距离d=∵25∴点4,2在⊙O【变式14】已知⊙O的半径r=4，点A到圆的最近距离为1.5，则点A到圆的最远距离为；若点A到⊙O的最近距离为4.3，则点A与圆的位置关系是（填“在圆外、在圆上或在圆内”）．【答案】6.5或9.5在圆外【解析】解：∵⊙O的半径r=4，点A到圆的最近距离为∴点A在圆内或者圆外，∴当点A在圆内时，点A到圆的最远距离为：4×2-1.5=6.5；当点A在圆外时，点A到圆的最远距离为：4×2+1.5=9.5；∵当点A到⊙O的最近距离4.3，⊙O的半径r=4∴此时点A在圆外；故答案为：6.5或9.5，点A在圆外．题型二利用点与圆的位置关系求解【例2】已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是（

）A．2cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】A【解析】解：∵点P在半径为5cm的圆内，∴点P到圆心的距离小于5cm，∴四个选项中只有A选项符合题意，【变式21】已知点P到圆心O的距离为3，若点P在圆外，则⊙O的半径可能为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】解：∵点P在圆外，且d=3，∴r<3，故选：【变式22】若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最远距离为5，最近距离为3，则此圆的半径为．【答案】4或1【解析】解：设⊙O的半径为r当点P在⊙O外时，r当点P在⊙O内时，r综上可知此圆的半径为4或1，【变式23】已知⊙O的圆心与坐标原点重合，半径为r，若点A(2,0)在⊙O内，点P(2,2)在⊙O外，则r的取值范围是．【答案】2<【解析】解：由题意知，OA=2，OP∵点A(2,0)在⊙O内，点P(2,2)∴2<r【变式24】已知点P到⊙O上所有点的距离中，最大距离为7厘米，最小距离为3厘米，那么⊙O的半径长等于厘米．【答案】2或5【解析】解：如图：当点P在圆内时，最大距离为7厘米，最小距离为3厘米，则直径是10厘米，因而半径是5厘米；当点P在圆外时，最大距离为7厘米，最小距离为3厘米，则直径是4厘米，因而半径是2厘米．题型三三角形外接圆的认识【例3】三角形的外接圆：经过三角形的的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的交点，叫做三角形的，三角形的外心到三角形的距离相等．【答案】三个顶点三条边垂直平分线外心三个顶点【解析】解：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．【变式31】已知∠A=90°，作出△ABC的外接圆⊙M（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．【答案】见解析【解析】解：如图所示，⊙M．【变式32】如图，⊙O是△ABC的外接圆，则点O是△ABC的（

）A．三条高线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点 D．三角形三内角角平分线的交点【答案】B【解析】∵⊙O是△∴点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交点，故选：B【变式33】如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述不正确的是（

）A．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 B．O是△BEC的外心，O不是△BCD的外心C．O是△AEC的外心，O不是△BCD的外心 D．O是△ADB的外心，O不是△ADC的外心【答案】C【解析】解：连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC∴OA∵四边形OCDE为正方形，∴OA∴OA=OB=OCOA=OE=OB，即OA=OC=OE，即OB=OA≠OD，即O不是【变式34】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠OAC=20°，则∠B=（

）A．40° B．60° C．70° D．80°【答案】C【解析】解：∵△ABC是⊙∴OA=OC，∴∠ACO=∠OAC=20°，∴∠AOC=180°∠OAC∠ACO=140°，∴∠B=题型四求三角形外心坐标【例4】如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标为（1，3）、（5，3）、（1，－1），则△ABC外接圆的圆心坐标是（

）A．（1，3） B．（3，1） C．（2，3） D．（3，2）【答案】B【解析】解：连接AB、AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两条垂直平分线交于点P，则点P为△ABC外接圆的圆心，由题意得：点P的坐标为（3，1），即△ABC外接圆的圆心坐标是（3，1），故选：B．【变式41】如图，△ABC，A(-1,3)，B(-2,-2)，C(4,-2)，则△ABC外心的坐标为（

）A．(0,0) B．(1,1) C．(1,0) D．(1,-2)【答案】C【解析】解：如图，取格点E，F，G，H，则直线GH是线段BC的垂直平分线，四边形AFCE是正方形，∴直线EF是线段AC的垂直平分线，记GH，EF的交点为Q，则Q为△ABC∵A(-1,3)，B(-2,-2)，∴直线GH为x=1，E4,3，设直线EF为y=∴4k+b∴直线EF为y=当x=1时，y∴Q1,0，即△ABC的外心坐标为：1,0．故选【变式42】如图，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC外接圆的圆心坐标是．【答案】1,2【解析】解：∵三角形的外接圆圆心为三角形三条边的垂直平分线的交点，∴作出边AB、BC的垂直平分线，如图所示，点P为△ABC∴△ABC外接圆的圆心坐标是1,2【变式43】△ABC中，A1,5、B1,1、C4,1，则△ABC【答案】5【解析】解：如图，∵A1,5、B1,1、∴AB⊥∴△ABC的外心是斜边AC∴外接圆的圆心坐标为：1+42,5+1【变式44】如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(2,0)，(3,3)，⊙M是△OAB的外接圆，则点M的坐标为．【答案】1,2【解析】解：如图，过点B作BE⊥x于E，作BF⊥y于F，连接EF，作OA的垂直平分线CD，垂足为C，交∵A2,0，CD垂直平分线OA∴OC=1，即点M的横坐标为1∵B3,3，BE⊥x∴OE=∴四边形OEBF为正方形，∴EF垂直平分OB，∴点M是△OAB∵OF=∴E3,0，F设直线EF的解析式为y=则3k+b∴直线EF的解析式为y=-当x=1时，y=2，∴题型五求三角形外接圆的半径【例5】直角三角形的两条直角边长分别是12cm，5A．5cm B．6.5cm C．12cm【答案】B【解析】解：直角三角形的斜边=12因为直角三角形的斜边为它的外接圆的直径，所以这个三角形的外接圆的半径为132=6.5cm【变式51】在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则这个三角形的外接圆的半径是【答案】5【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴AB∴其外接圆的直径为10，半径为5．【变式52】△ABC的三边为2，3，13，则外接圆的半径长为．【答案】132/【解析】解：∵22+3∴22∴△ABC∴△ABC的外接圆的直径为13，半径为132【变式53】如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A-1,3、B-2,-2、C4,-2，则△ABC外接圆半径的长为（A．32 B．23 C．10 D【答案】D【解析】解：设△ABC的外心为M∵B-2,-2、C∴M必在直线x=由图可知，线段AC的垂直平分线经过点1,0，∴M1,0如图，过点M作MD⊥BC于点D，连接Rt△MBD中，MD=2由勾股定理得：MB=即△ABC外接圆半径的长为13．故选D【变式54】一个直角三角形的两条边长是方程x2-8x+12=0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为【答案】6或2【解析】解：x2x-2解得：x1①当直角边分别为2，6时，斜边为：22+∵直角三角形的外接圆的直径即为直角三角形斜边的长，∴此时直角三角形外接圆的直径为210②当斜边为6时，此时直角三角形外接圆直径为6．故答案为：6或210题型六已知外心的位置求解【例6】点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的（

）A．三条垂直平分线交点 B．三条角平分线交点C．三条中线交点 D．三条高的交点【答案】A【解析】解：点I是△ABC的外心，则点I是△ABC的三条垂直平分线交点，故选：【变式61】△ABC的外心在三角形的一边上，则△ABC是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断【答案】B【解析】解：当△ABC的外心在△ABC的内部时，则当△ABC的外心在△ABC的外部时，则当△ABC的外心在△ABC的一边时，则△ABC【变式62】如图，点O是△ABC的外心，连接OA、OB，若∠OBA=20°，则∠AOB的度数为．【答案】140°【解析】∵点O是△ABC∴∴△AOB∵∠∴∠【变式63】设I为△ABC的外心，若∠BIC=100°，则∠A的度数为．【答案】50°或130°【解析】解：当三角形是锐角三角形∵I是△ABC∴圆心角∠BIC与圆周角∠A∴∠A∴∠A当三角形是钝角三角形，同理可得：∠A【变式64】已知△ABC和△ABD有相同的外心，∠D=70°，则∠C的度数是（

）A．70° B．110° C．70°或110° D．不能确定【答案】C【解析】解：若C、D在AB的同侧，如图1，则∠D=∠C=70°，若C、D在AB的异侧，如图2，则∠D+∠C=180°，∵∠C=70°，∴∠D=110°；综上，∠D=70°或110°．故选：C．题型七判断三角形外接圆的圆心【例7】如图中△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．(5,1) B．(4,2) C．(5,2) D．(5,3)【答案】C【解析】解：△ABC外接圆圆心的坐标为(5,2)

故选C．【变式71】如图，在Rt△ABC中，OB是斜边AC上的中线，以O为圆心，OB为半径画圆，则下列各点中，在⊙O内的是（

A．点A B．点B C．点C D．点O【答案】D【解析】解：因为三角形ABC是直角三角形又OB是斜边AC上的中线∴故A,B,C三点均在⊙O上，只有点O在【变式72】如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（

）A．△ABC B．△ABD C．△ABE D．△ABF【答案】C【解析】解：设小正方形边长为1，则：OA=OE=2根据三角形外心到各顶点距离相等可以判断：点O是△ABD不是△ABE的外心，故选：C【变式73】如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则⊙O的直径等于．【答案】4【解析】解：连接BO并延长交⊙O于D，连接CD则∠BCD∵∠BAC∴∠D∵BC=2∴BD=2【变式74】如图，在单位长度为1的8×8的正方形网格中建立一直角坐标系，△ABC的顶点A、B(1)在图中利用网格画出△ABC外接圆的圆心点D的位置；并写出点D的坐标为(2)在图中找出一格点E，画出∠AEC，使得∠【答案】(1)图见解析，（1，1）(2)见解析【解析】（1）解：如图，点D即为所求；点D的坐标1，（2）如图，由（1）得半径为12+32=题型八求能确定的圆的个数【例8】过一点可以作个圆；过两点可以作个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的上；过不在同一条直线上的三个点可以作个圆．【答案】无数无数垂直平分线一【解析】解：过一点可以作无数个圆；过两点可以作无数个圆；这些圆的圆心在两点所连线段的垂直平分线上；过不在同一条直线上的三个点可以作一个圆，【变式81】如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【解析】解：依题意，A,B；A,C；A,D；B,∴共有6个，故选：D．【变式82】已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出(

)．A．5个圆 B．8个圆 C．10个圆 D．12个圆【答案】C【解析】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆．故选C．【变式83】平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为．【答案】1个或3个或4个【解析】解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆；（2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆；（3）当四个点共圆时，只能确定一个圆．【变式84】如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为【答案】6【解析】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆A、以BH为斜边的两个直角