浅谈二次曲线的射影理论 论文

PAGE11PAGE11浅谈二次曲PAGE浅谈二次曲PAGE10的射影理论PAGEPAGE11PAGEPAGE10浅谈二次曲线的射影理论曲线进行了分类，得出五类曲线。前言射影几何起源于公元14011800分为这样几个时期：1401年中期到公元1601在绘画成就中透视法被普遍使用，几何学方面的成就并没有多少发展，而射影几何发展“迈出了具有决定意义的一步”是在1639年法国的笛沙格提出的；（2）公元1600年中期到到公元1800年初。几何学研究的普遍方法就是解析法；（3）公元1801年初至公元1901年。出现了许多杰出的几何学家，而这些几何学家使用的综合法和解析法让射影几何学得到了发展和完善。曲线射影理论的结论，便于相关学者能够熟悉掌握相关知识。1二次曲线的射影定义1.1二次曲线的射影定义定义1.1在2维射影空间上，3维点坐标(1,2,3)符合：3åijixj0ijaji)i,j这些点的轨迹就是二阶曲线,若aijÎ

R，并且至少有一个aij¹0，这个方程是二阶曲线的方程[1]。3方程åijixj0ijaji)也可以表示为：i,jöç ÷(1,2,321aça31

a23a33÷è ø其中Aij)为系数矩阵，A为系数行列式，ijaji。定义1.2在2为二阶曲线。3注：åijixj0ijaji)式中有iji,j

则二阶曲线退化。定理1.1两个中心不相同的射影对应的线束，它们对应直线的交点可以构成一条二阶曲线。证明设其为a-lb'-l

'b'，l,l

'代入得：all

'+cl

'+d-bc¹0)，消去l,l

'得a'ö+bö+c'ö+d，也即是'+bab'+ca'b+b b'bb b'bb'è ø

ç ÷ ç ÷è ø è ødbb'①其中a,b,ab'是x2,b的公共点和a'b'的公共点也符合①，定理得证。定理1.2 两个线束成射影对应，则对应直线的交点连接成二阶曲线，在其上任意取两个点作为中心，向投射到其它的点上，那么得到成射影对应的两个线束[1]。证明设以O和O'为中心的射影线束O(P)和O'(P)所生成了二阶曲线，任取二点B，令M为曲线上的动点,下面证明A(M)ÙB):如图1-1AM与OP,OB之交点为K，B'，BM与O'P，O'A之交点为K'，A'

，于是O(A,B,P,M'(A,B,P,M)，所以(A,BK,M(A,B,P,M)'(A,B,P,M)Ù(AB,KM)因此，(A,BK,M)Ù(AB,KM)。又M®M，故有(A,BK,M)Ù(AB,KM).所以AABBKK'共点于S。则有一透视对应链A(M(K'P(K)即A(M)ÙB)。证毕。图1-1例1求-l和x2-l解：两射影线束可以写成

'成l

'=ll

-1对应，那么该二阶曲线的方程。-lí即

2)2-l

-)30消去l，得-lí2x2

(2-3)02x2

-x2-所以x2xx

-xx为所求二阶曲线的方程。3 12 23 131.2二阶曲线、直线的关系3设两点为P(1,2,3)，Q1,2,3)，二阶曲线S为åijixj0ijaji)，i,j则Q上的点可以写成(1,2,3)则记Q与S的公共点为i=ili，i,,)。代入得：3åij(ili(pjlqj)0.i,j整理，得æ3 ö æ3 3 ö 3çå ijij÷ çå

ijij

å ijij÷

å ijij引入记号：j

aqq

l2+ø j

apq

+i,j

aqp

l+ø i,j

app

②ö3 ç ÷ 3öç ÷Sºåijixj(1,2,3)Aç2÷，Sppºåijipj(1,2,3)Aç2，i,j

ç ÷ i,jx3x

çp÷è ø è3øö3 ç ÷ 3öç ÷qpSpqºåijiqj(1,2,3)A2，Sqpºåijipj1,2,3)Aç2，qpi,j3

ç ÷è3øöç ÷

i,j3

ç ÷è3øöç ÷Spºåijixj(1,2,3)Aç2，

Sqºåijixj1,2,3)Aç2，i,j

ç ÷ i,jx3x

çx÷è ø其中A为系数矩阵，将②式改写为

è3øSl2

l③qq pq pp2A=Spq-SqqSpp位置关系A相交A相离AA0相切分为以下情况：⑴P点在S上：取Q坐标为(1,2,3)，从而有Sp0，即以P(1,2,3)切点的切线方程为⑵P点不在S上：通过P的切线方程为öp 1 2 3 ç2=Sº(p 1 2 3 ç2=xç ÷è3øx2，Spp·S=Sp它表示过P点的两条切线。例2设二阶曲线S:x2-2xx

+x2-x2，求过点P2,1)的切线方程。1 12 2 3解：QSpp¹0，\

二阶曲线S不存在P点坐标，则所求点P切线方程记为pp pS ·Spp p由-1 0öç öç ÷Sp1 1 0÷2x1-xç ÷x0 0 -1 3ç ÷ç øè ø所以切线方程为

(2 2 2) ( 23-2x1x2-

=2x1-2x2整理得1 2 3 12 13 23x2+x21 2 3 12 13 23也即是

(x-x

2x201 2 3所以也即是重合的直线，其方程为-x2æ ö例3当点P

5x2-2x2-xx上时，求切线方程。ç 2 ÷

1 2 3 13è ø解：将P代入可得2æ5öS -2´ +3´1-2-5-2，pp

2è ø所以P点在Spp上，则所要求的方程为Sp，1 0 -1æ ö ç ö÷æ 5 ÷

2 ç ÷02

-2 0è ÷1 0 3øè2 øö÷→ç,-è2

10,2.x÷è3øx所求切点方程为-210x2。2帕斯卡和布利安桑定理帕斯卡定理非退化的二阶曲线内接的任意一个简单的六点形，它的三对对应的边的公共点共线（图图2-1 图2-2证明：如图2-2，设简单的六点形，其对应边公共点分别为L,M,NLI,MI,NI，以为心，则有

1(2,4,5,6)3(2,4,5,6).设I=P,I，则1(2,4,5,6)L,4,5,P)，3(2,4,5,6)M,Q,5,6,所以(L,,,P)Ù(M,Q,,)，又®，故有(L,,,P)Ù(M,Q,,)，所以LM,三线交于一个公共点上，也就是点L,M,N共一条线。帕斯卡定理的一些特殊情况：图形五点形情况非退化的二阶曲线内接一个简单的五点形，它的任一条边与其所应的对顶点的切线的交点，以及其他两对不相邻的边的交点，三个点2-3）图2-3非退化的二阶曲线内。接一个简单的四点形，它的两对对应边的交点和两对对顶点的切线的（如图2-4）图2-4四点形情况非退化二阶曲线内接一个简单的四点形，它的一对对边的交点和另一对对边中每一条与其对应顶点的切线的交点，这三个点共一条线。（如图2-5）[1]图2-5三点形情况非退化的二阶曲线内接一个三点形，那么它每一顶点处的切线和对边的交点，三个点共一2-6）图2-6布利安桑定理图2-7例1在二阶曲线上选出六个点后，则有多少条帕斯卡线？对偶地，对于二级曲线情况如何？因为给定六个点后，简单六点形的边与这六个点的顺序有关，所以一般情况下，这样不全等的简单六点形有5!个，所以总共可以产生60条帕斯卡线。2同理对于给定六条线，简单六线形的顶点与这六条线的顺序有关，所以不全等的简单六线形也有5!个，故可产生60个布利安桑点。2例2切线？如图2-9，将五个点为,,,和相交，相交的直线记为L，和相交一个点M，LM记为连接相交l与N点连接可知，N即为的切线。

图2-93极点、极线，配极原则首先，给出共轭点的定义。定义3.1 给定两个点P,Q，它们的连线与一条非退化的二阶曲线(c)相交于两点M1,M2（PÏ

c)，且M1M2,Q)-1，那么在c)上P,Q的两个点是共轭的。定义3.2 二阶曲线上关于P点共轭的点集合构成一条直线，称其为P点是关于该二阶曲线的极线，点P也就是二阶曲线在直线上的极点。定理3.1 两个点P(1,2,3)，Q1,2,3)如果不在二阶曲线上，则该两点关于pq二阶曲线Sºåaijxj成共轭点的充要条件是S [1]。pq证明 假设M1,M2点既在直线PQ上，也在S上，设M1,M2坐标分别是M1(il1i,M2(il2i)，i,,3。因为M1M2

,PQ)=l1，所以P,Q成调和共轭的条件是l11，即l2 l2l12，故方程S

l2

l只需满足S 。qq pq pp pq定理3.2如果一个定点不在二阶曲线上，那么它关于一条二阶曲线的调和共轭点的轨迹为一条直线[1]。证明设定点为P(1,2,3)，二阶曲线为Sºåijixj0，调和共轭点为Q(1,2,3)由定理3.1，P,Q互为共轭点的充要条件为Spq0现设Q(i)为动点则Sp0直线Sp0是1,2,3一次齐次方程因此P(i)点的调和共轭点的集合构成一条直线。如图3-1。图3-1定理3.3任意一直线关于二阶曲线总能确定一极点[1]。证明令直线l:x2，二阶曲线方程是Sºåaijxjijaji,ij

¹0)，P(1,2,3)记作直线l的极点，则Spº111122133)1211222233)2311322333)30应与直线l重合，即p2=a21p2=a31p2¹0u2 即又aij

ìp2í211 222 23í211 222 233 2aapapapuî311 322 333 3¹0，所以①只有一个根，故极点P确定。例1在直线xy-18上，试求二阶曲线2xy-6xy-1关于P4)共轭的点。解：二阶曲线的齐次方程为：12 13 23 3Sº2x12 13 23 3那么二阶曲线S在P4)的极线为Sp，即1

-3öç öç ÷0 2ç ÷3 2

-1ø上式展开得到

ç ÷è ø-3x2①所求共轭点在直线

-18x3②上，联立①②得，:x2:7:5:1所以所求共轭点为(-7,5,1)也即是(-7,5).例2 给定两条二阶曲线T:ax2=2xx,T

:2xx

=ax2，试求二阶曲线T,T

的极线1 1 23 2 12 3 1 2是同一条直线的点。解： 点(a,b,c)关于的极线为0 0öxç öç ÷(a,b,c)0 0

-1çx2÷ç ÷-1 0ø即点(a,b,c)关于的极线为

è ø-cx2-⑴1 0öxç öç ÷b,c)1 0 0

çx2÷ç ÷0

-øè ø即-⑵因为⑴⑵表示同一直线，故

Aa=-c=-b令c，得abA。

b a -cA故所求点为-A,1)。例3 求二阶曲线在已知直线P的极点。解：如果二者，则P的极点既为切点；如果二者不是相切的，设B是P上的任意二个点，通过点A作两条割线，交二阶曲线分别于点A',C,D,EA'D与CE的交点是Q，AOA'E与CD的交点是RA点的极点是直线QRBa,b是B在二阶曲线上的极线。由图3-4，根据配极原则a,b的公共点P，即是p的极点。例4已知二阶曲线(c):2x2x

图3-4x

+x2，1 12 13 3（1）求点P2,1)关于(c)的极线。（2）求直线x2关于(c)的极点。解：（1）因为2´12´1´2´1´1+12所以P点不在(c)上，¹02 3öp ç ç2=Sp ç ç2=3 0 13 0 1 xè 3ø那么所求极线为9x10 1 2 3（2）设P(x0,x0,0 1 2 302 3ö0ç ÷öç÷2 0 0

x0=13 0 1 x00ç 3 0 1 x00解线性方程组

ç ÷ç÷è 3øèø1 2 3ì2x0+2x01 2 3ï2x0í 1ï3x0+x0î 1 3浅谈二次曲浅谈二次曲PAGE14的射影理论PAGE15PAGE15可得x0=1,x0=7,x031 2 2 4 3 2所以所求极点的坐标为(2,7,-6)。例5求二阶曲线(c)关于点(5,1,7)：2x2+x2-6xx

-2xx

-4xx1 2 3 12 13 23的极线。解：在(c)方程中代入点(5,1,7)，则2´52+3´12-6´5´1-2´5´7-4´1´726¹0那么此曲线上没有点(5,1,7)，(c)在点(5,1,7)的极线为32-3-132-3-11öçç ÷

-2ç-1

-2 1÷即x2

è ø所以所求极线的方程为x24二阶曲线的射影分类给定二阶曲线Sºåijixj,ijaji)则符合下式axax0ìaxax0ía21222 233aaxaxax0î311 322 333的点P(1,2,3)叫做S0的奇异点。可以得到：当ij)秩为2时，S0有唯一奇异点。当ij)秩为1时，S0有无穷多个奇异点。设系数矩阵为ij)，当ij)秩为r，则二阶曲线S分类如下：rankij)二阶曲线S标准方程r退化两条重合直线x21r退化两条实直线x2-x21 2两条虚直线x2+x21 2r非退化实长圆曲线x2+x2-x21 2 3虚长圆曲线x2+x2+x21 2 3困难，但在学校和同事的帮助下度过了。位学者的研究成果的帮助和启发，我将很难完成本篇论文的写作。参考文献：[1]梅向明,刘增贤.高等几何第三版[M].北京：高等教育出版社,2008.[2]王敬庚.试论射影几何对中学几何教学的指导