专题10函数与方程

专题10函数与方程名师推荐函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其它内容时，起着重要作用；方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是培养运算能力的基础，高考把函数与方程思想作为重要思想方法重点来考查.函数思想在高考中的应用主要是函数的概念、性质及图像的应用，探究1中详细介绍了利用函数思想解决立体几何、三角形、概率统计等不同类型问题；方程的思想，就是分析数学问题中各个量及其关系，运用数学语言建立方程或方程组，或构造方程或方程组，通过求方程或方程组的解的情况，使问题得以解决，探究2中对利用方程或方程组解决问题作了不同介绍，在高考中也会遇到建立不等式或者不等式组解决问题；探究3中给出一些复杂问题，这时我们需要联用函数与方程的思想，才能化繁为简，解决问题。——合肥一中高级教师陈银科——高级教师探究1：函数思想【典例剖析】例1.(2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是(

)A.[18,814] B.[274,选题意图:选题意图:本题是2022年新高考Ⅰ卷的第8题，考查球的切接问题，涉及棱锥的体积、球的体积、导数等知识，强调知识之间的内在联系，考查学生在面对综合性较强的问题时的应变能力，对直观想象与数学运算素养均有一定的要求，同时渗透了求取值范围的一个重要思想：函数思想.思维引导：由正四棱锥的外接球的性质，列方程可得V=13【解析】设正四棱锥P−ABCD的高为PO1=ℎ，底面边长为a，球心为O，由已知易得球半径为R=3，

所以(22a)2+(ℎ−3)2=9(22a)2+ℎ2=l2⇒6ℎ=l2【变式训练】练11(2022·山西省月考)ΔABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，c=2b，若ΔABC的面积为1，则BC的最小值是(

)A.3 B.3 C.2 D.3【解析】设角A为θ，因为c=2b，由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosθ=5b因此a2=5−4cosθsinθ，

设y=5−4cosθsinθ(0<θ<π)，

令t=cosθ，则y=5−4t1−t2，t∈(−1,1)，则y'=5t−4(1−t2)1−t2，

所以当45<t<1，y'>0，函数y单调递增；当−1<t<45，y'<0，函数y练12(2022·江西省月考)2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎(COVID−19)疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快．因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大．武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p(0<p<1)且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)，当p=p0时，f(p)最大，则p0A.1−63 B.63 C.【解析】检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为(1−p)4p，

检测了6个人才能确定为“感染高危户”的概率为(1−p)5p，

所以f(p)=(1−p)4p+(1−p)5p，(0<p<1)，

令x=1−p(0<x<1)，

则gx=f(p)=x4(1−x)+x5(1−x)=−x6+x4，

g'(x)=−6x5+4x3=2x【规律方法】如果所给出的数学问题从表面上看是非函数问题,但其中有隐含的函数关系,这就要求我们将问题中隐含的函数关系凸显出来,从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解.1.函数思想在解题中的应用主要表现在如下两个方面:①借助于初等函数的性质:单调性、奇偶性、周期性解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题.②在问题研究中通过建立函数关系或构造中间函数,其中构造函数关系进而利用函数思想解题是更高层次的体现,构造时要审时度势,充分发掘原题中可类比、联想的因素,促进思维迁移,—且构造成功,把研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的.2.基本解题思路如下：观察（必要时需适当变形）→构造函数→结合具体问题和函数性质/最值等求解问题探究2：方程思想【典例剖析】例2.(2022·福建省模拟)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn.若数列{8Sn+2n}也是公差为选题意图：选题意图：本题考查了等差数列的通项公式、等差数列前n项和公式等知识，重点体现了方程思想的应用，注重对能力的考查，强调问题本质与数学思维，突出了数学运算，数学抽象的核心素养.思维引导：将条件数列{8Sn+2n【解析】

因为数列{8Sn+2n}也是公差为d即8即4d即4d所以，有4d=d20=所以，an【变式训练】练21(2022·湖北省模拟)在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E在BD上，且AE⊥BD，则AE⋅EC=(

)

A.1225 B.2425 C.45【解析】建立如图所示的直角坐标系：

则A(0,1)，B(0,0)，C(2,0)，D(2,1)，

设E(x,y)，所以AE=(x,y−1)，BE=(x,y)，BD=(2,1)．

∵AE⊥BD且BE//BD，

∴2x+y−1=0x−2y=0，解得x=25y=15练22(2022·江苏省模拟)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，短轴长为23，过(0,2)的直线l与椭圆C相切于第一象限的T点．

(1)求椭圆C的方程和T点坐标；

(2)设O为坐标原点，直线l'平行于直线OT，与椭圆C【解析】(1)解：由短轴长为23，知b=3,又e=ca=12，a2=b2+c2，

解得a2=4，b2=3，所以椭圆C的方程为x24+y23=1；

设直线l的方程为y=kx+2，

则由 x24+y23=1y=kx+2，得：(3+4k2)x2+16kx+4=0，

∵Δ=(16k)2−16(3+4k2)=0，解得：k=−12(12舍去)=[x1−(1−m2)]2+94[【规律方法】方程思想的应用十分广泛,只要涉及含有等量关系的条件或结论时,都可考虑通过构建方程或方程组求解,其主要应用有以下几个方面:

(1)方程思想在三角函数求值问题中的应用.如:“切弦”互化问题,一般是将“弦”化“切”建立关于tanα的方程求解，结合三角恒等式sin2α+cos2α=1与已知条件构建方程组求解.

(2)方程思想在函数与导数中的应用.如:曲线的切点问题,一般是利用导数的几何意义和已知条件,构建关于切点横坐标x0探究3：联用函数与方程思想【典例剖析】例3.(2022·重庆市模拟)已知函数f(x)=exx−1,x>0e−x+2kx+k,x<0(e为自然对数的底数选题意图：选题意图：本题考查函数零点的个数问题，函数的奇偶性和导数的几何意义，体现了方程根的个数与两函数图象交点个数的相互转化，也就是函数与方程思想的应用，也考查了数形结合思想方法，以及化简运算能力和推理能力，注意构造函数，突出了函数与方程思想解决函数零点或方程根的个数时的便捷性和重要性，注重学生数学思维的培养，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.思维引导：设F(x)=f(x)+f(−x)，判断F(x)为偶函数，考虑x>0时，F(x)的解析式和零点个数，运用导数的几何意义和数形结合思想，即可得到所求k的范围．【解析】设F(x)=f(x)+f(−x)，可得F(−x)=F(x)，即有F(x)为偶函数，

由题意考虑x>0时，F(x)有两个零点，

当x>0时，−x<0，f(−x)=ex−2kx+k，

即有x>0时，F(x)=xex−ex+ex−2kx+k=xex−2kx+k，

由F(x)=0，可得xex−2kx+k=0，

即函数y=xex与y=k(2x−1)在x>0上有两个交点．

由y=xex，y=k(2x−1)相切，设切点为(t,tet)，(t,k(2t−1))，

y=xex的导数为y'=(x+1)ex，y=k(2x−1)的导数为y'=2k

可得切线的斜率为e【变式训练】练31(2022·河北省月考)已知函数fx=sinωx-3cosωxω>0，若方程fA.136,72 B.72,【解析】函数f(x)=sinωx−3cosωx=2sin(ωx−π3)(ω>0)，

作出函数f(x)的图象如图所示，

令2sinωx−π3=−1，

解得ωx−π3=−π6+2kπ或ωx−π3=7π6+2kπ，k∈Z，

解得x=π6ω+2kπω或x=3π2ω+2kπω，

设y=−1与y=f(x)在0,+∞上从左到右的第4个交点为练32(2022·辽宁省模拟)已知函数f(x)=−x2+2−m,x⩽1xlnx−mx+m,x>1【解析】函数f(x)=−x2+2−m,x⩽1xlnx−mx+m,x>1,

令f(x)=0，得m=−x2+2,x⩽1xlnxx−1,x>1,

设ℎ(x)=−x2+2,x⩽1xlnxx−1,x>1,

①当x>1时，ℎ(x)=xlnxx−1，则ℎ'(x)=x−1−lnx(x−1)2，

设p(x)=x−1−lnx，则p'(x)=1−1x>0，所以p(x)单调递增，

所以p(x)>p(1)=0，

所以ℎ'(x)>0，所以ℎ(x)单调递增，

设m(x)=xlnx−(x−1)，则m'(x)=lnx，x ∈(1,+∞)，

所以练33(2022·福建省模拟)设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x2+x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：

(1)求实数b的取值范围；

(2)求圆C的方程(用含b的方程表示)

(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b【解析】(1)令x=0，得二次函数图象与y轴交点有一个为(0,b)，

那么结合题意可得二次函数f(x)=x2+x+b(x∈R)的图象必与x轴有两个交点．

令f(x)=x2+x+b=0，由题意b≠0

且Δ>0，解得b<14且b≠0．

(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0．

令y=0得，x2+Dx+F=0，由题意可得，这与x2+x+b=0是同一个方程，故D=1，F=b．

令x=0得，y2+Ey+F=0，由题意可得，此方程有一个根为b且b≠0，代入得出E=−b−1，

所以圆C的一般方程为x2+y2+x−(b+1)y+b=0..

(3)