北师大版七年级数学上册专题4.1 与线段有关的动点问题（压轴题专项讲练）（教师版）

专题4.1与线段有关的动点问题【典例1】已知，线段AB上有三个点C、D、E，AB=18，AC=2BC，D、E为动点（点D在点E的左侧），并且始终保持DE=8．（1）如图1，当E为BC中点时，求AD的长；（2）如图2，点F为线段BC的中点，AF=3AD，求AE的长；（3）若点D从A出发向右运动（当点E到达点B时立即停止），运动的速度为每秒2个单位，当运动时间t为多少秒时，使AD，BE两条线段中，一条的长度恰好是另一条的两倍．【思路点拨】（1）由AB=18，AC=2BC，求解AC,BC，再利用E为BC中点，求解EC,再求解DC，最后利用AD=AC−CD，从而可得答案；（2）由点F为线段BC的中点，求解CF,BF，再求解AF,AD，DF,EF,BE，再利用AE=AB−BE，即可得到答案；（3）如图3，以A为原点建立数轴，则C,B分别表示12,18，先确定DE的最长运动时间，再在运动后，表示D对应的数为2t,E对应的数为8+2t,求解AD,BE，再分两种情况列方程即可得到答案．【解题过程】解：（1）如图1，∵AB=18，AC=2BC，∴AC=2∵E为BC中点时，∴CE=BE=1∵DE=8,∴DC=DE−CE=8−3=5，∴AD=AC−CD=12−5=7.（2）如图2，∵点F为线段BC的中点，∴CF=BF=1∵AB=AF+FB=18，∴AF=18−3=15，∵AF=3AD，∴AD=5，∴DF=AF−AD=15−5=10，∵DE=8，∴EF=DF−DE=10−8=2，∴BE=EF+BF=2+3=5，∴AE=AB−BE=18−5=13.（3）如图3，以A为原点建立数轴，则C,B分别表示12,18，由运动开始前：BE=AB−DE=18−8=10，∴DE的最长运动时间为：102运动后，由题意可得：D对应的数为2t,E对应的数为8+2t,∴AD=2t,BE=18−(8+2t)=10−2t,当AD=2BE时，∴2t=2(10−2t),∴6t=20,∴t=10经检验：t=10当2AD=BE时，∴4t=10−2t,∴6t=10,∴t=5经检验：t=5综上：当t=103s或t=531．（2022·贵州黔西·七年级期末）如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点.点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）.若点P在运动过程中，当PB=2时，则运动时间t的值为（

）A．32秒或72秒 B．32秒或72秒或C．3秒或7秒 D．3秒或132或7秒或17【思路点拨】根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用路程÷速度=时间即可得出结论．【解题过程】解：∵数轴上的点O和点A分别表示0和10∴OA=10∵B是线段OA的中点，∴OB=AB=1①当点P由点O向点A运动，且未到点B时，如下图所示，PB=2此时点P运动的路程OP=OB－PB=3∴点P运动的时间为3÷2=32②当点P由点O向点A运动，且已过点B时，如下图所示，PB=2此时点P运动的路程OP=OB+PB=7∴点P运动的时间为7÷2=72③当点P由点A向点O运动，且未到点B时，如下图所示，PB=2此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB－PB=13∴点P运动的时间为13÷2=132④当点P由点A向点O运动，且已过点B时，如下图所示，PB=2此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB＋PB=17∴点P运动的时间为17÷2=172综上所述：当PB=2时，则运动时间t的值为32秒或72秒或132故选B．2．（2023·河北·平山县外国语中学七年级期末）如图，C为射线AB上一点，AB＝30，AC比BC的14多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发．分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB上沿AB方向运动，运动时间为t秒，M为BP的中点，N为QM的中点，以下结论：①BC＝2AC；②AB＝4NQ；③当PB＝12BQ时，A．0 B．1 C．2 D．3【思路点拨】根据AC比BC的14【解题过程】解：设BC＝x，∴AC＝14x∵AC+BC＝AB∴x+14x解得：x＝20，∴BC＝20，AC＝10，∴BC＝2AC，故①成立，∵AP＝2t，BQ＝t，当0≤t≤15时，此时点P在线段AB上，∴BP＝AB﹣AP＝30﹣2t，∵M是BP的中点∴MB＝12BP＝15﹣∵QM＝MB+BQ，∴QM＝15，∵N为QM的中点，∴NQ＝12QM＝15∴AB＝4NQ，当15＜t≤30时，此时点P在线段AB外，且点P在Q的左侧，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M是BP的中点∴BM＝12BP＝t∵QM＝BQ﹣BM＝15，∵N为QM的中点，∴NQ＝12QM＝15∴AB＝4NQ，当t＞30时，此时点P在Q的右侧，∴AP＝2t，BQ＝t，∴BP＝AP﹣AB＝2t﹣30，∵M是BP的中点∴BM＝12BP＝t∵QM＝BQ﹣BM＝15，∵N为QM的中点，∴NQ＝12QM＝15∴AB＝4NQ，综上所述，AB＝4NQ，故②正确，当0＜t≤15，PB＝12BQ时，此时点P在线段AB∴AP＝2t，BQ＝t∴PB＝AB﹣AP＝30﹣2t，∴30﹣2t＝12t∴t＝12，当15＜t≤30，PB＝12BQ时，此时点P在线段AB外，且点P在Q∴AP＝2t，BQ＝t，∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，∴2t﹣30＝12tt＝20，当t＞30时，此时点P在Q的右侧，∴AP＝2t，BQ＝t，∴PB＝AP﹣AB＝2t﹣30，∴2t﹣30＝12tt＝20，不符合t＞30，综上所述，当PB＝12BQ时，t故选：C．3．（2022·广东·南联学校七年级阶段练习）线段AB=15，点P从点A开始向点B以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从点B开始向点A以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，当AP=2PQ时，t的值为________．【思路点拨】根据时间与速度可以分别表示出AP、BQ，结合AP=2PQ分别从相遇前和相遇后，利用线段的和差关系计算出t的值．【解题过程】解：此题可分为两种情况进行讨论：①如图1，点P、Q相遇前，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AB－AP－BQ，当AP=2PQ时，t＝2(15－t－2t)，解得t＝307②如图2，点P、Q相遇后，由题意得AP＝t，BQ＝2t，PQ＝AP＋BQ－AB，当AP=2PQ时，t＝2(t＋2t－15)，解得t＝6．综上所述：t的值为307故答案为：3074．（2022·全国·七年级专题练习）如图直线l上有AB两点，AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，若点C是射线AB上一点，且满足AC=CO+CB，则OC【思路点拨】根据题意可求出OA=8cm，OB=4cm．设OC=xcm，分类讨论①当点C在AO之间时；②当点C在OB之间时；③当点C在点B右侧时，利用x可分别表示出AC，CB的长，根据AC=CO+CB，即得出关于x的等式，解出x即可．【解题过程】解：∵AB=12cm，点O是线段AB上的一点，OA=2OB，∴OA=23AB=8cm设OC=xcm，分类讨论：①当点C在AO之间时，如图，由图可知，AC=OA−OC=(8−x)cm，CB=OC+OB=(x+4)cm，∵AC=CO+CB，∴8−x=x+x+4，解得：x=4故此时OC=4②当点C在OB之间时，如图，由图可知，CO+CB=OB=4cm，AC=AO+OC=(8+x)cm>8cm．∴此时不成立；③当点C在点B右侧时，如图，由图可知，AC=OA+OC=(8+x)cm，CB=OC−OB=(x−4)cm，∵AC=CO+CB，∴8+x=x+x−4，解得：x=12．故此时OC=12cm；综上可知OC的长为43cm或故答案为：43或125．（2022·辽宁·辽阳市第一中学七年级期中）如图，P是线段AB上一点，AB＝18cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线BA向左运动，到达点A处即停止运动．(1)若点C，D的速度分别是1cm/s，2cm/s．①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段PB上时，AC＋PD＝_________cm；②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，则AP∶PB＝_________；(2)若动点C，D的速度分别是1cm/s，3cm/s，点C，D在运动时，总有PD＝3AC，求AP的长度．【思路点拨】（1）①先计算BD，PC的长度，再计算AC+PD；②设运动时间为：t秒，则PC=t,BD=2t，利用中点的性质表达出：AP=2PC=2t,BP=2BD=4t，即可得出答案；（2）依题意得出BD＝3PC，PD＝3AC，再由PB=BD+PD=3AP和【解题过程】解：（1）①依题意得：PC=1×2=2,BD=2×2=4，∴AC＋故答案为：12；②设运动时间为t秒，则PC=t,BD=2t∵当点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，∴AP=2PC=2t,BP=2BD=4t∴AP:BP=2t:4t=1:2故答案为：1:2；（2）设运动时间为t秒，则PC=t,BD=3t，∴BD＝∵PD＝∴PB=BD+PD=3PC+3AC=3PC+AC∵PB+AP=AB∴3AP+AP=AB∴AP=16．（2022·全国·七年级课时练习）如图1，线段AB长为24个单位长度，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，设P的运动时间为x秒．(1)P在线段AB上运动，当PB=2AM时，求x的值．(2)当P在线段AB上运动时，求2BM−BP的值．(3)如图2，当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点，MN的长度是否发生变化?如不变，求出MN的长度．如变化，请说明理由．【思路点拨】（1）根据PB=2AM建立关于x的方程，解方程即可；（2）将BM=24-x，PB=24-2x代入2BM-BP后，化简即可得出结论；（3）利用PA=2x，AM=PM=x，PB=2x−24，PN=1【解题过程】解：（1）∵M是线段AP的中点，∴AM=1PB=AB−AP=24−2x，∵PB=2AM，∴24−2x=2x，解得x=6．（2）解：∵AM=x，BM=24−x，PB=24−2x，∴2BM−BP=224−x即2BM−BP为定值24．（3）解：当P在AB延长线上运动时，点P在B点的右侧．∵PA=2x，AM=PM=x，PB=2x−24，PN=1∴MN=PM−PN=x−x−12所以MN的长度无变化是定值．7．（2022·全国·七年级专题练习）如图①，已知线段AB=12，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．（1）若AC=4，则DE的长为_____________；（2）若BC=m，求DE的长；（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？【思路点拨】(1)根据图形，由AB=12，AC=4得出BC=8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(2)根据图形，由AB=12，BC=m得出AC=12-m再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出．【解题过程】解：如图(1)∵AB=12，AC=4∴BC=8∵点D，E分别时AC和BC中点，∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6(2)∵AB=12，BC=m∴AC=12-m∵点D，E分别时AC和BC中点∴DC=6-12m，BC=EC=∴DE=DC+CE=6(3)由题意得，如图所示，或AP=3t，BQ=6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+BQ-PQ=12∴3t+6+6t=12或3t+6t-6=12解得t=23故当t=238．（2023·上海市民办新北郊初级中学七年级期末）如图，P是定长线段AB上一点，C、D两点分别从P、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上）（1）若C、D运动到任一时刻时，总有PD＝2AC，请说明P点在线段AB上的位置：（2）在（1）的条件下，Q是直线AB上一点，且AQ﹣BQ＝PQ，求PQAB（3）在（1）的条件下，若C、D运动5秒后，恰好有CD=12AB，此时C点停止运动，D点继续运动（D点在线段PB上），M、N分别是CD、PD的中点，下列结论：①PM﹣【思路点拨】（1）根据C、D的运动速度知BD=2PC，再由已知条件PD=2AC求得PB=2AP，所以点P在线段AB上的13（2）由题设画出图示，根据AQ-BQ=PQ求得AQ=PQ+BQ；然后求得AP=BQ，从而求得PQ与AB的关系；（3）当点C停止运动时，有CD＝12AB，从而求得CM与AB的数量关系；然后求得以AB表示的PM与PN的值，所以MN＝PN−PM＝1【解题过程】解：（1）由题意：BD=2PC∵PD=2AC，∴BD+PD=2（PC+AC），即PB=2AP.∴点P在线段AB上的13（2）如图：∵AQ-BQ=PQ，∴AQ=PQ+BQ，∵AQ=AP+PQ，∴AP=BQ，∴PQ=13∴PQAB（3）②MNAB理由：如图，当点C停止运动时，有CD=12∴CM=14∴PM=CM-CP=14∵PD=23∴PN=12（2∴MN=PN-PM=112当点C停止运动，D点继续运动时，MN的值不变，所以MNAB9．（2022·全国·七年级专题练习）已知点C在线段AB上，AC=2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若AB=18，DE=8，线段DE在线段AB上移动．(1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长；(2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，求AD的长．【思路点拨】（1）根据AC=2BC，AB=18，可求得BC=6，AC=12，根据中点的定义求出BE，由线段的和差即可得到AD的长．（2）点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF=3AD，CE+EF=3，确定点F是BC的中点，即可求出AD的长．【解题过程】解：（1）AC=2BC，AB=18，∴BC=6，AC=12，如图1，∵E为BC中点，∴CE=BE=3，∵DE=8，∴BD=DE+BE=8+3=11，∴AD=AB−DB=18−11=7，（2）Ⅰ、当点E在点F的左侧，如图2，或∵CE+EF=3，BC=6，∴点F是BC的中点，∴CF=BF=3，∴AF=AB−BF=18−3=15，∴AD=1∵CE+EF=3，故图2（b）这种情况求不出；Ⅱ、如图3，当点E在点F的右侧，或∵AC=12，CE+EF=CF=3，∴AF=AC−CF=9，∴AF=3AD=9，∴AD=3．∵CE+EF=3，故图3（b）这种情况求不出；综上所述：AD的长为3或5．10．（2022·江苏·南通田家炳中学七年级阶段练习）（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【思路点拨】（1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；（2）根据中点的定义、线段的和差，列出关于t的方程，问题可解．【解题过程】解：（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM＝12AC＝5厘米，CN＝12∴MN＝CM+CN＝8厘米；（2）设点P、Q运动时间为ts，由题意得0<t≤8，下面分别讨论之．①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，如图1由图得PC=AC-AP=10-2t，CQ=CB-QB=6-t由PC=CQ得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；②当5＜t≤163时，P为线段CQ由图得PC=AP-AC=2t-10，PQ=PB-QB=(16-2t)﹣t，由PC=PQ得2t﹣10＝(16-2t)﹣t，解得t＝265③当163＜t≤6时，Q为线段PC由图得，CQ=BC-BQ=6-t，PQ=AP-CQ=2t-10-(6-t)，由CQ=PQ得6﹣t＝2t-10-(6-t)，解得t＝112④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，如图4由图得，PC=AP-AC=2t-10，CQ=BQ-BC=t-6，由QC=PC得2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4＜6（舍去），综上所述：t＝4或265或1111．（2022·浙江·七年级专题练习）【新知理解】如图①，点C在线段AB上，若BC=πAC，则称点C是线段的圆周率点，线段AC、BC称作互为圆周率伴侣线段．（1）若AC=2，求AB的长；（2）在（1）的条件下，若点D也是图①中线段AB的圆周率点（不同于点C），试求出线段BD的长，并判断AC与BD的数量关系；【解决问题】（3）如图②，现有一个直径为1个单位长度的圆片，将圆片上的某点与数轴上表示1的点重合，并把圆片沿数轴向右无滑动性的滚动1周，该点到达C的位置，求点C所表示的数；若点M、N是线段OC的圆周率点，求MN的长；（4）图②中，若点D在射线OC上，且线段CD与O、C、D中某两个点为端点的线段互为圆周率伴侣线段，请直接写出点D所表示的数（答案保留π）．【思路点拨】（1）利用BC=πAC求出BC的长度，进而求出AB的长．（2）设AC的长为x，BD的长为y，利用圆周率点的定义，得到关于x与y的关系式，进而得到x=y，故此时有AC=BD．（3）利用旋转一周即为圆的周长，得到C点表示的数，假设M点离O点最近，设OM=z，利用圆周率点及题（2）的结论，求出OM=CN=1，最后求出MN的长度即可．（4）设点D表示的数为m，根据条件分四类情况：CD=πOD，OD=πCD，OC=πCD，CD=πOC，进行分类讨论，设出对应的方程进行求解m的值．【解题过程】解：（1）∵AC=2,BC=πAC，∴BC=2π，∴AB=AC+BC=2+2π．（2）∵点D、C都是线段AB的圆周率点且不重合，∴AD=πBD，BC=πAC．∴设AC=x，BD=y，则有BC=πx，AD=πy，∵AB=AC+BC=AD+BD，∴x+πx=y+πy，∴x=y，∴AC=BD=2．（3）由题意可知：C点表示的数是π+1∵M、N均为线段OC的圆周率点，∴不妨设M点里O点近，且OM=z，CM=πz，∴z+πz=π+1，解得z=1，∴OM=1，CM=π，OC=π+1，由（2）可知：OM=CN=1∴MN=OC−OM−CN=π−1．（4）解：设点D表示的数为m，根据题意可知，共分为四种情况．①若CD=πOD，则有π+1−m=πm，解得m=1．②若OD=πCD，则有m=π(π+1−m)，解得m=π．③若OC=πCD，则有π+1=π(m−π−1)，解得m=π+1④若CD=πOC，则有m−(π+1)=π(π+1)，解得m=π综上所述，点D表示的数是1或π或π+1π+212．（2023·安徽蚌埠·七年级期末）如图，点A,B在数轴上分别表示有理数a,b，且a,b满足|a+2|+(b−5)（1）点A表示的数是___________，点B表示的数是____________．（2）若动点P从点A出发以每秒3个单位长度向右运动，动点Q从点B出发以每秒1个单位长度向点A运动，到达A点即停止运动P,Q两点同时出发，且Q点停止运动时，P也随之停止运动，求经过多少秒时，P,Q第一次相距3个单位长度？（3）在（2）的条件下整个运动过程中，设运动时间为t秒，若AP的中点为M,BQ的中点为N，当t为何值时，BM+AN=3PB？【思路点拨】（1）由非负数的性质得a+2＝0，且b﹣5＝0，得出a＝﹣2，b＝5；（2）求出AB＝7，设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，则AP＝3x，BQ＝x，可列方程7﹣3x﹣x＝3，解方程即可；（3）由题意得t秒后，AP＝3t，BQ＝t，由中点的定义得AM＝12AP＝32t，BN＝12BQ＝12t，对P、M、B三点的位置分类讨论，用含t的式子表示【解题过程】解：（1）∵a,b满足|a+2|+(b−5)∴a+2＝0，b﹣5＝0，∴a＝﹣2，b＝5，即点A所对应的数是﹣2，点B所对应的数是5；故答案为：﹣2，5；（2）AB＝5﹣（﹣2）＝7，设经过x秒时，P、Q第一次相距3个单位长度，则AP＝3x，BQ＝x，PQ＝AB﹣AP﹣BQ，列方程得，7﹣3x﹣x＝3，解得：x＝1，答：经过1秒时，P、Q第一次相距3个单位长度；（3）由题意得：t秒后，AP＝3t，BQ＝t，∵AP的中点为M，BQ的中点为N，∴AM＝12AP＝32t，BN＝12BQ＝如图1，当点P、M都在点B的左侧时，BM＝AB﹣AM＝7﹣32t，PB＝AB﹣AP＝7﹣3t，AN＝AB﹣BN＝7﹣12∵BM+AN＝3PB，∴7﹣32t+7﹣12t＝3（7﹣3解得：t＝1；如图2，当点M在点B的左侧，点P在点B的右侧时，BM＝AB﹣AM＝7﹣32t，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣12∵BM+AN＝3PB，∴7﹣32t+7﹣12t＝3（3解得：t＝3511③如图3，当点P、M都在点B的右侧时，BM＝AM﹣AB＝32t﹣7，PB＝AP﹣AB＝3t﹣7，AN＝AB﹣BN＝7﹣12∵BM+AN＝3PB，∴32t﹣7+7﹣12t＝3（3解得：t＝218综上所述，当t为1秒或3511秒时，BM+AN＝3PB13．（2022·全国·七年级课时练习）如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝43AB（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出ACAB（2）设AB＝9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．①当点D在线段AB上运动，求ADCE②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．【思路点拨】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论；（2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分BD=3CD和BD=3CB两种情况，根据三等分点求出BD的长，进而求出运动时间，求出MD、NB的长即可．【解题过程】解：（1）图形补充完整如图，∵CB＝43AB∴CA＝BC−AB=1ACAB故答案为：13（2）①AB＝9cm，由（1）得，CA=13AB=3DA=(9−3t)cm，CE=(3−t)cm，ADCE②当BD=3CD时，∵AB＝9cm，CA=3cm，∴CB=2CD=12cm，∴CD=6cm，BD=3CD=18cm，运动时间为：18÷3=6（秒），则AE=6cm，BE=BA+AE=15cm，ED=BD−BE=3cm，∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴DM=1.5cm，BN=4.5cm，MN=BD−DM−BN=12cm，当BD=3CB时，∵AB＝9cm，CA=3cm，∴CB=12cm，∴BD=3CB=36cm，运动时间为：36÷3=12（秒），则AE=12cm，BE=BA+AE=21cm，ED=BD−BE=15cm，∵M，N分别是线段DE、AB的中点．∴DM=7.5cm，BN=4.5cm，MN=BD−DM−BN=24cm，综上，MN的长是12cm或24cm．14．（2022·江苏·七年级专题练习）如图，点A、B、C在数轴上对应的数分别是−12、b、c，且b、c满足(b−9)2+c−20=0，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动，O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的（1）b=____，c=____，A、C两点间的距离为____个单位；（2）①若动点P从A出发运动至点C时，求t的值；②当P、Q两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；（3）当t=___时，P、Q两点到点B的距离相等．【思路点拨】（1）根据b−92（2）①点P从点A运动到点C可得当点P在AO上时，点P在OB上时及点P在BC上时，然后分别求出时间，进而问题可求解；②由题意易得当点C到达变速点B时，点P所运动到的位置可求，然后再根据相遇问题进行求解，最后在利用数轴求解即可；（3）由（1）（2）及题意可分：①当0<t≤6时，②当6<t≤11时，③当点Q的速度变为3单位/秒时，即11<t≤14，④当点Q和点P都过了“变速区”，即t>15，然后根据数轴两点距离及线段的和差关系进行列方程求解即可．【解题过程】解：（1）∵b−92∴b−9=0,c−20=0，∴b=9,c=20，∴A、C两点距离为：20−−12故答案为9，20，32；（2）①由题意可分：当点P从A运动到O和从B运动到C时，所需时间为：12+11÷2=点P从点O到点B属于变速区，所以速度为2÷2=1单位/秒，此时所需时间为9÷1=9s，∴点P从点A到点C的时间为：232②当点C到达变速点B时，所需时间为11÷1=11s，此时点P运动的路程为：12+11−6∴4÷1+3∴5+1×1=6，∴相遇点所表示的数为6；（3）由（1）（2）及题意可分：①当0<t≤6时，如图所示：则有AB=21，AP=2t，PB=21-2t，BC=11，BQ=11-t，∵BP=BQ，∴21−2t=11−t，解得：t=10（不符合题意，舍去）；②当6<t≤11时，如图所示：∵点P的速度为1单位/秒，Q速度不变，∴PB=21−12+∵PB=BQ，∴15−t=11−t，方程无解；③当点Q的速度变为3单位/秒时，即11<t≤14，如图所示：∴PB=15-t，BQ=CQ−CB=BQ=3t−11∵PB=BQ，∴15−t=3t−33，解得t=12，④当点Q和点P都过了“变速区”，即t>15，如图所示：∴PB=2t−15=2t−30，∵PB=BQ，∴2t−30=t−5，解得：t=25；综上所述：当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等；故答案为12或25．15．（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）则OA＝cm，OB＝cm；（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为；此时，Q点所到的点表示的数为．（用含t的代数式表示）②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．【思路点拨】（1）由于AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB，则OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，依此即可求解；（2）根据图形可知，点C是线段AO上的一点，可设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时；②点C在线段OB上时，根据AC＝CO+CB，列出方程求解即可；（3）①根据路程＝速度×时间即可求解；②分两种情况：0＜t＜4（P在O的左侧）；4≤t≤12（P在O的右侧）；进行讨论求解即可．【解题过程】解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，∴OA+OB＝3OB＝AB＝12（cm），解得OB＝4，OA＝2OB＝8（cm）．故答案为：8，4；（2）设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝﹣x+4﹣x，3x＝﹣4，解得x＝﹣43②点C在线段OB上时，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝4，解得x＝﹣4（不符合题意，舍）．故CO的长是43cm（3）①t（s）后，P点所到的点表示的数为﹣8+2t；此时，Q点所到的点表示的数为4+t．故答案为：﹣8+2t，4+t；②0＜t＜4（P在O的左侧），OP＝0﹣（﹣8+2t）＝8﹣2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，解得t＝1.6；4≤t≤12（P在O的右侧），OP＝﹣8+2t﹣0＝﹣8+2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，解得t＝8．综上所述，t＝1.6或8时，2OP﹣OQ＝4cm．16．（2022·全国·七年级专题练习）（理解新知）如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“奇妙点”，（1）线段的中点这条线段的“奇妙点”（填“是”或“不是”）（2）（初步应用）如图②，若CD=24cm，点N是线段CD的“奇妙点”，则CN=cm（3）（解决问题）如图③，已知AB=24cm，动点P从点A出发，以2cm/s速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B出发，以3cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出为何值时，A、P、【思路点拨】（1）根据线段的中点平分线段长的性质，以及题目中所给的“奇妙点”的定义，进行判断即可．（2）由“奇妙点”定义，此题分为三种情况，情况1：CN=CD2，即N为CD的中点；情况2：CN=DN2，即N为靠近C点的三等分点；情况3：DN=CN2，即（3）由题意可知，A不可能是“奇妙点”，故此题分两大类情况，情况1：当P、Q未相遇之前，P是“奇妙点”时，根据第（2）题的思路，又可以分为3种情况，根据每种情况，利用线段长度关系列方程，分别求出对应时间；情况2：当P、Q相遇之后，Q是“奇妙点”时，同样根据第（2）题的思路，又分成3种情况讨论，利用线段长度关系列方程，求出每种情况对应的时间．【解题过程】解：（1）由线段中点的性质可知：被中点平分的两条线段长度是线段总长的一半，根据“奇妙点”定义可知：线段的中点是“奇妙点”．故答案是：是；（2）∵N是线段CD的“奇妙点”∴根据定义，此题共分为三种情况．当CN=CD2，即N为CD的中点时，有CN当CN=DN2，即N为靠近C点的三等分点时，有CN当DN=CN2，即N为靠近D点的三等分点时，有CN故答案为：8或12或16．（3）解：由题意可知，A点不可能是“奇妙点”，故P或Q点是“奇妙点”．∵AB=24cm∴t秒后，AP=2t，AQ=24−3t．当P点是“奇妙点”时，PQ=AQ−AP=24−5t．由“奇妙点”定义可分三种情况．当AP=AQ2时，有2t=24−3t当AP=PQ2时，有2t=24−5t当PQ=AP2时，有24−5t=2t当Q点是“奇妙点”时，PQ=AP−AQ=5t−24．当AQ=AP2时，有24−3t=2t当AQ=PQ2时，有24−3t=5t−24当PQ=AQ2时，有5t−24=24−3t综上所述：当点P为AQ的“奇妙点”时，t=83或4或当点Q为AP的“奇妙点”时，t=7213或6或17．（2022·全国·七年级单元测试）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝BM．(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求2MN3【思路点拨】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案；（2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答；（3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解；【解题过程】解：（1）当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．（2）解：设运动时间为t，则CM＝t，BD＝3t，∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，又MD＝3AC，∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，即BM＝3AM，∴AM=13故答案为：13（3）解：由（2）可得：∵BM＝AB﹣AM∴AB﹣AM＝3AM，∴AM＝14AB①当点N在线段AB上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣AM＝MN∴BN＝AM＝14AB∴MN＝12AB，即2MN3AB②当点N在线段AB的延长线上时，如图∵AN﹣BN＝MN，又∵AN﹣BN＝AB∴MN＝AB，∴MNAB=1,即2MN3AB综上所述2MN3AB＝118．（2022·全国·七年级课时练习）如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒．(1)当t＝1时，PQ＝cm；(2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？(3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由PQ=AC+CQ−AP即可求出PQ的长；（2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即0≤t≤2时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即2<t≤4时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即4<t≤6时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可．（3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即0≤t≤2时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据PM=CP+CM，求出PM即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即2<t≤4时，同理求出PM即可；③当Q由C往B第二次运动时，即4<t≤6时，同理求出PM即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断．【解题过程】解：（1）当t=1时，AP=0.5×1=0.5cm，∵AB=5cm，∴AC=3∴PQ=AC+CQ−AP=3+1−0.5=2.5cm故答案为：2.5．（2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，∴0≤t≤3∵AB=5cm，∴BC=2①当Q由C往B第一次运动时，即0≤t≤2此时AP=0.5tcm，CQ=t∴CP=AC−AP=(3−0.5t)cm∵点C为线段PQ的中点，∴CP=CQ，即3−0.5t=t，解得：t=2；②当Q由B往C点第一次返回时，即2<t≤4此时CP=(3−0.5t)cm，CQ=(4−t)∴3−0.5t=4−t，解得：t=2，不符合题意舍；③当Q由C往B第二次运动时，即4<t≤6时，此时CP=(3−0.5t)cm，CQ=(t−4)∴3−0.5t=t−4，解得：t=14综上可知，t为2或143时，点C为线段PQ（3）根据（2）可知0≤t≤6．∵点M是线段CQ的中点，∴CM=QM．①当Q由C往B第一次运动时，即0≤t≤2时，此时CP=(3−0.5t)cm，CM=∵PM=CP+CM，∴PM=3−0.5t+1∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意．②当Q由B往C点第一次返回时，即2<t≤4时，此时CP=(3−0.5t)cm，CM=∴PM=3−0.5t+2−1∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意；③当Q由C往B第二次运动时，即4<t≤6时，此时CP=(3−0.5t)cm，CM=∴PM=3−0.5t+1∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意．综上可知PM的长度为3cm或1cm．19．（2022·全国·七年级课时练习）点C在线段AB上，BC＝2AC．(1)如图1，P，Q两点同时从C，B出发，分别以1cm/s，2cm/s的速度沿直线AB①在P还未到达A点时，APCQ的值为②当Q在P右侧时(点Q与C不重合)，取PQ中点M，CQ的中点是N，求MNQB(2)若D是直线AB上一点，且AD−BD=12CD．则【思路点拨】（1）由线段的和差关系，以及QB=2PC，BC=2AC，即可求解；（2）设AC=x，则BC=2x，∴AB=3x，D点分四种位置进行讨论，①当D在A点左侧时，②当D在AC之间时，③当D在BC之间时