2022年数学(百色专用)一轮复习专题特训4三角形

专题特训四三角形、四边形的证明与计算题型1与全等三角形有关的证明与计算1．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD.证明：连接AC.∵AE＝AF，CE＝CF，AC＝AC，∴△AEC≌△AFC(SSS).∴∠CAB＝∠CAD.∵∠B＝∠D＝90°，∴CB＝CD.2．(2021·铜仁中考)如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC＝OD，②AC＝BD，③∠A＝∠B.请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论(只要求写出一种正确的选法)．(1)你选的条件为____，____，结论为____；(2)证明你的结论．解：(1)①；③；②(答案不唯一)；(2)证明：在△AOC和△BOD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠B，,∠AOC＝∠BOD，,OC＝OD，)))∴△AOC≌△BOD(AAS).∴AC＝BD.3．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为AB延长线上一点，BD＝BC，过点D作DE⊥AC于点E，交BC于点F，连接BE，CD.(1)求证：AB＝BF；(2)求∠AEB的度数；(3)当∠A＝60°时，求eq\f(BE,BF)的值．(1)证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∠A＋∠ACB＝90°，∠A＋∠ADE＝90°.∴∠ACB＝∠FDB.∵BC＝BD，∠ABC＝∠DBF＝90°，∴△ABC≌△FBD(ASA).∴AB＝BF；(2)解：过点B作BG⊥AC于点G，作BH⊥DF于点H.∵△ABC≌△FBD，∴AC＝DF，S△ABC＝S△FBD.∴eq\f(1,2)AC·BG＝eq\f(1,2)DF·BH.∴BG＝BH.又∵BG⊥AC，BH⊥DF，∴∠AEB＝∠DEB＝eq\f(1,2)∠AED＝45°；(3)解：∵∠AEB＝45°，∴∠EBG＝∠BEG＝45°.∴BG＝EG.∴BE＝eq\r(2)BG.∵∠A＝60°，∴sinA＝eq\f(BG,AB)＝eq\f(\r(3),2).∴AB＝eq\f(2\r(3),3)BG.∴BF＝eq\f(2\r(3),3)BG.∴eq\f(BE,BF)＝eq\f(\r(6),2).题型2特殊四边形的证明与计算4．(2021·株洲中考)如图，在矩形ABCD中，点E在线段CD上，点F在线段AB的延长线上，连接EF交线段BC于点G，连接BD，若DE＝BF＝2.(1)求证：四边形BFED是平行四边形；(2)若tan∠ABD＝eq\f(2,3)，求线段BG的长度．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DC∥AB，即DE∥BF.又∵DE＝BF，∴四边形BFED是平行四边形；(2)解：∵四边形BFED是平行四边形，∴DB∥EF.∴∠ABD＝∠F.∴tan∠ABD＝tanF＝eq\f(2,3)，即eq\f(BG,BF)＝eq\f(2,3).又∵BF＝2，∴BG＝eq\f(4,3).5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N.(1)求证：四边形BNDM是菱形；(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．(1)证明：∵AD∥BC，∴∠DMO＝∠BNO.∵MN是对角线BD的垂直平分线，∴OB＝OD，MN⊥BD.∵∠MOD＝∠NOB，∴△MOD≌△NOB(AAS).∴OM＝ON.又∵OB＝OD，∴四边形BNDM是平行四边形．∵MN⊥BD，∴四边形BNDM是菱形；(2)解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，∴BM＝BN＝DM＝DN，OB＝eq\f(1,2)BD＝12，OM＝eq\f(1,2)MN＝5.在Rt△BOM中，由勾股定理，得BM＝eq\r(OM2＋OB2)＝eq\r(52＋122)＝13.∴菱形BNDM的周长为4BM＝4×13＝52.6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AB，CD于点E，F，FE的延长线交CB的延长线于点M.(1)求证：OE＝OF；(2)若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD.∴∠OAE＝∠OCF.∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA).∴OE＝OF；(2)解：过点O作ON∥BC交AB于点N，则△AON∽△ACB.∵OA＝OC，∴ON＝eq\f(1,2)BC＝2，BN＝eq\f(1,2)AB＝3.∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE.∴eq\f(ON,BM)＝eq\f(NE,BE)，即eq\f(2,1)＝eq\f(3－BE,BE).∴BE＝1.拓展题型三角形、四边形的几何探究7．如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF.【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE＋CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．eq\o(\s\up7(),\s\do5(图1))eq\o(\s\up7(),\s\do5(图2))【问题解决】证明：图1中，在CD上截取CH＝CE.∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°.∴△CEH是等边三角形．∴EH＝CE＝CH，∠CEH＝60°.∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°.∴∠DEH＋∠HEF＝∠FEC＋∠HEF＝60°.∴∠DEH＝∠FEC.又∵EH＝EC，∴△DEH≌△FEC(SAS).∴DH＝CF.∴CD＝CH＋DH＝CE＋CF.∴CE＋CF＝CD；【类比探究】解：CE＋CD＝CF.理由：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°.图2中，过点D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，则∠GDC＝∠B＝∠A＝∠