2018高考数学文北师大版大一轮复习课件2b教师版第五章平面向量8份打包

§5.4平面向量应用举例基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔

⇔

，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔

⇔

，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：知识梳理a＝λbx1y2－x2y1＝0x1x2＋y1y2＝0a·b＝0夹角问题数量积的定义cosθ＝

(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝

＝

，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题

向量问题

解决向量问题

解决几何问题.2.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.知识拓展2.若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行.几何画板展示判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若

∥，则A，B，C三点共线.(

)(2)若a·b＞0，则a和b的夹角为锐角；若a·b＜0，则a和b的夹角为钝角.(

)(3)在△ABC中，若

·<0，则△ABC为钝角三角形.(

)(4)已知平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：

，t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.(

)√××√思考辨析

考点自测1.(教材改编)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形答案解析∴△ABC为直角三角形.

A.6 B.5C.4 D.3在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝BC2，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点，所以

，两边平方得4||2＝68－32＝36，解得||＝3，故选D.答案解析答案解析x＋2y－4＝0由

＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.4.(2016·银川模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值为_____.设a与b夹角为α，∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4|a||b|cosα＝8－8cosα，∵α∈[0，π]，∴cosα∈[－1,1]，∴8－8cosα∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]，∴|2a－b|∈[0,4].∴|2a－b|的最大值为4.4答案解析几何画板展示答案解析题型分类深度剖析题型一向量在平面几何中的应用例1

(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点.若

＝1，则AB＝____.答案解析在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，

(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足

，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的答案解析A.内心B.外心

C.重心

D.垂心引申探究本例(2)中，若动点P满足

，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的______.内心答案解析所以点P的轨迹必过△ABC的内心.向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.思维升华

跟踪训练1

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形答案解析所以△ABC为等边三角形.5答案解析以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝y.则D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，由点P是腰DC上的动点，知0≤y≤a.题型二向量在解析几何中的应用例2

(1)已知向量

＝(k,12)，

＝(4,5)，

＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为____________.2x＋y－3＝0∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11.由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.答案解析答案解析∴OM是圆的切线，设OM的方程为y＝kx，向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.思维升华跟踪训练2

(2016·合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则

的最小值为______.∵圆心O是直径AB的中点，答案解析∴当大小相等时，乘积最小.题型三向量的其他应用命题点1向量在不等式中的应用答案解析因为

＝(x,1)，

＝(2，y)，所以

＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图像可知，当目标函数z＝2x＋y过点C(1,1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝

.

例4

(2016·合肥模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，则△ABC最小角的正弦值等于答案解析命题点2向量在解三角形中的应用∴△ABC最小角为角A，利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.思维升华跟踪训练3

(1)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图像如图所示，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且

＝0，则函数f(x)的最小正周期是_____.答案解析3解得xN＝2，答案解析3

三审图形抓特点审题路线图系列审题路线图答案解析返回由E为该函数图像的一个对称中心，作点C的对称点M，作MF⊥x轴，垂足为F，如图.返回课时作业A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形√答案解析12345678910111213故△ABC一定是直角三角形.123456789101112132.(2016·山东)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝

.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为√∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，答案解析123456789101112133.(2016·南宁模拟)已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)且a∥b，则sin2α等于√答案解析12345678910111213由a∥b得cosα＋2sinα＝0，∴cosα＝－2sinα，又sin2α＋cos2α＝1，4.(2016·武汉模拟)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，

cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C等于√答案解析123456789101112135.已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足

＝x2，则点P的轨迹是A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线√∵＝(－2－x，－y)，

＝(3－x，－y)，∴

＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6，即点P的轨迹是抛物线.12345678910111213答案解析*6.若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为

，则α与β的夹角θ的取值范围是________.答案解析如图，向量α与β在单位圆O内，由于|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为

，故以向量α，β为两边的三角形的面积为

，故β的终点在如图所示的线段AB上(α∥，且圆心O到AB的距离为

)，因此夹角θ的取值范围为

.123456789101112137.在菱形ABCD中，若AC＝4，则

＝_______.－8设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，由余弦定理得a2＝16＋a2－8acosθ，∴acosθ＝2，∴

＝4×a×cos(π－θ)＝－4acosθ＝－8.答案解析123456789101112138.已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为

.以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______.答案解析∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝4|a||b|cos＝4>0，∴|a＋b|>|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴|a－b|＝

.123456789101112139.设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，e2的夹角为

，则

的最大值为___.12345678910111213答案解析2答案解析123456789101112136圆(x－2)2＋y2＝4的圆心C(2,0)，半径为2，圆M(x－2－5cosθ)2＋(y－5sinθ)2＝1，圆心M(2＋5cosθ，5sinθ)，半径为1，∵CM＝5＞2＋1，故两圆相离.如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，∴cos∠EHF＝cos2∠CHE＝1－2sin2∠CHE＝

，12345678910111213证