矩阵可逆的若干判别法

矩阵可逆的若干判别方法摘要矩阵是数学中一个极其重要的概念，是线性代数的一个主要研究对象和重要工具，可逆矩阵在矩阵理论中占有非常重要的地位,判定矩阵是否可逆对矩阵的运算起着至关重要的作用.为了更便捷地求逆矩阵，本文根据不同矩阵的不同特点简单介绍了几种求逆矩阵的方法,其中有定义法、行列式法、初等变换法、伴随矩阵判别法、秩判别法、特征值判别法等并对部分方法原理进行了简要论证且给出了相应的例题.关键字：可逆矩阵；初等变换；秩；特征值.矩阵可逆的基本概念和定理1.1基本概念在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考矩阵理论。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵。定义1.1级方阵称为可逆的，如果有级矩阵,使得（1）这里是级单位矩阵.注可逆矩阵必为方阵,其逆必唯一,且与为同阶方阵,即.定义1.2如果适合（1）,那么就称为的逆矩阵,记作.定义1.3如果阶方阵的行列式不等于0,则称是非奇异的（或非退化的）；否则称是奇异的（或退化的）.定义1.4设是矩阵中元素的代数余子式，矩阵,称为的伴随矩阵.定义1.5矩阵中一切非零子式的最高阶数称为矩阵的秩，记为.定义1.6设,称矩阵的行向量组的秩为的行秩,矩阵的列向量组的秩为的列秩，矩阵的行秩等于矩阵的列秩,统称为矩阵的秩,记为.定义1.7由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.定义1.8矩阵的三类初等变换：(1)对调矩阵的两行(列)；(2)矩阵的某行(列)乘以非零常数；(3)矩阵的某行（列）的倍数加到另一行（列）.第一类初等矩阵表示将单位矩阵的第行与第行对换后得到的矩阵：.注也可以由单位矩阵的第列与第列对换后得到的矩阵.第二类初等矩阵等于将常数乘以单位阵的第行（或列）而得到的矩阵：.第三类初等矩阵表示将单位阵的第行（第列）乘以后到第行（第列）上得到的矩阵：.定义1.9如果阶矩阵满足(即),则称为正交矩阵.定义1.10如果矩阵可以由矩阵经过有限次初等变换得到，则称矩阵与是等价的.1.2基本定理和推论定理1.1矩阵可逆的充分必要条件是非退化，而可逆时证明：由行列式按一行（列）展开的公式即可得出：（2）其中如果那么由（2）得（3）当，有（3）可知，可逆，且.反过来，如果可逆，那么有使.两边取行列式，得,因而，即非退化.定理1.2设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左侧乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.定理1.3[克拉默法则]若非齐线性方程组的系数行列式，则方程组有唯一解，其解为其中是将系数行列式中第列的元素对应地换成方程组右端的常数项，而其余各列保持不变得到的行列式.若线性方程组的常数项，即，称为齐次线性方程组.定理1.4若齐次线性方程组的系数行列式，则方程组只有零解.证：因为，由克拉默法则，齐次线性方程组有唯一解，又因，可知行列式中的第列元素全为零（），因为，齐次线性方程组只有零解.定理1.5任意一个矩阵都与一个形如的矩阵等价.矩阵称为矩阵的标准型.证明：若,则已是标准型（此时）,结论成立.若,则中至少有一个元素不等于零，不妨设，用乘以第一行加到第行上，再将所得矩阵的第一列乘以加到第列上，并将化为1，于是矩阵化为，若，则已为标准型（此时），若，则按上面的方法继续下去，最终有.推论1.1对于任意矩阵，存在阶初等矩阵和阶初等矩阵，使得令,，由于初等矩阵都是可逆矩阵，而可逆矩阵的乘积仍为可逆矩阵，因此,为可逆矩阵，从而有如下推论.推论1.2对于任意矩阵，存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得.当为阶可逆矩阵时，由可逆的充分必要条件，.又由推论1.2，存在阶可逆矩阵,,使得，从而于是只有，所以由如下推论.推论1.3阶矩阵可逆的充分必要条件是的等价标准型为.推论1.4阶矩阵可逆的充分必要条件是可表示为有限个初等矩阵的乘积.证明：由推论1.1和推论1.3可知，可逆的充分必要条件是存在阶初等矩阵和，使得而初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，从而有.第二章矩阵可逆的性质定义一个n阶方阵A称为可逆的，或非奇异的，如果存在一个n阶方阵B，使得并称B是A的一个逆矩阵。不可逆的矩阵称为非奇异矩阵。A的逆矩阵记作A-1。定理验证两个矩阵互为逆矩阵按照矩阵的乘法满足：

故A，B互为逆矩阵。逆矩阵的唯一性若矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的。证明：若B,C都是A的逆矩阵，则有所以B=C，即A的逆矩阵是唯一的。判定简单的矩阵不可逆如

。假设有

是A的逆矩阵，则有比较其右下方一项：0≠1。[1]

若矩阵A可逆，则|A|≠0若A可逆，即有A-1，使得AA-1=E，故|A|·|A-1|=|E|=1则|A|≠0计算若|A|≠0，则矩阵A可逆，且其中，A*为矩阵A的伴随矩阵。性质可逆矩阵一定是方阵。（唯一性）如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T

(转置的逆等于逆的转置）若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。两个可逆矩阵的乘积依然可逆。矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。证明逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=IC，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。矩阵A可逆，有AA-1=I。（A-1）

TAT=（AA-1）T=IT=I，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。1）在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I。得B-C=O，即B=C。可逆等价条件齐次方程方程组AX=O仅有零解。A行等价与单位矩阵IA可写成若干个初等矩阵之积。是。[1]

（当时，A称为奇异矩阵），利用这个方法，来判定一个矩阵是否可逆更加方便。

证明必要性：当矩阵A可逆，则有AA-1=I。（其中I是单位矩阵）两边取行列式，det（AA-1）=det（I）=1。由行列式的性质：det（AA-1）=det（A）det（A-1）=1则det（A）≠0，（若等于0则上式等于0）充分性：有伴随矩阵的定理，有

（其中

是的伴随矩阵。）当det（A）≠0，等式同除以det（A），变成

比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵

求法求逆矩阵的初等变换法将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵

对B施行初等行变换，即对A与I进行完全相同的若干初等行变换，目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时，B的右一半矩阵同时化为了A。如求

的逆矩阵A-1。故A可逆并且，由右一半可得逆矩阵A-1=

初等变换法计算原理若n阶方阵A可逆，即A行等价I，即存在初等矩阵P1，P2,...,Pk使得

，在此式子两端同时右乘A-1得：

比较两式可知：对A和I施行完全相同的若干初等行变换，在这些初等行变化把A变成单位矩阵的同时，这些初等行变换也将单位矩阵化为A-1。[2]

如果矩阵A和B互逆，则AB=BA=I。由条件AB=BA以及矩阵乘法的定义可知，矩阵A和B都是方阵。再由条件AB=I以及定理“两个矩阵的乘积的行列式等于这两个矩阵的行列式的乘积”可知，这两个矩阵的行列式都不为0。也就是说，这两个矩阵的秩等于它们的级数（或称为阶，也就是说，A与B都是方阵，且rank(A)=rank(B)=n）。换句话说，这两个矩阵可以只经由初等行变换，或者只经由初等列变换，变为单位矩阵。伴随矩阵法如果矩阵

可逆，则

注意：

中元素的排列特点是的第k列元素是A的第k行元素的代数余子式。要求得

即为求解

的余因子矩阵的转置矩阵。A的伴随矩阵为

，其中Aij=（-1）i+jMij称为aij的代数余子式。性质2.1若是可逆矩阵，则其逆矩阵唯一.证明：若都是的逆矩阵，则与均满足式，即从而有即的逆矩阵是唯一的.性质2.2若可逆，则可逆，且证明：由可得可逆且性质2.3若可逆，则也可逆，且证明：因为,所以可逆，且性质2.4若,都是阶可逆矩阵，则可逆且证明：若,可逆，则，存在且所以可逆且若均为同阶可逆方阵，则它们的乘积也可逆且性质2.5若均为可逆方阵，那么也可逆且性质2.6若可逆，，则可逆且证明：若可逆，则，又，可得,所以可逆，再由得性质2.7若可逆，则.证明：若可逆，则存在，使得,。由方阵的行列式性质有,由以上得即有,且性质2.8矩阵与它的具有相同的可逆性，即可逆，可逆,且性质2.9对于初等矩阵有，，第三章矩阵可逆的充分必要条件以下各条件，对于矩阵可逆来说是等价的：3.1矩阵的行列式不等于0可逆；3.2矩阵可表示成一系列初等矩阵的乘积可逆；证明：可以表示成初等矩阵的乘积,由于初等矩阵都可逆,则一定可逆；反过来，可逆,则一定可以写成初等矩阵的乘积,如果不能写成初等矩阵的乘积,则矩阵一定不可逆,矛盾.所以矩阵可逆.3.3矩阵的特征值都不为0可逆；证明：的特征值不为零,则行列式不为零,所以可逆；反过来，可逆,则行列式不为零,所以特征值都不为0.3.4矩阵等价于阶单位矩阵可逆；3.5矩阵的列(行)向量组线性无关；证明：的行（列）向量线性无关,则由行列式的性质知道的行列式不为零，则可逆；当然如果可逆,则的行列式一定不为零,如果其行（列）线性相关，则行列式为零,与已知条件矛盾.3.6齐次线性方程组仅有零解可逆；证明：齐次线性方程组仅有零解,由克拉默法则知的行列式不为零,所以矩阵可逆；矩阵可逆,则一定有解唯一,即只有零解.3.7非齐次线性方程组有唯一解可逆；证明：有唯一解,则的行列式不为零，故可逆；反过来，可逆，则行列式不为零,由克拉默法则知有唯一解.3.8存在可逆矩阵,使得可逆，其中；证明：同推论的秩等于，即可逆.证明：，矩阵满秩,即行向量、列向量均线性无关,所以矩阵行列式不为零,矩阵可逆；反过来，矩阵可逆,所以行列式不为零,由行列式的性质知行向量（列向量）一定线性无关,所以.第四章矩阵可逆的基本判别方法4.1定义法由定义1.1可有定义法，级方阵称为可逆的，如果有级矩阵，使得，这里是级单位矩阵.注：利用定义法，当条件中有矩阵方程时，通过矩阵运算规律从矩阵方程中凑出的形式，从而可得，这一方法一般也适用于抽象矩阵求逆.例1设，讨论的可逆性并求.解：当，所以可逆.设，由定义知，则由矩阵乘法得解得所以当时，不可逆.例2设为非零矩阵，且,证明：与都可逆.解：由,根据可逆矩阵的定义得可逆，且又由根据可逆矩阵的定义得可逆，且注：定义法一般适用于求二级，三级可逆方阵的逆矩阵，或是适用于抽象矩阵，级数高的可逆矩阵不采取这种方法.因为矩阵的级数越大，方程组所含的方程越多，计算量一般非常大，解方程就很困难.4.2公式法或伴随矩阵法由定理1.1可得到公式法，当级方阵可逆时.注：求逆矩阵的公式，同时可以判定一个矩阵的可逆性，但它的计算量一般非常大.例3求的逆矩阵.解：的伴随矩阵又所以由公式得.注：由于计算需计算个阶行列式，同时还要计算，计算量较大，且容易出错，因此用公式法求矩阵的逆矩阵一般适用于低阶矩阵或较简单的高阶矩阵，或用于证明中；此法不适用于分块矩阵.4.3初等变换求逆法初等行变换法矩阵是阶可逆矩阵，可通过一系列的初等行变换将化为单位矩阵，即,则而可逆，且是一系列初等矩阵的乘积.具体方法如下：初等列变换法方法如下：注：具体数字的矩阵的求其逆矩阵时，常用初等变换法，这是实际应用中比较简单的一种方法.例4利用矩阵的初等变换，求方阵的逆矩阵。故注：用初等行变换法求时，对只能施行一系列初等行变换，而不能用初等列变换；同理对只能施行一系列初等列变换，而不能用初等行变换.4.4分块矩阵求逆法若，分别为阶和阶可逆矩阵时，则有（1），（2），（3），（4）我们对（4）作下证明：证明：因为均可逆，由拉普拉斯展开式有所以矩阵可逆.设，则即有解得故注：在处理较大的矩阵时，常常对矩阵进行分块，把大矩阵运算化为小矩阵的运算.要特别注意的是，在做分块的乘法时，应使左矩阵上列的分块方式与右矩阵上行的分块方式一致，分块矩阵求逆矩阵，有时比用其他方法更简便更准确.例5设，求.解：令,,.则,而,所以故注：利用以上四种方法都能求出可逆矩阵的逆矩阵，但相对而言，初等行变换法应用起来更方便，更简单，而且不容易出错.故我们在解题过程中一般采取初等行变换法.第五章矩阵可逆的其他判别方法5.1秩判别法由充分必要条件3.9可得到秩判别法，即，则阶方阵可逆.例6设矩阵,判断是否可逆.解：对矩阵进行初等行变换化为阶梯型矩阵因阶梯型矩阵有三个非零行，所以,所以不可逆.5.2向量组法由3.5可以得到判别矩阵可逆的向量组法，此法同秩判别法有很大的关联.例7：判定矩阵的可逆性.解：令，，则可表示成因为,所以线性相关，故不可逆.5.3线性方程组判别法1.齐次线性方程（1）,即(其中为该齐次线性方程组的系数矩阵）只有零解可逆.证明：用分别代表系数矩阵各列,则齐次方程组（1）可写成,方程组只有零解,即,从而线性无关，而线性无关的充要条件为可逆.非齐次线性方程（2），即（其中为该方程组的系数矩阵）有唯一解可逆.证明：用分别非齐次线性方程（2）代表系数矩阵各列，即 ,则方程组的向量形式为,由,知成的一组基,故每个向量都可以写成的线性组合的形式，即,且系数由唯一决定.换句话说,命题中的方程组有唯一解.反过来若方程组有唯一解,则必然有,否则方程组无解或有无穷多解.5.4特征值判别法由充分必要条件3.3可以得到特征值判别法，即矩阵可逆时是它的特征值不等于零.例8判断是否可逆.解:由特征值法：解得特征值为特征值全不为0，所以矩阵可逆.第六章一些特殊矩阵的可逆性特例6.1单位矩阵是可逆的.证明：因为显然成立,故根据矩阵可逆的定义可知单位矩阵可逆,进而知道,所以也是可逆的.特例6.2令对角矩阵,若它的主对角线上的元均不为零,则可逆.证明：记,,因为,故根据矩阵可逆的定义可知,是可逆的.特例6.3数量矩阵可逆.证明：因为,而单位矩阵是可逆的,由矩阵可逆性质知,故可逆.特例6.4当时,有,矩阵称为上三角形矩阵,可逆上三角形矩阵的逆仍是上三角形矩阵.证明:令,设是的逆,即,比较和的第一列元素：因为,所以进而.同理可以比较其它列,得时,,所以是上三角形矩阵,故可逆上三角形矩阵的逆仍是上三角形矩阵.注:此结论对下三角形矩阵也是成立的.特例6.5正交矩阵是可逆的,且. 例9已知为一对称正交阵,求的逆矩阵.解：因为为正交阵，由定义知，故,所以特例6.6解矩阵方程的基本方法有：方法1：若可逆，则,可以先求出，再做乘法求出，也可以用行变换法直接求出，即方法2：若不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯形方程组.例10已知,求.解：由于，矩阵可逆，且，所以小结本文的第一章对矩阵的诸多定义、性质进行了介绍；第二、三章介绍可逆矩阵的性质和一些充分必要条件；第四章介绍了判别矩阵可逆的一些基本方法，其中有定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法；第五章介绍了判定矩阵可逆的一些其他判别方法，其中包括秩判别法、线性方程组判别法、特征值判别法、和向量组法。本文对一些判断矩阵是否可逆的方法进行了论证，并举例进行说明，使读者对各种判别方法的使用有一个较清楚的认识.参考文献[1]苗宝军.翻转课堂教学模式在高等代数课程中的设计及实效性研究[J].科教文汇（上旬刊），2017（09）：61-64.[2]龙艳华，王学平.零和自由半环上的半可逆矩阵[J].四川师范大学学报（自然科学版），2017，40（04）：450-456.[3]周慧倩.可逆矩阵的初等变换对其逆矩阵的影响[J].河南教育学院学报（自然科学版），2017，26（02）：52-54.[4]陈小明，游伟青，李文喜，蒋浩.一类可逆矩阵在保密通信中的应用[J].信息网络安全，2017（05）：7-13.[5]王良晨，胡学刚，李玲.矩阵可逆的充要条件[J].科教文汇（中旬刊），2017（04）：39-40.[6]李淑芝，胡琴，邓小鸿.灰度共生矩阵纹理特征选块的可逆图像水印[J].光电子•激光，2017，28（04）：411-418.[7]陈瑞，王星星.矩阵可逆的若干判别方法研究[J].枣庄学院学报，2017，34（02）：66-71.[8]张新文，王佳.基于可逆矩阵加密技术的保密通信数学模型[J].西南师范大学学报（自然科学版），2017，42（02）：166-170.[9]刘汉超，徐晓伟.可逆上三角矩阵上的加性映射[J].吉林大学学报（理学版），2017，55（01）：79-81.[10]张楠，海国君，阿拉坦仓.算子矩阵的左可逆补[J].内蒙古大学学报（自然科学版），2017，48（01）：30-33.[11]吴肇星，金鑫，宋承根，张春伟，李晓东.基于随机可逆矩阵的3D点云模型加密[J].系统仿真学报，2016，28（10）：2455-2459.[12]肖滢.逆矩阵的判定及计算方法[J].高等数学研究，2016，19（04）：72-76.[13]王紫萍.考研中的伴随矩阵A*[J].内江科技，2016，37（04）：103.[14]孙俊丰，黄俊杰，阿拉坦仓.一类缺项算子矩阵的可逆补[J].内蒙古大学学报（自然科学版），2016，47（01）：28-36.[15]俞美华.求逆矩阵的几种方法[J].科技视界，2015（31）：177-178.[16]单彩虹，陈平，张欢，刘翠香.可逆矩阵的判定及其逆矩阵的求法[J].信息系统工程，2015（09）：123-124.[17]张慧芳，齐雅茹，黄俊杰，阿拉坦仓.一类缺项四分块算子矩阵的可逆补[J].应用泛函分析学报，2015，17（03）：242-246.[18]刘艳花.矩阵可逆的一个充分必要条件的几种讲法[J].科技资讯，2015，13（26）：94-95+97.[19]修风光.逆矩阵相关问题的探讨[J].科技展望，2015，25（15）：255.[20]赖璇，陈正新.可逆上三角矩阵群的交换自同构[J].福建师范大学学报（自然科学版），2015，31（03）：1-6.[21]谭佩贞.矩阵可逆判定方法的探讨[J].科技展望，2015，25（10）：295.[22]吴德玉，阿拉坦仓.一类无界上三角算子矩阵可逆的