【高中数学】空间向量及其线性运算课件 2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

空间向量及其线性运算三.新知初探(一)空间向量的有关概念1.定义：在空间，具有

和

的量叫做空间向量.2.长度或模：空间向量的

.大小方向

大小

3.表示方法：有向线段

起点终点

4.几个特殊的向量概念：平面向量空间向量零向量：单位向量：相等向量：相反向量：模为0的向量，记作：0模为1的向量模相等，方向相同的向量模相等，方向相反的向量空间中的任意两个非零向量，都可以通过平移使它们的起点重合。因此，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。所以对于空间向量的研究可以类比平面向量得出.（二）空间向量的线性运算1.空间向量的加法、减法

运算：空间向量的加法、减法运算与平面向量的运算一样.

运算律：①交换律：②结合律：AaOQPλaλ>0MNλaλ<02.空间向量的数乘运算

运算：空间向量的数乘运算与平面向量的运算一样.

运算律：①结合律：②分配律：当，当，当0或，

给定一个实数λ与任意一个空间向量

，则实数λ与空间向量

相乘的运算称为数乘向量，记作

．其中：当λ≠0且

时，

的模为,而且的方向满足：对于空间中任意向量a和向量b,以及实数λ和μ，3.知识拓展⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：4.互动探究在平行六面体中，分别标出表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？发现：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变.发现：即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．（三）共线向量1.定义(类比平面向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线_______________，则这些向量叫做_________或平行向量．互相平行或重合共线向量规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量

，都有0∥a.探究思考2:反之，

与

有什么样的位置关系时，？

对任意两个空间向量

与

,如果,与

有什么样的位置关系？类比平面向量对任意两个空间向量

与

,如果,则

与

是平行或者共线的向量.反之，当

与

是平行或者共线的向量，则存在实数满足.对于空间任意两个向量𝑎,𝑏(𝑏≠0),𝑎//𝑏

的充要条件是存在实数λ使______.3.直线的方向向量：2.共线向量定理：直线

可以由其上一点和和它的方向向量确定。此时我们把与向量

平行的非零向量称为直线l的方向向量.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量

，则对于直线l上任意一

点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数

,使得

思考：通过证明𝑎//𝑏，还需要什么条件呢？需要说明向量a所在的直线上至少有一点不在向量b所在的直线上.（四）共面向量平行于__________的向量叫做共面向量．1.定义同一个平面我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的。那么，什么情况下三个空间向量共面呢？如图：如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线.

OAl如果直线平行于平面或在平面内,那么向量平行于平面.探究思考3:对平面内任意两个不共线的向量由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量都可以写成，其中是唯一确定的有序实数对.对两个不共线的空间向量，如果，那么向量与向量有什么位置关系？反过来，向量与向量有什么位置关系时，？

猜想：如果空间两个向量不共线，则向量与向量共面存在唯一的有序实数对

使.

2.共面向量定理：OACB空间两个向量不共线，向量与向量共面存在唯一的有序实数对

使.

证明：（1）必要性，如果向量与向量共面，则通过平移一定可以使它们位于同一平面内.

使得.由平面向量基本定理可知，存在唯一的实数对（2）充分性，如果向量满足，则可选定一点O

，作于是显然

都在平面

内，故

共面.3.推论（判断点在平面内）：Mα引入空间任一点,

可变式为空间一点位于平面内存在唯一的有序实数对使.推论1：空间四点共面存在唯一有序实数对使如果我们令则

,其中.推论2：空间四点共面存在唯一的有序实数对使其中.四.课堂练习答案：(1)×

(2)√(3)×(4)×考点：空间向量的概念.五.例题讲解OABCDEFGH思路探究：欲证四点共面，只需证明共面.而由已知

共面，可以利用向量运算由共面的表达式推得

共面的表达式.

例：如图，已知平行四边形，过平面外一点，作射线

，在四条射线上分别取点,使

.

求证：四点共面.

考点：空间中四点共面的判定.OABCDEFGH是平行四边形由向量共面的充要条件可知，共面,又过同一点,从而四点共面.证明：.点拨运用1（8分钟）

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1那么四个点一定共面吗？怎么证明四点共面呢？那么四个点一定共面吗？怎么证明四点共面呢？导学问题2（5分钟）阅读课本p4-5

我们知道，任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能是共面的，也可能是不共面的.那么，什么情况下三个空间向量共面呢？

点拨运用2（18分钟）

证明四点共面的方法