2021年湖南省各市各区数学中考模拟试题分类汇编 图形的变化解答（一）

2021年湖南省各市各区数学中考模拟试题分类汇编:

图形的变化解答（一）

1.（2021•醴陵市模拟）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、

C重合），连结BP,绕点B顺时针旋转90°至IJ8Q,连结QP交于点E,QP延

长线与边交于点F.

（1）连结C。，求证：AP=CQ；

（2）若正方形的边长为4,且PC=3AP,求线段PQ的长.

2.（2021•邵阳县模拟）如图，RtZ\ABC中，ZACB=90Q.以BC为直径作。。交43于

点。，过点。作的切线OE交AC于点E,连接OE.

（1）求证：EO//AB；

（2）若A8=10,£>£=4,求。。的直径.

3.（2021•醴陵市模拟）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是醴陵市政府给

某贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房

屋的高AB所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为37°,

此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上4点三点恰好共线，继续向房屋方向走4〃,到达

点。时，又测得屋檐E点的仰角为45°,房屋的顶层横梁EF=10机，EF//CB,AB交

EF于点G（点C,D,8在同一水平线上）.（参考数据：sin37°^0.6,cos37°弋0.8,

tan37°七0.75）

（1）求屋顶到横梁的距离AG：

（2）求这栋房屋高AB.

图①

4.（2021•岳阳二模）如图是某户外看台的截面图，长15机的看台AB与水平地面AP的夹

角为35°,与AP平行的平台BC长为2〃?，点F是遮阳棚。E上端E正下方在地面上的

一点，测得A尸=2.3.，在挡风墙C。的点。处测得点E的仰角为26。，求遮阳棚OE

的长（计算结果精确到十分位）.（参考数据：sin35°40.57,cos35°~0.82,sin26°

弋0.44,cos26°弋0.90)

5.（2021•隆回县二模）如图（1）是某住户窗户上方安装的遮阳篷，要求设计的遮阳篷既

能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内.图（2）

是根据住户要求设计的垂直于墙面4C的遮阳篷CD,已知夏至当天的太阳光线DA与遮

阳篷C3的夹角最大（NAOC=77.44°）；冬至当天的太阳光线。B与遮阳篷CD的夹

角最小（N2£>C=30.56。），窗户48的高度为2m.求CD的长.（结果精确到0.1〃?,

参考数据：sin30.56°-0.51,cos30.56°g0.86,tan30.56°*0.59,sin77.44°~0.98,

cos77.44°-0.22,tan77.44°仁4.49）

图⑴图⑵

6.（2021•益阳模拟）如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼

的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°,

测得2号楼顶部厂的俯角为45。.已知1号楼的高度为20米，2号楼的高度是多少米？

（结果保留根号）.

60*7^45*

1

号

楼

5

7.（2021•株洲模拟）如图甲，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起,

并且有公共的直角顶点O.

（1）在图甲中，你发现线段AC、8。的数量关系是,直线AC.BD相交成度

角；

（2）将图甲中的AAOB绕点。顺时针旋转90。，在图乙中作出旋转后的△AO8；

（3）将图甲中的△AOB绕点。顺时针旋转一个锐角，得到图丙，这时（1）中的两个结

论是否成立？作出判断，并说明理由.若△AOB绕点。继续旋转更大的角度时，结论仍

然成立吗？作出判断，不必说明理由.

8.（2021•娄底模拟）钓鱼岛历来就是我们中国的固有领土，是神圣不可侵犯的！如图是钓

鱼岛中某个岛礁上的斜坡AC,我海监船在海面上与点C距离200米的。处，测得岛礁

顶端A的仰角为26.6。，以及该斜坡坡度是1：1,求该岛礁的高4&

（结果取整数,参考数据：sin26.6°-0.45,cos26.6°g0.89,tan26.6°-0.50）

9.（2021•天心区一模）数学课上，老师布置了一道尺规作图题：如图1,已知直线/和/

直线外一点D,用直尺和圆规作过点D且与直线/平行的直线.

小姝的作法是:

①在直线/上任取两点A、B；②以。为圆心，AB长为半径作圆弧；③以B为圆心，DA

为半径作圆弧，两段圆弧交于点C；④连接C£>,则直线即为直线/的平行线.

（1）根据小姝的作法，请你证明直线CO〃直线/；

（2）在第（1）问条件下，如图2,在线段C。上取一点E,连接8E并延长交AO的延

长线于P,连接AE、BD交于点M,连接PM并延长交CO于F,交AB于G.

①求证：GB#

②求△PAG与△PGB的面积之比.

p

图2

10.（2021•邵阳县模拟）如图，某住宅小区A地的学生到学校B地上学，原来需要绕行C

地，沿折线A-C-B方可到达.当地政府为了缓解学生路途上学时的交通压力，修建了

一条从A地到B地的笔直公路.已知N4=45°,ZB=30°,8c=4千米，请问公路修

建后，从小区A地到学校B地可以少走多少千米？（参考数据：如七1.41,我~1.73）

11.（2021•攸县模拟）如图，小明和小丽都住在株洲市天元区“恒大御景天下”小区.其

中，小明家住在60机高的A楼里，小丽家住B楼里，B楼坐落在A楼的正北面，且两楼

相距2a同，已知当地“秋分日”上午9时整太阳光线与水平面的夹角为30°.

（1）上午9时整A楼落在B楼上的影子有多长？

（2）如果当天太阳光线与水平面的夹角每小时增加10度，那么在什么时间A楼的影子

刚好不落在8楼上？

GH

12.（2021•茶陵县模拟）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，如图，在司机开

车经过坡面即将进入车库时，在车库入口的上方8c处会看到一个醒目的限高标志,

现已知图中2C高度为0.5m,A8宽度为9m,坡面的坡角为30°.

（1）根据图（1）求出入口处顶点C到坡面的铅直高度CD.

（2）图（2）中，线段CE为顶点C到坡面AO的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，

请判断该车能否进入该车库停车？（百-1.7,精确到01米）

图①图②

13.（2021•天心区一模）如图所示，平面直角坐标系X。），的正方形网格中，每个小正方形

的边长都是1,△ABC顶点都在网格线的交点上，点8坐标为（-3,0）,点C坐标为

（-2,2）.

（1）画出△ABC向右平移4个单位的图形△Ai&G；

（2）画出△4BC关于x轴的对称图形△42&C2；

（3）写出点A绕B点顺时针旋转90°对应的点的坐标.

14.(2021•开福区模拟)如图，在四边形ABCO中，NABC=90°,AB=BC=BD=近,

BELAD,BFLCD,垂足为E,F,AC交BF,BE分别于点G,H.

(1)求NEBF的度数；

(2)求证：△ABGsMHB；

(3)若CG=/,求tanNHGB的值.

15.（2021•怀化模拟）为确保我市水库平安渡汛，水利部门决定对某水库大坝进行加固，

加固前大坝的横截面是梯形ABC2如图所示，已知迎水坡面AB的长等于10“米，坡

角NB=60°,背水坡面CQ的坡度为1：1.5,加固后的大坝截面为梯形ABE。，QE的

坡度为1：2.

（1）求CE的长.

（2）已知被加固的大坝长为100米，求需要被填的土石方约为多少立方米？

16.（2021•娄星区模拟）为积极响应党中央号召，推进乡村振兴，某地区对A、B两地间

的公路进行改建，如图，A、8两地间有一座山，汽车原来从A地到5地需要途径C地

沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知AC=40千米，/A

=30°,ZB=45°.

（1）开通隧道前，汽车从A到B地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从A到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米，参

考数据：料-1.41，73^1.73）.

17.（2021•雨花区模拟）某地下车库入口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是

栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点.当车辆经过时，栏杆AE尸升起到如图2所

示的位置，图3是其示意图（不计栏杆宽度），其中EF//BC,ZAEF=143°,

AB=4E=1.3米，请问一辆2.3米高的小货车能否从此进入地下车库？说明理由.

（参考数据：sin370-0.60,cos37°-0.80,tan37°—0.75）

18.（2021•岳阳一模）一次小组合作探究课上，老师将两个正方形按如图所示的位置摆放

（点E、A、£＞在同一条直线上），发现且

小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答：

（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转（如图1）,还能得到BE=OG吗？若能，

请给出证明；若不能，请说明理由；

（2）把背景中的正方形分别改成菱形AEF和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按顺时

针方向旋转（如图2）,试问当/E4G与N8A。的大小满足怎样的关系时，背景中的结

论BE=QG仍成立？请说明理由；

⑶把背景中的正方形分别改写成矩形AEFG和矩形ABCQ,且绘华•络，AE=2a,

AGAD3

AB=2b,将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3）,连接DE,BG.试求DE2+BG2

的值（用Chh表示）.

设了信号发射塔，如图所示.小茜为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射

塔顶端。点的仰角是45°,测得发射塔底部C点的仰角是30°.请你帮小茜计算出信

号发射塔QC的高度.（结果精确到01米，百-1.732）

20.（2021•张家界模拟）如图所示，某建筑物楼顶有信号塔EF,某数学活动小组要测量信

号塔斯的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量.点A,D,C,8在同一条直

线上，在C点时刚好能看到信号塔的最高点F,测得仰角/ACF=60°,测得AC长为9

米.在B点刚好能看到信号塔的最低点E,测得仰角NB=30°,测得BC长为12米.求

信号塔EF的高度（结果保留根号）.

参考答案

1.【解答］解：如图，过点于

(1)由题意得：PB=QB，NPBQ=N2+N3=90°.

•.•四边形A8C。是正方形，

：.AB=CB,NA8C=N1+N2=9O°.

在△APB和△CQB中，

'AB=CB,

<Z1=Z3,

BP=BQ.

.♦.△ABP丝△CBQ(SAS).

：.AP=CQ.

(2)由(1)知：/ABC=90。，AB=CB.

在RtzMBC中，NA8C=90°,

•*-AC=7AB2+BC2=V42+42=W2•

又：PC=34P,

：.AC=AP+PC=AP+3AP=4AP=4^.

：.AP=42-

•；四边形ABC。是正方形，

：.ZPAM=45Q.

：PAMAB于M,

；.NPMA=NPMB=90°.

：.ZAPM=180°-ZAMP-ZPAM=180°-90°-45°=45°

：.ZPAM=ZAPM

：.AM=PM.

在RtZXAPM中，ZAMP=90°,

：.AP2=AM2+PM2.

2AM亚产.

：.AM=PM=\.

-AM=4-1=3.

在RtZSPMB中，NPMB=90。,

BP=7PM2+MB2=V32+I2=VTO-

：.PB=QB=^.

在Rt△尸8Q中，NPBQ=90°,

PQ=VPB2-H3B2=7（V10）2+（^）2=2V5-

：BC为。。的直径，

/.ZBDC=90°,

AZADC=90°,

AZCDE+ZADE=90°,

VZACB=90°,

.•.CE为。。的切线，

又...QE是。。的切线，

：.ED=EC,

：.ZCDE=ZDCE,

又,.•N£）CE+NA=90°,

：.ZA^ZADE,

：.DE=AEf

CE=AEf

又♦・・05=0C,

JOE//AB；

（2）解：由（1）可知DE=C£=AE=4,

・・・AC=8,

VAB=10,

•*-BC=VAB2-AC2=V102-82=6>

即。。的直径为6.

3.【解答】解：(1)•••房屋的侧面示意图是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高4B所在

的直线，EF//BC,

：.AG±EF,EG^—EF=5(m),NAEG=NACB=37°,

2

在RtZ\AGE中，tan/4EG=tan37°=始弋0.75,

EG

二AG七5X0.75=3.75(w)；

答：屋顶到横梁的距离AG约为3.75m；

(2)过E作E”J_CB于〃，如图②所示：

则BG=EH,

设EH=xm,

在RtAED”中，ZEHD=90°,NEDH=45°,

EH

\'tanZEDH=—=tan45°=1,

DH

：.DH=EH=xmf

在RtZ\ECH中，ZEHC=90°,ZECH=37°,

EH3

VtanZFC/7=—=tan37°^0.75=—,

CH4

4

CH=­xm,

3

■:CH-DH=CD=4m,

4

—x-x=4,

3

解得:x=12,

:,BG=EH=12(m),

：.AB=AG+BG=12+3.75=15.75(m),

答：房屋的高A3约为15.75%

4.【解答】解：过点B作于”，过。作。G，E尸于G.

则/BHA=NOGE=90°,

由题意得：A8=15相，NA=35°,ZEDG=26°,

在RtZ\BAH中，A，=AB・cos35°g15X0.82=12.3(加)，

：.FH=AH-AF=12.3-2.3=10(m),

GD=FH+BC=10+2=12(m),

在Rt^EGO中，cosNEZ)G=殁=cos26°-0.90,

DE

：.DE=—四丁•加上-七13.3(m)

Cos260.9

答：遮阳棚£>E的长约为13.3m.

为△ADC中，—=tanZADC,

CD

.\AC=4A9xm,

Rt^BDC中,—=tanZBDC,

CD

BC=O.59x/72,

AB=2mf

/.4.49x-0.59x=2,

解得x=0.51.

答：CD的长约为0.51m.

6.【解答］解：过点E作EGLA5于G,过点尸作于H,

贝IJ四边形ECBG,48。尸是矩形,

：.EC=GB=2Q,HB=FD,

为CO的中点，

:"EG=CB=BD=HF,

由已知得：NE4G=90°-60°=30°,ZAF/7=45°.

在RtZMEG中，AG=A8-GB=50-20=30（米），

.\£G=AG«tan30o=30X。如（米），

*o1

在中，尸・tan45。=10遍（米），

：.FD=HB=AB-AH=（50-10-73）（米）.

答：2号楼的高度为（50-10«）米.

60y\45°

2

G0

1T1

楼

号

楼

CBD地面

7.【解答】解：（1）和△OCO为等腰直角三角形,

•：OA=OB,OC=OD,NAO8=/COL>=90°,

：.OC-OA=OD-OB,

即AC=BD；

VZAOB=90°,

.•.直线AC、8。相交成90度的角；

故答案为相等；90；

（2）如图乙，ZVIOB为所作；

图乙

（3）图丙，（1）中的两个结论成立.

理由如下：延长C4交8。于“，交0。于P,如图丙,

'：/\OAB和△0C£>为等腰直角三角形，

■：OA=OB,OC^OD,NAOB=/COD=90°,

ZAOC+ZAOD=ZAOD+ZDOB,

:"C0A=4D0B,

在△AOC和△30。中，

rOA=OB

<ZAOC=ZBOD>

OC=OD

.♦.△AOC丝△BOO(SAS),

：.AC=BD,ZOCA=ZODB,

ZOPC=ZPDH,

:.NPHD=/POC=90°,

即直线AC、BD相交成90度的角；

若△AOB绕点。继续旋转更大的角度时，结论仍然成立.

8.【解答】解：；斜坡坡度是1：1,

：.AB：BC=1：1,

故可设AB=BC=x米，

在RtZ\4£>8中，ND=26.6°,BD=(200+x)米，

，tan26.6°=---=0.50,

x+200

解得：x=200(米)，

答：该岛礁的高4B为200米.

9.【解答】(1)证明：连接BC.由作图过程可知：fiC=AD,AB=DC,

•••四边形ABCD为平行四边形.

J.CD//AB,即直线C3〃直线1；

(2)①证明：：C£)〃AB,

.DF^FMEF=FM

,•福一而'GA"MG"

.DFEF

••旗前

②解：-：CD//AB,

:.XPDFsXPAG,△PEFsAPBG,

.DF_PFEF_PF

"AG"PG"GB'PG

.DFEF

AGBG

DFEF

由①得GB"GA

•DF.DF_EF.EF

**AG^GB'BG"^GA

.GB_AG22

AG=GB,BPAG=GB,

：.AG=GB,

.•.△PAG与△PGB等底同高，

：./\PAG与APGB的面积相等，

...△PAG与ArGB的面积之比为1.

10.【解答】解：（1）过点C作A8的垂线CQ,垂足为Q,

在直角△8CE）中，ABLCD,BC=4千米，

.•.CD=8C・sin30。=4X—=2（千米），

2

8£>=BC・cos30。=4X堂=2«（千米），

在直角△ACD中，AD=CD=2（千米），

AC=.史。=加以>=2&（千米），

sin45

：.AB=AD+DB=（2+2«）（千米），

从A地到景区B旅游可以少走：

AC+BC-AB

=2扬4-（2+2晶）

=2+2圾-2畲

弋2+2X1.41-2X1.73

=1.36（千米）.

答：从4地到景区B旅游可以少走1.36千米.

c

11.【解答】解：（1）如图，过点。作。E，CG于点E,

在RtZ\CE£>中，

tanZCDE--,即CE=Z)£・tan30°=20«X返=20O),

DE"J3

故。尸=EG=CG-CE=60-20=40(m)，

即上午9时整A楼落在B楼上的影子长为40m.

（2）当A楼的影子刚好不落在B楼上时，太阳光线与水平面的夹角刚好是NCFG.

=M，

.♦.NCFG=60°,

又60。-30°

10°-3

即在当天正午12时整（或正午），4楼的影子刚好不落在，B楼上.

12.【解答】解：(1)在Rt^ABO中，ZBAZ)=30°,AB=9m,

BD=AB*tanZBAD=9X4=3«(,篦)，

：.CD=BD-BC=3V3-0.5«^4.6(m),

答：点C到坡面的铅直高度CD约为46”；

(2)在RtZ\C£>E中，ZCDE=60°,CD=(3b-0.5)m,

：.CE~CD'smZCDE~(3遍-0.5)乂亨=微-4七4.1(/"),

V4.1>3.9,

,该车能进入该车库停车.

13.【解答】解：(1)如图，△A8|G即为所求作.

(2)如图，232c2即为所求作.

(3)点4绕8点顺时针旋转90°对应的点A'的坐标(1,2).

14.【解答】(1)解：-：AB=BD=BC,BELAD,BFLCD,

：.ZEBD=—ZABDZDBF=—ZDBC

2f2f

VZABC=90°,

:・/EBF=NEBD+NDBF=L(NABO+/O8C)=—ZABC=45°；

22

(2)证明：ZABC=90°,

；.NBAG=NBCH=45°,

VZAGB=ZCBG^ZBCG=ZCBG+45°,ZCBH=ZCBG^ZBEF=ZCBG+450,

・•.NAGB=NCBH,

：.△ABGs/\CHB；

(3)解：作3K_LAC于K,

,:AB=BC=®,NABC=90。,

，Ac=7AB2+BC2=2,

・；BK_LAC,

：.AK=CK=\,

：.BK=—AC=\,

2

15.【解答】解：（1）作AFLBC于尸，于H,

则四边形AF4。为矩形，

：.AF=DH,AD=FH,

在RtZ\ABF中，AB=10技?，NB=60°,

则AF=AB・sin8=15（米），BF=AB・cosB=5«（米），

；.Z）H=15米，

；坡面8的坡度为1：1.5,OE的坡度为1：2,

：.CH=22.5（米）,EH=30（米）,

:.CE=EH-CH=1.5（米），

答：CE的长为7.5米；

（2）需要被填的土石方=^X7.5X15X100=5625（立方米），

2

答：需要被填的土石方约为5625立方米.

16.【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CC,垂足为D

,JABLCD,AC=40千米，ZA=30°,ZB=45°.

：.BD=CD=—AC=20千米，

2

.♦.BC=加C£）=20M（千米），

.•.AC+BC=40+20圾心40+1.41X20=68.2（千米）.

，开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走68.2千米；

（2）'：AD=AC*cos30°=40X号=20“（千米），

.•.8Q=CC=^AC=40X上=20（千米），

22

AAB^AD+BD=20yf^-20^20X1.73+20=54.6（千米）.

汽车从A地到B地比原来少走的路程为：

AC+BC-AB=6S.2-54.6=13.6（千米）.

,开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走13.6千米.

17.【解答］解：如图，过点A作BC的平行线AG,过点E作EHL4G于H,

则NEHG=N”EF=90°.

3___F

4（^\

B0------------------C

图3

VZAEF=143°,

AZA