（高考数学）空间向量与立体几何答案-真题分类汇编

第二十四讲空间向量与立体几何答案部分2019年由题设知AB₁PDC,可得BCPA₁D,故MEPND,因此四边形MNDE为平行四边形，MN//ED.又MN4平面EDCi,所以MN//平面C₁DE.(2)由已知可得DE⊥DA.X设n=(p,q,r)设n=(p,q,r)所以可取n=(2,0,-1)所以所以二面角A-MA-N的正弦值为.(Ⅲ)过A作AD的垂线交BC于点M,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD,如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),因为E为PD的中点，所以E(0,1,1).(Ⅲ)直线AG在平面AEF内，因为点G在PB上，1,PB=(2,-1,-2),,,所以所以直线AG在平面AEF内.又平面A₁ACC⊥平面ABC,A₁EC平面A₁ACG,第19题图由于A₁E⊥平面ABC,故AE₁⊥EG,所以平行四边形EGFA₁为矩形.连接A₁G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A₁BC所成的角(或其补角).A₁E=2√3,EG=√3.(I)连接A₁E,因为AA=A₁C,E是AC的中点，所以A₁E⊥AC.又平面AlACCi上平面ABC,AiEC平面如图，以点E为原点，分别以射线EC,EA₁为y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz.第19题图不妨设AC=4,则A₁(0,0,2√3),B(√3,1,0),B(V5,3,(Ⅱ)设直线EF与平面A₁BC所成角为θ,因此直线EF与平面A₁BC所成角的余弦值4.证明：(1)因为D,E分别为BC,AC的中点，又因为EDC平面DECi,A1B平面DECi,所以A₁B₁//平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点，所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-A₁B₁Ci是直棱柱，所以CC山平面ABC.又因为BEC平面ABC,所以CCi⊥BE.因为GCc平面A₁ACC1,ACC因为GEC平面A₁ACG,所以BE⊥C₁E.32.(2019全国Ⅲ理19)图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连结DG,如图2.(1)证明：图2中的A,C,G,D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE;(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.5.解析(1)由已知得AD□BE,CG□BE,所以AD□CG,故AD,CG确定一个平面，从而A,C,G,D四点共面.由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.又因为ABC平面ABC,所以平面ABC⊥平面BCGE.面ABC.-1,0).则则即第7页共67页(2)由(1)知∠BEB₁=90°.由题设知Rt△ABE=Rt△ABE,所以∠AEB=45°,即.(Ⅱ)过A作AD的垂线交BC于点M,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD,如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),因为E为PD的中点，所以E(0,1,1).(Ⅲ)直线AG在平面AEF内，因为点G在PB上，且,b=-(2.1,2),,,由(II)知，平面AEF的法向量为n=(-1,-1,1),所以所以直线AG在平面AEF内.8.解析：方法一：(I)连接A₁E,因为A₁A=A₁C,E又平面AlACCi⊥平面ABC,A₁EC平面A₁ACG,平面A₁ACC∩平面ABC=AC,又因为A₁F//AB,∠ABC=90°,故BC⊥A₁F.所以BC⊥平面A₁EF.因此EF⊥BC.则EGFA₁是平行四边形.由于A₁E⊥平面ABC,故AE₁⊥EG,所以平行四边形EGFA₁为矩形.由(I)得BC⊥平面EGFA₁,则平面A₁BC⊥平面EGFA1,所以EF在平面A1BC上的射影在直线AiG上.连接A₁G交EF于O,则∠EOG是直线EF与平面A₁BC所成的角(或其补角).,因此，直线EF与平面A₁BC所成角的余弦值第10页共67页(I)连接A₁E,因为AA=A₁C,E是AC的中点，所以A₁E⊥AC.又平面A₁ACC⊥平面ABC,A₁EC平面A₁ACG,如图，以点E为原点，分别以射线EC,EA为y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz.第19题图,C(0,2,0).A₁(0,0,2√3),B(√3,1,0),B(V3,3,C(0,2,0).(Ⅱ)设直线EF与平面A₁BC所成角为θ,9.解析(1)由已知得ADBE,CG□BE,所以AD□CG,故AD,CG确定一个平面，从而A,第11页共67页(2)作EH⊥BC,垂足为H.因为EHC平面BCGE,平面BCGE⊥平面ABC,所以EH⊥平面ABC.-1,0).则则即则C(0,1,0),B(1,1,0),C(0,1,2),CC=(0,0,2).即即又MN±平面EDC1,所以MN//平面第13页共67页(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,XX则A(2,0,0),A₁(2,0,4),M(1,√3,2),N(1,0,2),EQ\*jc3\*hps5\o\al(\s\up7(),M)A₁N=(-1,0,-2),AN=(-1,0,-2).设m=(x,y,z)为平面A₁MA的法向量，则所以可取m=(√3,1,0)·为平面A₁MN所以于是所以二面角A-MA-N的正弦值为(I)过A作AD的垂线交BC于点M,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD,如图建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),第14页共67页D(0,2,0),P(0,0,2),因为E为PD的中点，所以E(0,xx(Ⅲ)直线AG在平面AEF内，因为点G在PB上，且,所以,所以直线AG在平面AEF内.第15页共67页..正方向的空间直角坐标系，如图所示，可得A(0 又因为直线BF平面ADE,所以BF//平面ADE.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为解第16页共67页2010-2018年又BFC平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.角坐标系H-xyz.又PF=1,EF=2,可;故PE⊥PF.·,,,为平面ABFD的法向量.第17页共67页所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为∵CC⊥平面ABC,∴四边形A,ACC₁为矩形.∴AC⊥平面BEF.又CC₁⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC.如图建立空间直角坐称系E-xyz.由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2第18页共67页∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交.:由OP²+OB²=PB²知PO⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.第19页共67页则AM=(a,4-a,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z)..由已知得|所以解得a=-4(舍去),所以所以所以PC与平面PAM所成角的正弦值为4.【解析】(1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BCC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.因为M为CD上异于C,D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.而DMC平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,即z轴的正方向的空间直角坐标系(如图),可得D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0)C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),第21页共67页1),可得MN·m₀=0,又因为直线MN平面CDE,所以MN//平面CDE.设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量，则可得n=(0,1,1).)为平面BCF的法向量，则可得m=(0,2,1)-的正弦值为.系O-xyz.第22页共67页 设n=(x,y,z)为平面AQC的一个法向量，不妨取n=(√3,-1,I),设直线CC与平面AQC所成角为θ,所以直线CC₁与平面AQG所成角的正弦值为7.【解析】(1)由已知∠BAP=∠CDP=9由于AB//CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.又ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD...(2)在平面PAD内做PF⊥AD,垂足为F,由(1)可知，AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.直角坐标系F-xyz由(1)及已知可得,, 可取n=(0,-1,-√2).,第24页共67页..8.【解析】(1)取PA的中点F,连结EF,BF..由∠BAD=∠ABC=90°因为E是PD得BC//AD的中点，所以EF//AD,,又EFLBC,四边形BCEF是平行四边形，CE//BF,又BFC平面PAB,CE平面PAB,故CE//平面PAB.P(0,1,√3),PC=(1,0,-√3),AB=(1,0,0).即(x-1)²+y²-z²=0. 又M在棱PC上，设PM=λPC,则第25页共67页,,,即<,取AC的中点O,连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO.所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角.又AB=BD,所以BO²+DO²=BO²+AO²=AB²=BD²,故∠DOB=所以平面ACD⊥平面ABC. (2)由题设及(1)知，OA,OB,OD两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴A(1,0,0),B(0,√3,0),C(-1,0,0),D(0,0,1).由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,从而E到平面故ABC的距离为D到平面ABC的距离即E为DB的中点，得E(故w.,1)设m是平面AEC的法向量，则同理可得m=(0,-1,√3)立空间直角坐标系.依题意可得第26页共67页第27页共67页A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),(0,0,4),D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0N(1,2,0).(Ⅲ)依题意，设AH=h(0≤h≤4),则H(0,0,h),进而可得NH或或因为ABCD是正方形，所以E为BD的中点，在△PBC中，知M为PB的中点.(Ⅱ)取AD的中点O,连接OP,OE.因为PA=PD,所以OP⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD,且OPC因为OEC平面ABCD,所以OP⊥OE.因为ABCD是正方形，所以OE⊥AD. BD=(4,-4,0),PD=(2,0,-√2).由题知二面角B-PD-A为锐角，所以它的大小为第28页共67页第29页共67页又PD⊥PA,∴PD⊥面PAB,以O为原点，如图建系易知P(0,0,1),B(1,则PB=(1,1,-1),PD=(0,-1,-1),PC=(2,0,-1),CD=(-2,-1,0),设n为面PDC的法向量，令n=(x,yo,I).则PB与面PCD夹角0有，第30页共67页底面内，GM不在上底面内，所以GM//上底面，所以GM//平面ABC;又因为MHIIBC,BCC平面ABC,MH平面ABC,所以MH/|平面ABC;所以平面GHM||平面ABC,由GHC平面GHM,所以GH//平面ABC.轴，建立空间直角坐标系.第31页共67页∵O是正方形ABCD中心，),∴EFGI且EF=GI.∵FIC面ADF,∴EG//面ADFB(o,-√2,0),c(√2,0,0),E(o,-√2,2)第32页共67页,,∵ACNFG=G,∴EG⊥平面AFC,∵EGC面AEC,∴平面AFC⊥平面AEC第33页共67页所以直线AE与CF所成的角的余弦值为·如图，取AE的中点H,连接HG,HD,又G是BE的中点，所以GH//AB,且又F是CD中点，所I,所以GH//DF,且GH=DF.从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF//DH,又DHC平面ADE,GF平面ADE,所以GF//平面ADE.又因为AB⊥平面BEC,所以AB⊥BE,AB⊥BQ.又AEC平面ADE,GM平面ADE,所以GM//平面ADE.在矩形ABCD中，由M,F分别是AB,CD的中点得M又ADC平面ADE,MF平面ADE,所以MF//平面ADE.又因为GM∩MF=M,GMC平面GMF,MFC平面GMF所以平面GMF□平面ADE,因为GFC平面GMF,所以GF//平面ADE(Ⅱ)同解法一.则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH//BD,又OHC平面FGH,BD平面FGH,所以BD//平面FGH.可得BH//EF,BH=E可得BE//HF,BC中，由BC=2EF,H为BC的中点，又GH∩HF=H,所以平面FGH//平面ABED,因为BDC平面ABED,所以BD//平面FGH.在三棱台DEF-ABC中，G为AC的中点，由,可得四边形DGCF为平行四边形，因此DG//FC,又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC,所以AB=BC,GB⊥GC,因此GB,GC,GD两两垂直，w),ra√Z0).第35页共67页第36页共67页设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量，则由m所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60.解法二：作HM⊥AC与点M,作MN⊥GF与点N,连接NH.由FC⊥平面ABC,得HM⊥FC,又FC∩AC=C,所以HM⊥平面ACFD,;;由HM⊥平面ACFD,MNC平面ACFD,得HM⊥MN,因此,所以∠MNH=60°,所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.18.【解析】(I)在图1中，因为AB=BC=1,AD=2,E是AD的中点，第37页共67页,所以BE⊥AC.即在图2中，BE⊥OA,BE⊥又CD//BE,所以CD⊥平面A,OC.从而BE⊥平面A,OC因为AB=A,E=BC=ED=1,BC□ED所以B(平面A,BC与平面A,CD夹角为θ,,得取n₂=(0,1,1)即平面A₁BC与平面ACD夹角的余弦值为19.【解析】(I)连接BD交AC于点O,连结EO.第38页共67页因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点.又E为PD的中点，所以EO//PB.EOC平面AEC,PB平面AEC,所以PB//平面AEC.(Ⅱ)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AP|为单位长，建立空间直角坐标系A-xyz即又n₂=(1,0,0)为平面DAE的法向量， ·因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为三棱锥E-ACD的体积I第39页共67页∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为四棱柱，∴CDI/C₁D₁又∵M为AB的中点，∴AM=1(Ⅱ)方法一：由(I)知平面D,CM∩平面ABCD=AB方法二：连接AC,MC,由(I)知CD//AM∴AMCD为平行四边形.可得BC=AD=M所以△MBC为正三角形.C,由题意∠ABC=∠DAB=60所以平面CD,M和平面ABCD所成角的余弦值为21.【解析】(I)(方法一)∵BC=BD,DF=FC,BF⊥FC.同理，∵BC=BA,AE=EC,过E作EO⊥BC,垂足为O,连接OF,即FO⊥BC.第40页共67页;,∴EF⊥BC,所以EF⊥BC第41页共67页第42页共67页建立如图所示的空间直角坐标系O=xyz.第43页共67页..ABD,AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD.又CDC平面BCD,所以AB⊥CD.(Ⅱ)过点B在平面BCD内作BE⊥BD,如图.由(I)知AB⊥平面BCD,BEC平面BCD,所以AB⊥BE,AB⊥BD.以B为坐第44页共67页取z₀=1,得平面MBC的一个法向量n=(1,-1,1).设直线AD与平面MBC所成角为θ,即直线AD与平面MBC所成角的正弦值由AC=√2,AB=2,则AB²=AC²+BC²,即AC⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE,所以AC⊥DE,又DE⊥DC,从而DE⊥平面ACD.(Ⅱ)方法一：作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG□DE,所以∠BFG是二面角B-AD-E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD²=BD²+B²,得BD⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,从而，BD⊥AB,由于AC⊥平面BCDE,得：AC⊥CD,在Rt□ACD中，由CD=2,第45页共67页第46页共67页事事∴AD⊥平面PCD,∴AD⊥PC,又AF⊥PC,∴PC⊥平面ADF,即CF⊥平面ADF;(Ⅱ)设AB=1,则Rt△PDC中，CD=1,又∠DPC=30°,;,又FE//CD,如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，则A(0,0,1),第47页共67页第48页共67页第49页共67页面EFGH∩面ABC=EH同理EF//AD,HG∴AD⊥平面BDC∴四边形EFGH是矩形(Ⅱ)如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),A(0,0,1),DA=(0,0,1),BC=(-2,2,0),BC=连结CE,A₁B,A,E第50页共67页BB₁=AA₁=(-1,0,√3),AC=(0,第51页共67页所以AC⊥BC,又因为直棱柱，所以以点C为坐标原点，分别以直线CA、CB、)OC=3,AC=3√2,AD=2√2第52页共67页所以A'O²+OD²=A'D²,所以A'O⊥OD,理可证A'O⊥OE,又OD∩OE=O,所以A'O⊥平面BCDE.因为A'O⊥平面BCDE,所以AH⊥CD,第53页共67页∴A(1,0,0),B(0,1,0), 第54页共67页.。.。32.【解析】(I)直线1//平面PAC,证明如下：连接EF,因为E,F分别是PA,PC的中点，所以EF//AC.又EF平面ABC,且ACC平面ABC,所以EF//平面ABC.而EFC平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=1,所以EF//l.因为lx平面PAC,EFC平面PAC,所以直线l//平面PAC.(Ⅱ)(综合法)如图1,连接BD,由(I)可知交线1即为直线BD,且l//AC.因为AB是口O的直径，所以AC⊥BC,于是1⊥BC.已知PC⊥平面ABC,而lC平面ABC,所以PC连接BE,BF,