专题24.3弧、弦、圆心角-【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（解析版）【人教版】

【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题24.3弧、弦、圆心角【名师点睛】圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．【典例剖析】【例1】如图,在⊙O中,AC=BC,CD⊥OA于D,CE⊥OB于E.求证：AD＝【答案】见解析.【解析】【分析】连接OC，先根据AC=CB得出∠AOC=∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△【详解】连接OC，∵AC=∴∠AOC=∠BOC.∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，∴∠CDO=∠CEO=90°在△COD与△COE中，∵∠DOC=∠EOC∠CDO=∠CEO=90°∴△COD≌△COE(AAS)，∴OD=OE，∵AO=BO，∴AD=BE.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦、弦心距的关系，解题关键在于证明三角形COD与三角形COE全等.【变式1】如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E,AB=CD,连接AD、求证：⑴AD=⑵AE=CE.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由AB=CD知AB=CD，即（2）由AD=BC知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△【详解】证明（1）∵AB=CD，∴AB=CD，即∴AD=（2）∵AD=∴AD=BC，又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．【例2】．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．（1）如图1，若AD为120°，BC为50°，求∠E的度数；（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．【答案】（1）35°；（2）见解析【解析】【分析】（1）连接AC．根据弧AD为120°，弧BC为50°，可得到∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，根据∠ACD＝∠BAC+∠E，得出∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；（2）连接AD．由AB＝CD，得到弧AB＝弧CD，推出弧AC＝弧BD，所以∠ADC＝∠DAB，因此AE＝DE．【详解】（1）解：连接AC．∵弧AD为120°，弧BC为50°，∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，∵∠ACD＝∠BAC+∠E∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；（2）证明：连接AD．∵AB＝CD，∴弧AB＝弧CD，∴弧AC＝弧BD，∴∠ADC＝∠DAB，∴AE＝DE．【满分训练】一．选择题（共10小题）1．（2020秋•梁溪区校级期中）下列语句，错误的是（）A．直径是弦 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆的有关概念判断即可．【解析】直径是弦，A正确，不符合题意；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；故选：B．2．（2021秋•越秀区校级期中）下列结论中，正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧 B．相等的圆心角所对的弧相等 C．平分弦的直径垂直于弦 D．圆是中心对称图形【分析】利用等弧的定义、确定圆的条件、圆周角定理及垂径定理的知识分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A、长度相等的弧不一定是等弧，故错误；B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误；C、此弦不能是直径，命题错误；D、圆是中心对称图形，正确，故选：D．3．（2022•广西模拟）如图，AB是⊙O的直径，∠D＝32°，则∠AOC等于（）A．158° B．58° C．64° D．116°【分析】先根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由补角的定义即可得出结论．【解析】∵∠D＝32°，∴∠BOC＝2∠D＝64°，∴∠AOC＝180°﹣64°＝116°．故选：D．4．（2021秋•鹿城区校级期中）如图所示的齿轮有16个齿，每两齿之间间隔相等，相邻两齿间的圆心角α的度数为（）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【分析】根据正多边形的中心角＝，计算即可．【解析】由题意这是正十六边形，中心角α＝＝22.5°，故选：B．5．（2019秋•吴兴区期中）如图，AB是⊙O的直径，点D，C在⊙O上，∠DOC＝90°，AC＝2，BD＝2，则⊙O的半径为（）A． B． C． D．【分析】作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，利用等角的余角相等得到∠DOE＝∠AOE，则DE＝AC＝2，利用三角形内角和可计算出∠BDE＝135°，所以∠BDF＝45°，从而可计算出DF＝BF＝2，利用勾股定理计算出BE＝2，然后根据△BOE为等腰直角三角形可得到OB的长．【解析】作半径OE⊥AB，连接DE，作BF⊥DE于F，如图，∵∠DOC＝90°，∠AOE＝90°，∴∠DOE＝∠AOC，∴DE＝AC＝2，∵∠BDE＝180°﹣×90°＝135°，∴∠BDF＝45°，∴DF＝BF＝BD＝×2＝2，在Rt△BEF中，BE＝＝2，∵△BOE为等腰直角三角形，∴OB＝×2＝．故选：D．6．（2019秋•建水县期末）如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于120°，那么圆心O到弦AB的距离等于（）A．1 B． C．2 D．【分析】由圆心角∠AOB＝120°，可得△AOB是等腰三角形，又由OC⊥AB，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长．【解析】如图，∵圆心角∠AOB＝120°，OA＝OB，∴△OAB是等腰三角形，∵OC⊥AB，∴∠ACO＝90°，∠A＝30°，∴OC＝OA＝2．故选：C．7．（2020秋•郁南县期末）如图，AB为半圆O的直径，点C、D为的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（）A．25° B．30° C．50° D．60°【分析】求出∠AOE，可得结论．【解析】∵点C、D为的三等分点，∴＝＝，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝50°，∴∠AOE＝150°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝30°，故选：B．8．（2020秋•昆明期末）如图，半径为5的⊙O中，有两条互相垂直的弦AB、CD，垂足为点E，且AB＝CD＝8，则OE的长为（）A．3 B． C．2 D．3【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC，根据垂径定理得出BM＝AM＝4，DN＝CN＝4，根据勾股定理求出OM和ON，证明四边形OMEN是正方形，即可解决问题．【解析】如图，作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA，OC．∴AM＝BM＝4，CN＝DN＝4，∵OA＝OC＝5，∴OM＝＝＝3，ON＝＝＝3，∴OM＝ON，∵AB⊥CD，∴∠OME＝∠ONE＝∠MEN＝90°，∴四边形OMEN是矩形，∵OM＝ON，∴四边形OMEN是正方形，∴OE＝OM＝3，故选：D．9．（2019•安徽一模）已知⊙O的直径CD为2，弧AC的度数为80°，点B是弧AC的中点，点P在直径CD上移动，则BP+AP的最小值为（）A．1 B．2 C．2 D．【分析】根据翻折的性质得到PB＝PB′，＝，得到∠B′EA＝60°．当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′，根据正弦的定义计算即可．【解析】过点B关于CD的对称点B′，连接AB′交CD于点P，延长AO交圆O于点E，连接B′E．∵点B与点B′关于CD对称，∴PB＝PB′，＝，∴当点B′、P、A在一条直线上时，PB+PA有最小值，最小值为AB′．∵点B是的中点，∴＝120°．∴∠B′EA＝60°．∴AB′＝AE•sin60°＝2×＝．故选：D．10．（2019秋•莘县期中）如图，在同圆中，弧AB等于弧CD的2倍，试判断AB与2CD的大小关系是（）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能确定【分析】取的中点E，连接AE、BE，如图，易得＝＝，利用圆心角、弧、弦的关系得到CD＝AE＝BE，然后根据三角形三边的关系可得到AB与2CD之间的关系．【解析】取的中点E，连接AE、BE，如图，∵弧AB等于弧CD的2倍，而＝，∴＝＝，∴CD＝AE＝BE，∵AE+BE＞AB，∴2CD＞AB．故选：B．二．填空题（共8小题）11．（2020秋•思明区校级期中）在半径为6的⊙O中，长为6的弦所对的圆心角是60°．【分析】根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，得到答案．【解析】∵OA＝OB＝AB＝6，∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，故答案为：60．12．（2018秋•大石桥市期中）在半径为9cm的圆中，60°的圆心角所对的弦长为9cm．【分析】圆心角为60°，且半径相等可得等边三角形，此题易解．【解析】由题意知，设圆心为O，60°的圆心角的两边与圆的交点分别为A，B，则△AOB是等边三角形，∴AO＝AB＝OB＝9cm．13．（2021秋•越秀区校级期中）如图，MN为圆O的弦，∠OMN＝35°，那么∠MON为110°．【分析】根据圆的性质及等腰三角形的内角和为180°可得答案．【解析】∵MN为圆O的弦，∴OM＝ON，∴∠OMN＝∠ONM＝35°，∴∠MON＝180°﹣2∠OMN＝180°﹣2×35°＝110°．故答案为：110°．14．（2021秋•凯里市校级期中）如图，在⊙O中，＝，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④＝，正确的是①②③④（填序号）．【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．【解析】在⊙O中，＝，∴AB＝CD，故①正确；∵BC为公共弧，∴＝故④正确；∴AC＝BD，故②正确；∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．故答案为：①②③④．15．（2021秋•思明区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，AC、CD、DE、EF、FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DF＝EF＝FB，则∠AOC＝36°．【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠BOF，再求出答案即可．【解析】∵AC＝CD＝DF＝EF＝FB，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝∠BOF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB＝180°，∴∠AOC＝∠AOB＝36°，故答案为：36°．16．如图，在半径为4的⊙O中，和度数分别为36°和108°，弦CD与弦AB长度的差为4．【分析】连接OA、OB、OC、OD，在CD上取一点E，使得CE＝OC，连接OE，构造三个等腰三角形△OAB，△OCD与△OCE；证明△COE≌△OAB，则有OE＝AB；利用等腰三角形性质证明DE＝OE，因此CD﹣AB＝CD﹣DE＝CE＝4．【解析】如图，连接OA、OB，则△OAB为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°；连接OC、OD，则△OCD为等腰三角形，顶角为108°，底角为36°．在CD上取一点E，使得CE＝OC，连接OE，则△OCE为等腰三角形，顶角为36°，底角为72°．在△COE与△OAB中，∵，∴△COE≌△OAB（SAS），∴OE＝AB．∵∠EOD＝∠OEC﹣∠ODC＝72°﹣36°＝36°，∴∠EOD＝∠ODE，∴DE＝OE，∴CD﹣AB＝CD﹣OE＝CD﹣DE＝CE＝4．故答案为：4．17．（2019•淄川区二模）如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为40°，则的度数是120°．【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD＝40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．【解析】连接OD、OE，∵的度数为40°，∴∠AOD＝40°，∵CD＝CO，∴∠ODC＝∠AOD＝40°，∵OD＝OE，∴∠ODC＝∠E＝40°，∴∠DOE＝100°，∴∠AOE＝60°，∴∠BOE＝120°，∴的度数是120°．故答案为120°．18．（2019•桂林模拟）如图，⊙O的半径为2，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒点P位于点C的位置，…，则第2019秒点P所在位置的坐标为（﹣，）．【分析】作PH⊥OA于H，分别求出前4秒点的坐标，总结规律，根据规律解答．【解析】作PH⊥OA于H，由题意得，∠POH＝45°，∴OH＝OP•cos∠POH＝，PH＝OP•sin∠POH＝，即点P的坐标为（，），则第1秒点P所在位置的坐标（，），第2秒点P所在位置的坐标（0，2），第3秒点P所在位置的坐标（﹣，），第4秒点P所在位置的坐标（2，0），……2019÷8＝252…3，则第2019秒点P所在位置的坐标为（﹣，），故答案为：（﹣，）．三．解答题（共6小题）19．（2021秋•磐石市期中）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证：．【分析】根据弦相等推出弦所对的弧相等，证明即可．【解答】证明：∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，∴＝．20．（2020秋•涟水县期末）如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，所对的圆心角为30°．求∠AOC的度数．【分析】连接OE，由的度数为40°，得到∠COE＝40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，而弦CE∥AB，即可得到∠AOC＝∠OCE＝75°．【解析】连接OE，如图，∵为30°，∴∠COE＝30°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OCE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∵弦CE∥AB，∴∠AOC＝∠OCE＝75°．21．（2021•秦淮区二模）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB＝CD．求证PB＝PD．【分析】连接BD，利用圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的判定定理解答即可．【解答】证明：连接BD．∵AB＝CD，∴＝∴﹣＝﹣，即＝，∴∠B＝∠D，∴PB＝PD．22．（2022•金华模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．【分析】（1）连接AD，求出∠DAE，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．利用面积法求出AF，再利用勾股定理求出CF，可得结论．【解析】（1）如图，连接AD．∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，∴∠ACD＝70°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．又∵AD＝AE，∴．（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5．又∵•AF•BC＝•AC•AB，∴，∴．∵